Pregunta 1. Dibuja un círculo de 6 cm de radio. Desde un punto a 10 cm de su centro , construya el par de tangentes al círculo y mida sus longitudes.
Solución:
Procedimiento de construcción:
La construcción para dibujar un par de tangentes al círculo dado es la siguiente.
Paso 1 Dibuja un círculo con radio = 6 cm con centro O.
Paso 2 Se puede construir un punto P a 10 cm del centro O.
Paso 3 Los puntos O y P se unen para formar una línea
Paso 4 Dibuja la bisectriz perpendicular de la línea OP.
Paso 5 Construya M como el punto medio del segmento de línea PO.
Paso 6 Usando M como el centro, mida la longitud del segmento de línea MO
Paso 7 Ahora usando MO como el radio, dibuja un círculo.
Paso 8 El círculo trazado con el radio de MO, corta al círculo anterior en el punto Q y R.
Paso 9 . Une los segmentos de línea PQ y PR.
Paso 10 . Ahora, PQ y PR son las tangentes requeridas.
Justificación:
La construcción del problema dado se puede justificar demostrando que PQ y PR son las tangentes a la circunferencia de radio 6cm con centro O. Esto se puede demostrar uniendo OQ y OR que se representan con líneas de puntos.
De la construcción, podemos ver que,
∠PQO es un ángulo en el semicírculo.
Todo ángulo en un semicírculo es un ángulo recto, por lo tanto,
∴ ∠PQO = 90°
Ahora,
⇒ OQ ⊥ PQ
Dado que OQ es el radio del círculo con un radio de 6 cm, PQ debe ser una tangente del círculo. De manera similar, también podemos probar que PR es una tangente del círculo. Por lo tanto, justificado.
Pregunta 2. Construya una tangente a un círculo de 4 cm de radio desde un punto en el círculo concéntrico de 6 cm de radio y mida su longitud. Además , ¿verificar la medición mediante el cálculo real?
Solución:
Procedimiento de construcción:
Para el círculo especificado, la tangente se puede dibujar de la siguiente manera.
Paso 1 Dibuja un círculo de 4 cm de radio con el centro O.
Paso 2 Tomando O como centro traza otra circunferencia de 6 cm de radio.
Paso 3 Ubique un punto P en este círculo
Paso 4 Une los puntos O y P para formar un segmento de línea OP.
Paso 5 Construya la bisectriz perpendicular a la línea OP, donde M es el punto medio
Paso 6 Tomando M como su centro, dibuje un círculo con MO como su radio
Paso 7 El círculo dibujado con el radio OM, corta al círculo dado en los puntos Q y R.
Paso 8 Une los segmentos de línea PQ y PR.
Paso 9 . PQ y PR son las tangentes requeridas del círculo.
Podemos ver que PQ y PR tienen una longitud de 4,47 cm cada uno.
Ahora, en ∆PQO,
Como PQ es una tangente,
∠PQO = 90°, PO = 6 cm y QO = 4 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras en ∆PQO, obtenemos PQ 2 + QO 2 = PQ 2
PQ 2 + (4) 2 = (6) 2
=> PQ 2 + 16 = 36
=> PQ 2 = 36 − 16
=> PQ 2 = 20
PQ = 2√5
PQ = 4,47 cm
Por lo tanto, la longitud de la tangente PQ = 4.47
Justificación:
Se puede demostrar que PQ y PR son las tangentes a la circunferencia de 4 cm de radio con centro en O.
Prueba,
Une OQ y OR representados en líneas de puntos. Ahora,
∠PQO es un ángulo en el semicírculo.
Todo ángulo en un semicírculo es un ángulo recto, por lo tanto, ∠PQO = 90° st
⇒ OQ ⊥ PQ
Dado que OQ es el radio del círculo con un radio de 4 cm, PQ debe ser una tangente del círculo. De manera similar, podemos probar que PR es una tangente del círculo.
Pregunta 3. Dibuja un círculo de 3 cm de radio. Tome dos puntos P y Q en uno de sus diámetros extendidos cada uno a una distancia de 7 cm de su centro . Dibujar tangentes al círculo desde estos dos puntos P y Q?
