Soluciones NCERT Clase 10 – Capítulo 13 Áreas de superficie y volúmenes – Ejercicio 13.2

Pregunta 1. Un sólido tiene la forma de un cono sobre un hemisferio con ambos radios iguales a 1 cm y la altura del cono es igual a su radio. Encuentra el volumen del sólido en términos de π.

Solución:

Dado:

Altura del cono (h)= 1 cm

Radio del hemisferio (r) = 1 cm

Volumen total = Volumen del cono + Volumen del hemisferio

= $\frac{1}{3}$ πr ² h + $\frac{2}{3}$ πr ³

= $\frac{1}{3}$ πr ² (h+2r)

= $\frac{1}{3}$ × π × 1 × 1 × (1+2)

= π cm ³

Pregunta 2. A Rachel, una estudiante de ingeniería, se le pidió que hiciera un modelo con forma de cilindro con dos conos unidos en sus dos extremos usando una hoja delgada de aluminio. El diámetro del modelo es de 3 cm y su longitud es de 12 cm. Si cada cono tiene una altura de 2 cm, encuentra el volumen de aire contenido en el modelo que hizo Rachel. (Suponga que las dimensiones exterior e interior del modelo son casi iguales).

Solución:

Dado:

Radio de cono y cilindro (r) = $\frac{3}{2}$ cm

Altura del cono (h) = 2 cm

Altura del cilindro (H) = 12- (2+2) = 8 cm

Volumen Total = Volumen de dos conos + Volumen del cilindro

= $\frac{1}{3}$ πr ² h + $\frac{1}{3}$ πr ² h + πr ² H

= $\frac{2}{3}$ πr ² h + πr ² H

= πr ² (( $\frac{2}{3}$ )h+H)

= $\frac{22}{7} × \frac{3}{2} × \frac{3}{2} (\frac{(2 × 2)}{3} + 8)$ (tomando π= $\frac{22}{7}$ )

= $\frac{22}{7} × \frac{3}{2} × \frac{3}{2} × \frac{28}{3}$

= $\frac{21 × 22}{ 7}$

⁼ 66cm3

Pregunta 3. Un gulab jamun contiene jarabe de azúcar hasta aproximadamente el 30% de su volumen. Encuentre aproximadamente cuánto jarabe se encontraría en 45 gulab jamuns, cada uno con forma de cilindro con dos extremos hemisféricos con una longitud de 5 cm y un diámetro de 2,8 cm (ver Fig.).

Solución:

Dado,

Por 1 gulab jamun,

Altura de la pieza cilíndrica (H)= 5-(2,8) = 2,2 cm

Radio de parte cilíndrica y hemisférica (r)= $\frac{2.8}{2}$ = 1,4 cm

Volumen total de un gulab jamun = Volumen de dos hemisferios + Volumen del cilindro

= $\frac{2}{3}$ πr ³ + $\frac{2}{3}$ πr ³ + πr ² H

= πr ² ( $\frac{4}{3}$ r + H)

= $\frac{22}{7} × 1.4 × 1.4 × ((\frac{4}{3} × 1.4) + 2.2)$ (tomando π= $\frac{22}{7}$ )

=25,05 ^cm3

Por lo tanto, volumen de 45 gulab jamun = 45 × Volumen de 1 gulab jamun

= 45 × 25,05

= 1127,28 cm ³

Como, gulab jamun contiene jarabe de azúcar hasta aproximadamente el 30% de su volumen.

Jarabe de azúcar en 45 gulab jamun = 30% de su volumen total

= $\frac{30}{100}$ × 1127,28

= $\frac{33818.4}{100}$

= 338,184 ^cm3

Pregunta 4. Un portalápices hecho de madera tiene forma de paralelepípedo con cuatro depresiones cónicas para sujetar bolígrafos. Las dimensiones del paralelepípedo son 15 cm por 10 cm por 3,5 cm. El radio de cada una de las depresiones es de 0,5 cm y la profundidad es de 1,4 cm. Encuentre el volumen de madera en todo el soporte (ver Fig.).

Solución:

Dado:

Longitud del cuboide (l) = 15 cm

Ancho del paralelepípedo (b) = 10 cm

Altura del paralelepípedo (h) = 3,5 cm

Radio de la parte cónica (r) = 0,5 cm

Altura de la parte cónica (H) = 1,4 cm

Volumen total de madera en todo el soporte = Volumen de Cuboide – Volumen de cuatro partes cónicas

= (l × b × h) – 4 × ( $\frac{1}{3}$ πr ² H)

= (15 × 10 × 3,5) – (4 × $\frac{1}{3} × \frac{22}{7}$ × 0,5 × 0,5 × 1,4) (tomando π= $\frac{22}{7}$ )

= 525 – (1.466)

= 523,5333 cm ³

Pregunta 5. Un recipiente tiene la forma de un cono invertido. Su altura es de 8 cm y el radio de su parte superior, que está abierta, es de 5 cm. Está lleno de agua hasta el borde. Cuando se dejan caer en el recipiente perdigones de plomo, cada uno de los cuales es una esfera de 0,5 cm de radio, sale una cuarta parte del agua. Encuentre el número de perdigones de plomo arrojados en el recipiente.

