Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables – Ejercicio 3.3

Pregunta 1. Resuelva el siguiente par de ecuaciones lineales por el método de sustitución

(i) x + y = 14 y x – y = 4

Solución:

x + y = 14 ……….. (1)

x – y = 4 ………….. (2)

x = 14 – y

Sustituye x en (2)

(14 – y) – y = 4

14 – 2 años = 4

2 años = 10

Transponiendo 2

y = 10/2

y = 5

x = 14 – y

x = 9

Por lo tanto, x = 9 y y = 5.

(ii) s – t = 3 y (s/3) + (t/2) = 26

Solución:

s – t = 3 …….. (1)

(s/3) + (t/2) = 6 …………. (2)

s = 3 + t

Ahora, sustituya el valor de s en (2)

(3 + t) / 3 + (t/2) = 6

Tomando 6 como MCM

(2(3 + t) + 3t) / 6 = 6

(6 + 2t + 3t) / 6 = 6

(6 + 5t) = 36

5t = 30

t = 6

s = 3 + 6 = 9

Por lo tanto, s = 9 y t = 6.

(iii) 3x – y = 3 y 9x – 3y = 9

Solución:

3x – y = 3 ……….. (1)

9x – 3y = 9 ……….(2)

De 1)

x = (3 + y) / 3

Sustituye x en (2)

9(3 + y) / 3 – 3y = 9

9 + 3y – 3y = 9

0 = 0

Por lo tanto, y tiene infinitos valores y x = (3 + y)/3 también tiene infinitos valores.

(iv) 0,2x + 0,3y = 1,3 y 0,4x + 0,5y = 2,3

Solución:

0.2x + 0.3y = 1.3 ……… (1)

 0.4x + 0.5y = 2.3 …….. (2)

De 1)

x = (1.3 – 0.3y) / 0.2 

Poniendo x en (2)

0,4(1,3 – 0,3 años) / 0,2 + 0,5 años = 2,3

2(1,3 – 0,3 años) + 0,5 años = 2,3

2,6 – 0,6 años + 0,5 años = 2,3

2,6 – 0,1 y = 2,3

0,1 y = 0,3

y = 3

Sustituye y en (1)

x = (1,3 – 0,3(3)) / 0,2 = (1,3 – 0,9) / 0,2 = 0,4/0,2 = 2

Por lo tanto, x = 2 y y = 3.

(v) √2x + √3y = 0 y √3x – √8y = 0

Solución:

√2 x + √3 y = 0 …………… (1)

√3 x – √8 y = 0 ………….. (2)

De 1)

x = – (√3/√2)y 

Poniendo x en (2)

√3(-√3/√2)y – √8y = 0 

(-3/√2)y – √8y = 0

-3y – 4y = 0

-7y = 0

y = 0

Por lo tanto

x = 0

Por lo tanto, x = 0 y y = 0.

(vi) (3x/2) – (5y/3) = -2 y (x/3) + (y/2) = (13/6)

Solución:

(3x/2) – (5y/3) = -2 ……………. (1)

 (x/3) + (y/2) = 13/6 ………. (2)

De 1)

(3/2)x = -2 + (5y/3)

(3/2)x = (-6 + 5y) / 3

x = ((-6 + 5y) / 3) * 2/3

⇒ x = 2(-6 + 5y) / 9 = (-12 + 10y) / 9 

Poniendo x en (2)

((-12 +10y)/9)/3 + y/2 = 13/6

(-12 + 10 años)/27 + años/2 = 13/6

Tomando 54 como MCM

-24 + 20 años + 27 años = 117

47 años = 117 + 24

47 años = 141

y = 3

X = (-12 + 30) / 9

x = 18/9

x = 2

Por lo tanto, x = 2 y y = 3.

Pregunta 2. Resuelva 2x + 3y = 11 y 2x – 4y = – 24 y, por lo tanto, encuentre el valor de ‘m’ para el cual y = mx + 3.

Solución:

2x + 3y = 11…………………………..(1)

2x – 4y = -24………………………… (2)

De 1)

x = (11 – 3 años) / 2

Sustituyendo x en la ecuación (2)

2(11 – 3 años) / 2 – 4 años =- 24

11 – 3 años – 4 años = -24

-7 años = -24 – 11

-7 años = -35

y = 5

Poniendo y en (1)

x = (11 – 3 × 5) / 2 = -4/2 = -2

x = -2, y = 5

y = mx + 3

5 = -2m +3

-2m = 2

metro = -1

Por lo tanto, el valor de m es -1.

Pregunta 3. Forme el par de ecuaciones lineales para los siguientes problemas y encuentre su solución por el método de sustitución.

(i) La diferencia entre dos números es 26 y un número es el triple del otro. Encuéntralos.