Solución:
Procedimiento de construcción:
La tangente para el círculo dado se puede construir de la siguiente manera.
Paso 1 Construya un círculo con un radio de 3 cm con el centro O.
Paso 2 Dibuja un diámetro de un círculo que se extienda 7 cm desde el centro O del círculo y marca los extremos como P y Q.
Paso 3 Dibuja la bisectriz perpendicular del segmento de línea construido PO.
Paso 4 Marque el punto medio de PO como M.
Paso 5 Dibuja otro círculo con M como centro y MO como su radio
Paso 6 Ahora une los puntos PA y PB en los que la circunferencia de radio MO corta a la circunferencia de circunferencia 3cm.
Paso 7 PA y PB son las tangentes requeridas del círculo.
Paso 8 A partir de ahí, QC y QD son las tangentes requeridas desde el punto Q.
Justificación:
La construcción del problema dado se puede justificar demostrando que PQ y PR son las tangentes a la circunferencia de 3 cm de radio con centro en O.
Prueba,
Únete a OA y OB. Ahora,
∠PAO es un ángulo en el semicírculo, que es igual a 90 grados.
∴ ∠PAO = calle 90°
⇒ OA ⊥ PA
Como OA es el radio del círculo con un radio de 3 cm, PA debe ser una tangente del círculo.
PB, QC y QD son la tangente del círculo [por prueba similar]. Por lo tanto, justificado.
Pregunta 4. Dibuja un par de tangentes a un círculo de 5 cm de radio que estén inclinados entre sí en un ángulo de 60°.
Solución:
Procedimiento de construcción:
Las tangentes se pueden construir de la siguiente manera:
Paso 1 Dibuja un círculo con un centro O de radio de 5 cm.
Paso 2 Construya cualquier punto Q arbitrario en la circunferencia del círculo y únase al segmento de línea OQ.
Paso 3 Además, dibuje una perpendicular a QP en el punto Q.
Paso 4 Dibuja un radio OR, formando un ángulo de 120°, es decir (180°−60°) con OQ.
Paso 5 Dibujar una perpendicular a la línea RP en el punto R.
Paso 6 Ambas bisectrices perpendiculares se cortan en P.
Paso 7 Por lo tanto, PQ y PR son las tangentes requeridas en un ángulo de 60°.
Justificación:
La construcción se puede justificar demostrando que ∠QPR = 60°
Tenemos,
∠OQP = 90°, ∠ORP = 90°
También ∠QOR = 120°
Sabemos que, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero = 360°
Sustituyendo valores,
∠OQP + ∠QOR + ∠ORP + ∠QPR = 360 o
=> 90° + 120° + 90° + ∠QPR = 360°
Calculando, obtenemos, ∠QPR = 60°
Por lo tanto, justificado.
Pregunta 5. Dibuja un segmento de recta AB de 8 cm de longitud. Tomando como centro A , traza una circunferencia de 4 cm de radio , y tomando como centro B , traza otra circunferencia de 3 cm de radio. ¿ Construir tangentes a cada círculo desde el centro del otro círculo?
Solución:
Procedimiento de construcción:
La tangente para el círculo dado se puede construir de la siguiente manera.
Paso 1 Construye un segmento de línea llamado AB = 8 cm.
Paso 2 Tomando como centro A, traza una circunferencia de 4 cm de radio.
Paso 3 Tomando B como centro, traza otra circunferencia de 3 cm de radio.
Paso 4 Dibuja la bisectriz perpendicular de la línea AB con M como el punto medio.
Paso 5 Tomando M como el centro, dibuje otro círculo con el radio de MA o MB que interseca al círculo en los puntos P, Q, R y S.
Paso 6 Une los segmentos de línea AR, AS, BP y BQ respectivamente.
Paso 7 Las tangentes requeridas son AR, AS, BP y BQ.
Justificación:
La construcción se puede justificar demostrando que AS y AR son las tangentes de la circunferencia de centro B y BP y BQ son las tangentes de la circunferencia de centro A.
Prueba,
Únase a AP, AQ, BS y BR.
∠ASB es un ángulo en el semicírculo.