Solución:

Dado:

Altura del cono (h) = 8 cm

Radio del cono (r) = 5 cm

Radio de esfera (R)= 0,5 cm

Sea, No. de esfera en cono = n

Volumen de agua = Volumen del cono

= $\frac{1}{3}$ πr ^2h _

= $\frac{1}{3}$ × π × 5 × 5 × 8

= $\frac{200 π}{ 3}$ cm ³

Volumen de agua sale = $\frac{1}{4}$ (volumen total de agua)

= $\frac{1}{4} × \frac{200 π}{ 3}$

= $\frac{50 π}{ 3}$ cm ³

Por lo tanto, el volumen de n esferas = $\frac{50 π}{ 3}$ cm ³

Volumen de cada esfera = $\frac{4}{3}$ πr ³

= $\frac{4}{3}$ × π × 0,5 × 0,5 × 0,5

= $\frac{π}{6}$ cm ³

Por lo tanto, n = $\frac{(Volume\hspace{0.1cm} of\hspace{0.1cm} n\hspace{0.1cm} sphere)}{ (volume \hspace{0.1cm}of \hspace{0.1cm}each \hspace{0.1cm}sphere)}$

norte = $\frac{\frac{50 π}{3}} {\frac{π}{6}}$

n = 100 esferas

Pregunta 6. Un poste de hierro sólido consta de un cilindro de 220 cm de altura y 24 cm de diámetro de base, que está coronado por otro cilindro de 60 cm de altura y 8 cm de radio. Encuentre la masa del poste, dado que 1 cm ³ de hierro tiene aproximadamente 8 g de masa. (Use π = 3.14)

Solución:

Dado:

Altura del cilindro grande (H)= 220 cm

Radio del cilindro grande (R)= $\frac{24}{2}$ = 12 cm

Altura del cilindro pequeño (h)= 60 cm

Radio del cilindro pequeño (r)= 8 cm

Volumen total = Volumen del cilindro grande + Volumen del cilindro pequeño

= πR ² H + πr ² h

= π (R ² H + r ² h)

= 3,14 × ((12 × 12 × 220) + (8 × 8 × 60)) (tomando π=3,14)

= 3,14 (31680 + 3840)

= 111532,8 cm ³

Tal como se indica, Masa de 1 cm ³ = 8 g

Masa para 111532,8 cm ³ = 8 × 111532,8 g

= 892.262,4 gramos

= 892,2624 kg

Pregunta 7. Un sólido que consta de un cono circular recto de 120 cm de altura y 60 cm de radio que se encuentra sobre un hemisferio de 60 cm de radio se coloca verticalmente en un cilindro circular recto lleno de agua de manera que toca el fondo. Encuentra el volumen de agua que queda en el cilindro, si el radio del cilindro es de 60 cm y su altura es de 180 cm.

Solución:

Dado:

Altura del cilindro (H)= 180 cm

Altura del cono (h)= 180 – 60 = 120 cm

Radio de cono, cilindro y hemisferio (r) = 60 cm

Volumen de agua que queda en el cilindro = Volumen del cilindro – (Volumen del cono + Volumen del hemisferio)

= πr ² H – ( $\frac{1}{3}$ πr ² h + $\frac{2}{3}$ πr ³ )

= πr ² (H – $\frac{1}{3}$ h + $\frac{2}{3}$ r)

= $\frac{22}{7} × 60 × 60 × (180 - (\frac{1}{3} ×120 + \frac{2}{3}×60))$ (tomando π= $\frac{22}{7}$ )

= $\frac{22}{7}$ × 60 × 60 × (100)

⁼ 1131428,571cm3

= 1.131 m ³

Por lo tanto, el volumen de agua que queda en el cilindro = 1,131 m ³

Pregunta 8. Un recipiente de vidrio esférico tiene un cuello cilíndrico de 8 cm de largo y 2 cm de diámetro; el diámetro de la parte esférica es de 8,5 cm. Al medir la cantidad de agua que contiene, un niño encuentra que su volumen es de 345 cm ³ . Comprueba si está en lo correcto, tomando lo anterior como las medidas interiores y π = 3.14.

Solución:

Dado:

Altura del cilindro (h)= 8 cm

Radio del cilindro (r) = 2/2 = 1 cm

Radio de esfera (R) = $\frac{8.5}{2}$ cm

Cantidad de agua que puede contener = Volumen total de este recipiente

= Volumen del cilindro + Volumen de la esfera

= πr ² h + $\frac{4}{3}$ πR ³

= $(π × 1 × 1 × 8) + (\frac{4}{3} × π × \frac{8.5}{2} × \frac{8.5}{2} × \frac{8.5}{2})$

= 8π + 102.35π

= 110,35π (tomando π=3,14)

= 346,499 ^cm3

Volumen medido por el niño = 345 cm ³ , que es INCORRECTO

Volumen correcto = 346,5 cm ³

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Un sólido tiene la forma de un cono sobre un hemisferio con ambos radios iguales a 1 cm y la altura del cono es igual a su radio. Encuentra el volumen del sólido en términos de π.

Pregunta 3. Un gulab jamun contiene jarabe de azúcar hasta aproximadamente el 30% de su volumen. Encuentre aproximadamente cuánto jarabe se encontraría en 45 gulab jamuns, cada uno con forma de cilindro con dos extremos hemisféricos con una longitud de 5 cm y un diámetro de 2,8 cm (ver Fig.).

Pregunta 6. Un poste de hierro sólido consta de un cilindro de 220 cm de altura y 24 cm de diámetro de base, que está coronado por otro cilindro de 60 cm de altura y 8 cm de radio. Encuentre la masa del poste, dado que 1 cm 3 de hierro tiene aproximadamente 8 g de masa. (Use π = 3.14)

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Pregunta 6. Un poste de hierro sólido consta de un cilindro de 220 cm de altura y 24 cm de diámetro de base, que está coronado por otro cilindro de 60 cm de altura y 8 cm de radio. Encuentre la masa del poste, dado que 1 cm ³ de hierro tiene aproximadamente 8 g de masa. (Use π = 3.14)