Soluciones NCERT Clase 10 – Capítulo 13 Áreas de superficie y volúmenes – Ejercicio 13.5

Pregunta 1. Un alambre de cobre, de 3 mm de diámetro, se enrolla alrededor de un cilindro cuya longitud es de 12 cm y un diámetro de 10 cm, para cubrir la superficie curva del cilindro. Encuentre la longitud y la masa del alambre, suponiendo que la densidad del cobre es de 8,88 g por cm ³ .

Solución:

Dado,

Radio del alambre de cobre (r) = $\frac{3}{2}$ mm = $\frac{3}{20}$ cm

Altura del cilindro (H) = 12 cm

Radio del Cilindro (R) = $\frac{10}{2}$ = 5 cm

La longitud del cable de cobre necesario para una ronda será la circunferencia del extremo del círculo cilíndrico = 2πR

=2π(5)

longitud de cada vuelta = 10π cm

Ahora, para cubrir completamente el cilindro con alambre, el número de vueltas (n) de alambre de cobre debe ser:

n = altura del cilindro / diámetro del alambre de cobre

norte = $\frac{12}{\frac{3}{10}}$

no. de rondas = 40

Ahora, la longitud total del cable de cobre será:

h = no. de rondas × longitud de cada ronda

h = 40×10π

h = 400×3,14 (tomando π = 3,14)

altura = 1256cm

Volumen de alambre de cobre = πr ² h

=π×( $\frac{3}{20}$ ) ² ×1256

=π× $\frac{3}{20} ×\frac{3}{20}$ ×1256

= 88,82 cm ³ (tomando π = $\frac{22}{7}$ )

Ahora bien, como se da que,

Para 1cm ³ = 8,88 g de alambre

entonces, para 88,82 cm ³ = 8,88×88,82 g

Masa de alambre de cobre = 788.7216 g

Por tanto, la longitud y la masa del alambre son 1256 cm y 788,216 gramos respectivamente.

Pregunta 2. Un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 3 cm y 4 cm (aparte de la hipotenusa) gira alrededor de su hipotenusa. Encuentre el volumen y el área superficial del doble cono así formado. (Elija el valor de π según lo considere apropiado).

Solución:

Después de girar el triángulo alrededor de su hipotenusa, obtenemos dos conos que tienen una altura inclinada de 3 cm y 4 cm cada uno.

Hipotenusa del triángulo (CD) = √(3 ² + 4 ² ) = 5 cm

l ₁ = 3 cm

l ₂ = 4 cm

ar(△ACD) = $\frac{1}{2}$ ×AC×AD = ½×AO×CD (como AC⊥AD y AO⊥CD)

⇒ AC×AD = AO×CD

⇒ 4×3 = AO×5

AO = $\frac{12}{5}$ cm

Por lo tanto, el radio de la base del cono es $\frac{12}{5}$ cm

Ahora, Volumen del cono doble = Volumen del cono 1 + Volumen del cono 2

= ( $\frac{1}{3}$ )πr ² ×OD + ( $\frac{1}{3}$ )πr ² ×OC

= ( $\frac{1}{3}$ )πr ² ×(OD+OC)

= $\mathbf{\frac{1}{3}}$ πr ² ×CD

= $\frac{1}{3}×\frac{22}{7}×\frac{12}{5}×\frac{12}{5}×5$

= 30,17 ^cm3

Ahora, el área de la superficie de la curva del cono doble = CSA del cono 1 + CSA del cono 2

= πrl ₁ + πrl ₂

= πr(l ₁ +l ₂ )

= $\frac{22}{7}×\frac{12}{5}$ ×(3+4)

= 30,17 ^cm2

Por tanto, el volumen y el área superficial del doble cono así formado es 30,17 cm ³ y 30,17 cm ² .

Pregunta 3. Una cisterna, que mide internamente 150 cm × 120 cm × 110 cm, tiene 129600 cm ³ de agua. Los ladrillos porosos se colocan en el agua hasta que la cisterna está llena hasta el borde. Cada ladrillo absorbe una diecisieteava parte de su propio volumen de agua. ¿Cuántos ladrillos se pueden poner sin que se desborde el agua, siendo cada ladrillo de 22,5 cm × 7,5 cm × 6,5 cm?