∴ ∠ASB = 90°
⇒ BS ⊥ AS
Ahora, BS es el radio del círculo. Por lo tanto, AS debe ser una tangente del círculo. De manera similar, AR, BP y BQ son las tangentes requeridas del círculo dado.
Pregunta 6. Sea ABC un triángulo rectángulo en el que AB = 6 cm, BC = 8 cm y ∠ B = 90°. BD es perpendicular de B a AC. Se dibuja el círculo a través de B, C, D. ¿Construye las tangentes de A a este círculo?
Solución:
Procedimiento de construcción:
La tangente para el círculo dado se puede construir de la siguiente manera
Paso 1 Dibuja un segmento de línea con base BC = 8cm
Paso 2 Construya un ángulo de 90° en el punto B, st ∠ B = 90°.
Paso 3 Tomando B como centro, traza un arco de 6 cm.
Paso 4 Marque el punto de intersección como A.
Paso 5 Únete al segmento de línea AC.
Paso 6 Ahora, tenemos ABC como el triángulo requerido.
Paso 7 Ahora, construya la bisectriz perpendicular a la línea BC con el punto medio como E.
Paso 8 Tomando E como centro, dibuja un círculo con BE o EC como radio.
Paso 9 . Une A y E para formar un segmento de línea.
Paso 10 . Ahora, nuevamente dibuje la bisectriz perpendicular a la línea AE y el punto medio se toma como M
Paso 11 . Tomando M como centro, dibuja un círculo con AM o ME como radio.
Paso 12 . Ambos círculos se cortan en los puntos B y Q.
Paso 13 . Une los puntos A y Q para formar un segmento de línea.
Paso 14 . Por lo tanto, AB y AQ son las tangentes requeridas
Justificación:
La construcción se puede justificar demostrando que AG y AB son las tangentes al círculo.
Prueba,
Únete a EQ.
∠AQE es un ángulo en el semicírculo.
∴ ∠AQE = 90°
Ahora, ⇒ EQ⊥ AQ
Como EQ es el radio del círculo, AQ será tangente al círculo. Además, ∠B = 90°
⇒ AB ⊥ SER
Como BE es el radio del círculo, AB tiene que ser una tangente del círculo. Por lo tanto, justificado.
Pregunta 7. Dibuja un círculo con la ayuda de un brazalete. Tome un punto fuera del círculo. ¿Construye el par de tangentes desde este punto al círculo?
Solución:
Procedimiento de construcción:
Las tangentes requeridas se pueden construir en el círculo dado de la siguiente manera.
Paso 1 Dibuja un círculo arbitrario. Marque su centro como O.
Paso 2 Dibuja dos acordes no paralelos como AB y CD.
Paso 3 Dibujar la mediatriz de AB y CD
Paso 4 Tomando O como el centro donde se cortan las dos mediatrices AB y CD.
Paso 5 Tome un punto P fuera del círculo.
Paso 6 Une los puntos O y P para formar un segmento de recta.
Paso 7 Ahora dibuja la bisectriz perpendicular de la línea PO y marca su punto medio como M.
Paso 8 Tomando M como centro y MO como radio, dibuje un círculo.
Paso 9 . Ambos círculos se cortan en los puntos Q y R.
Paso 10 . Ahora únete a PQ y PR.
Paso 11 . Por lo tanto, PQ y PR son las tangentes requeridas.
Justificación:
La construcción puede justificarse demostrando que PQ y PR son las tangentes al círculo. La mediatriz de cualquier cuerda del círculo pasa por el centro. Ahora, une los puntos OQ y OR.
Ambas bisectrices perpendiculares se cortan en el centro del círculo. Dado que ∠PQO es un ángulo en el semicírculo.
∴ ∠PQO = 90°
⇒ OQ⊥PQ
Como OQ es el radio del círculo, PQ tiene que ser una tangente del círculo. Similarmente,
∴ ∠PRO = 90°
⇒ O ⊥ PO
De manera similar, dado que OR es el radio del círculo, PR tiene que ser una tangente del círculo. Por lo tanto, PQ y PR son las tangentes de un círculo.