Solución:

Sean los dos números x e y 

y = 3x ……………… (1)

y – x = 26 …………..(2)

Sustituyendo el valor de y

3x – x = 26

2x = 26

x = 13 

y = 39

Por lo tanto, los números son 13 y 39.

(ii) El mayor de dos ángulos suplementarios excede al menor en 18 grados. Encuéntralos.

Solución:

Deje que el ángulo mayor sea x ^o  y el ángulo menor sea y ^o .

La suma de dos pares de ángulos suplementarios es 180 ^° .

x + y = 180 ^o ……………. (1)

x – y = 18 ^o  ……………..(2)

De 1)

x = 180 – y

Sustituyendo en (2)

180  – y – y = 18

-2y = -162

162 = 2 años

y = ^81o

x = 180 – y

x = 180 – 81

= 99

Por lo tanto, los ángulos son 99 ^°  y 81 ^° .

(iii) El entrenador de un equipo de cricket compra 7 bates y 6 pelotas por Rs.3800. Más tarde, compra 3 bates y 5 pelotas por Rs.1750. Encuentra el costo de cada bate y cada pelota.

Solución:

Deje que el costo de un bate sea Rs. x y el costo de una pelota sea Rs. y.

7x + 6y = 3800 ………………. (i)

3x + 5y = 1750 ………………. (ii)

de (yo)

y = (3800 – 7x) / 6………………..(iii)

Sustituyendo (iii) en (ii)

3x + 5(3800 – 7x) / 6 =1750

Tomando 6 como MCM

18x + 19000 – 7x = 10500

11x = 10500 – 19000

⇒ -17x = -8500

x = 500 ……………………….. (IV)

Sustituyendo el valor de x en (III), obtenemos

y = (3800 – 7 × 500)/6 = 300/6 = 50

Por lo tanto, el costo de un bate es de 500 rupias y el costo de una pelota es de 50 rupias.

(iv) Los cargos de taxi en una ciudad consisten en un cargo fijo junto con el cargo por la distancia recorrida. Para una distancia de 10 km, el cargo pagado es de 105 rupias y para un viaje de 15 km, el cargo pagado es de 155 rupias. ¿Cuáles son los cargos fijos y el cargo por kilómetro? ¿Cuánto tiene que pagar una persona por recorrer una distancia de 25 km?

Solución:

Sea el cargo fijo Rs x y el cargo por km sea Rs y.

x + 10y = 105 …………….. (1)

x + 15y = 155 …………….. (2)

De 1)

x = 105 – 10y ………………. (3)

Sustituyendo el valor de x en (2)

105 – 10 años + 15 años = 155

5 años = 50

y = 10

Poniendo el valor de y en (3)

x = 105 – 10 × 10

x = 105 – 100

x = 5

Por lo tanto, el cargo fijo es de 5 rupias y el cargo por kilómetro = 10 rupias

Cargo por 25 km = x + 25y = 5 + 250 = Rs 255

(v) Una fracción se convierte en 9/11, si se suma 2 tanto al numerador como al denominador. Si se suma 3 al numerador y al denominador se convierte en 5/6. Encuentra la fracción.

Solución:

Sea la fracción x/y.

(x + 2)/(y + 2) = 9/11

Por multiplicación cruzada

11x + 22 = 9y + 18

11x – 9y = -4 …………….. (1)

Por multiplicación cruzada

(x + 3)/(y + 3) = 5/6

6x + 18 = 5y + 15

6x – 5y = -3 ………………. (2)

De 1) 

x = (-4 + 9y)/11 …………….. (3)

Sustituyendo el valor de x en (2)

6(-4 + 9 años)/11 -5 años = -3

Tomando 11 como el MCM

-24 + 54 años – 55 años = -33

-24 – y = -33

-y = -33 + 24

-y = -9

y = 9

Sustituyendo el valor de y en (3)

x = (-4 + 9 × 9)/11 

X = (-4 + 81)/11

x = 77/11

x = 7

Por lo tanto, la fracción es 7/9.

(vi) Dentro de cinco años, la edad de Jacob será tres veces la de su hijo. Hace cinco años, la edad de Jacob era siete veces mayor que la de su hijo. ¿Cuáles son sus edades actuales?

Soluciones:

Sea la edad de Jacob = x años y la de hijo y años.

(x + 5) = 3(y + 5) ………………… (yo)

(x – 5) = 7(y – 5) ………………….. (ii)

de (yo)

x + 5 = 3y + 15

x – 3y = 10………………. (iii)

de (ii)

x-5 = 7y-35

x – 7y = -30………………..(iv)

Restando (iv) de (iii)

-3y + 7y = 40

4 años = 40

Transponiendo 4

y = 40/4

y = 10

Poniendo y = 10 en (iii)

x-30 = 10

x = 40

Por lo tanto, la edad actual de Jacob es de 40 años y la de su hijo es de 10 años.