Solución:

Dado,

Largo de Cisterna (L) = 150 cm

Ancho de Cisterna (A) = 120 cm

Altura de Cisterna (H) = 110 cm

Longitud del ladrillo (l) = 22,5 cm

Ancho de ladrillo (w) = 7,5 cm

Altura del Ladrillo (h) = 6,5 cm

Volumen de la cisterna = L×B×H

= 150×120×110

⁼ 1980000cm3

Volumen de agua = 129600 cm ³

Espacio vacío dejado en Cisterna = 1980000-129600

⁼ 1850400cm3

Volumen de ladrillo = l×b×h

= 22,5×7,5×6,5

= 1096,88 cm ³

Volumen de n Ladrillos = 1096.88×n cm ³

Volumen absorbido por cada ladrillo = ( $\frac{1}{17}$ ) ^th (volumen de ladrillo)

= $\frac{1}{17}$ ×1096,88 ^cm3

= 64,522 ^cm3

Entonces, Volumen absorbido por n ladrillos = 64.522×n

Volumen de ladrillo = Espacio vacío que queda en Cisterna + volumen absorbido por ladrillos

1096,88×n = 1850400 + 64,522×n

n×(1096.88-64.522) = 1850400

norte = $\frac{1850400}{1032.358}$

n = 1792,40

norte ≈ 1792

Por lo tanto, se pueden colocar 1792 ladrillos sin desbordar el agua.

Pregunta 4. En una quincena de un mes dado, hubo una lluvia de 10 cm en el valle de un río. Si el área del valle es de 7280 km ² , demuestre que la precipitación total fue aproximadamente equivalente a la adición al agua normal de tres ríos cada uno de 1072 km de largo, 75 m de ancho y 3 m de profundidad.

Solución:

Longitud del río (l) = 1072 km

Ancho del río (w) = $\frac{75}{1000}$ km = 0,075 km

Profundidad del río (h) = $\frac{3}{1000}$ = 0,003 km

Profundidad de lluvia = $\frac{10}{(1000×100)}$ km

La precipitación total fue aproximadamente equivalente a la adición al agua normal de tres ríos cada uno

Lo que significa,

(Volumen de tres ríos = ((Superficie de un valle)×Profundidad de lluvia) tiene que ser igual.

Comprobemos, para cada caso,

asi que,

Volumen de tres ríos = 3×(l×b×h)

= 3×(1072×0.075×0.003) ^km3

= 0,7236 km3 ^{………………………} ..(1)

Volumen de lluvia en el valle = Área del valle × profundidad de lluvia

= 7280× $\frac{10}{100000}$

= 0,728 km ³ ……………………………….(2)

De (1) y (2) podemos ver que,

Por lo tanto, probado, la precipitación total fue aproximadamente equivalente a la adición al agua normal de tres ríos cada uno.

Pregunta 5. Un embudo de aceite hecho de hojalata consiste en una porción cilíndrica de 10 cm de largo unida a un tronco de cono. Si la altura total es de 22 cm, el diámetro de la porción cilíndrica es de 8 cm y el diámetro de la parte superior del embudo es de 18 cm, encuentre el área de hojalata requerida para hacer el embudo (ver Fig. 13.25).

Solución:

El embudo de aceite contiene dos formas = frustum + Cilindro

valores dados,

Mayor radio de tronco (R) = $\frac{18}{2}$ = 9 cm

Radio menor del tronco (r) = $\frac{8}{2}$ = 4 cm

Altura del tronco (H) = 22-10 = 12 cm

Radio del cilindro (r) = $\frac{8}{2}$ = 4 cm

Altura del cilindro (h) = 10 cm

Área de hojalata requerida = CSA de frustum + CSA de cilindro

CSA de tronco = π(r+R)l

= π×(9+4)×√(12 ² + (9-4) ² ) (l =√(H ² + (Rr) ² ))

= π×13×13

⁼ 169πcm2

CSA del cilindro = 2πrh

= 2×π×4×10

= 80π cm ²

Área de hojalata requerida = 169π + 80π

= 249π

= 782.571 cm ² (Tomando π= $\frac{22}{7}$ )

Por lo tanto, el área de hojalata requerida para hacer el embudo es de 782.571 cm ²

Pregunta 6. Derive la fórmula para el área de superficie curva y el área de superficie total del tronco de un cono, dada en la Sección 13.5, usando los símbolos como se explica.

Solución:

Sea ADE un cono. Del cono se corta el tronco BCDE por un plano paralelo a su base. Aquí, r y R son los radios de los extremos del tronco del cono y h la altura del tronco.

Aquí, como BC||DE

En △ADG y △ABF

Entonces, ΔADG ∼ ΔABF (como BC||DE)

$\frac{AB}{AD} = \frac{AF}{AG} = \frac{BF}{GD}$

$\frac{L-l}{L} = \frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}$ …………..(1)

de (1), obtenemos

1-( $\frac{l}{L}$ ) = $\frac{r}{R}$

$\frac{l}{L}$ = 1 – $\frac{r}{R}$

$\frac{l}{L}$ = $\frac{(R-r)}{R}$

L(Rr) = Rl…………………………(2) (Reordenando)

Área de superficie total del tronco = CSA del tronco + Área del extremo circular superior + Área del extremo circular inferior

CSA de tronco = CSA de cono ADE – CSA de cono ABC

= πRL – πr(Ll)

= πL(Rr)+πrl

= πRl+πrl (de (2) reemplazando L(Rr) = Rl )

= π(R+r)l

Área del extremo circular superior = πR ²

Área del extremo circular inferior = πr ²

Superficie total del tronco = π(R+r)l + πR ² + πr ²

Pregunta 7. Derive la fórmula para el volumen del tronco de un cono, dada en la Sección 13.5, usando los símbolos como se explica.

Solución:

Sea ADE un cono. Del cono se corta el tronco BCDE por un plano paralelo a su base. Aquí, r y R son los radios de los extremos del tronco del cono y h la altura del tronco.

Aquí, como BC||DE

En △ADG y △ABF

Entonces, ΔADG ∼ ΔABF (como BC||DE)

$\frac{AB}{AD} = \frac{AF}{AG} = \frac{BF}{GD}$

$\frac{L-l}{L} = \frac{H-h}{H} = \frac{r}{R}$ …………………(1)

de (1), obtenemos

1-( $\frac{h}{H}$ ) = $\frac{r}{R}$

$\frac{h}{H}$ = 1 – $\frac{r}{R}$

$\frac{h}{H}$ = $\frac{R-r}{R}$

H(Rr) = Rh…………………………(2) (Reordenando)

El volumen total del tronco del cono será = Volumen del cono ADE – Volumen del cono ABC

= $\mathbf{\frac{1}{3}}$ πR ² H – $\mathbf{\frac{1}{3}}$ πr ² (Hh)

= $\frac{1}{3}$ πR ² H – $\frac{1}{3}$ πr ² H + $\frac{1}{3}$ πr ² h

= $\frac{1}{3}$ π(H(R ² -r ² )+r ² h)

= $\frac{1}{3}$ π(H(Rr)(R+r)+r ² h) (Sustituyendo (R ² -r ² ) = (Rr)(R+r))

= $\frac{1}{3}$ π(Rh(R+r)+r ² h) (de (2) reemplazando H(Rr) = Rh )

= $\frac{1}{3}$ π(R ² h+Rrh+r ² h)

= $\frac{1}{3}$ πh(R ² +Rr+r ² ) (Tomando h común)

Por lo tanto, el volumen total del tronco del cono será = $\frac{1}{3}$ πh(R ² +Rr+r ² )

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Un alambre de cobre, de 3 mm de diámetro, se enrolla alrededor de un cilindro cuya longitud es de 12 cm y un diámetro de 10 cm, para cubrir la superficie curva del cilindro. Encuentre la longitud y la masa del alambre, suponiendo que la densidad del cobre es de 8,88 g por cm 3 .

Pregunta 2. Un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 3 cm y 4 cm (aparte de la hipotenusa) gira alrededor de su hipotenusa. Encuentre el volumen y el área superficial del doble cono así formado. (Elija el valor de π según lo considere apropiado).

Pregunta 6. Derive la fórmula para el área de superficie curva y el área de superficie total del tronco de un cono, dada en la Sección 13.5, usando los símbolos como se explica.

Pregunta 7. Derive la fórmula para el volumen del tronco de un cono, dada en la Sección 13.5, usando los símbolos como se explica.

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Pregunta 1. Un alambre de cobre, de 3 mm de diámetro, se enrolla alrededor de un cilindro cuya longitud es de 12 cm y un diámetro de 10 cm, para cubrir la superficie curva del cilindro. Encuentre la longitud y la masa del alambre, suponiendo que la densidad del cobre es de 8,88 g por cm ³ .