Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Ecuaciones cuadráticas – Ejercicio 4.1

Pregunta 1. Comprueba si las siguientes son ecuaciones cuadráticas:

(yo) (x + 1) 2 = 2 (x – 3) 

Solución:

Aquí,

IZQ = (x + 1) 2

= x 2 + 2x + 1 (Usando la identidad (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 )

y, lado derecho = 2(x–3)

= 2x – 6

Como, LHS = RHS

x2 + 2x + 1 = 2x – 6

x2 + 7 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

(ii) x 2 – 2x = (–2) (3 – x)

Solución:

Aquí,

IZQ = x 2 – 2x

y, RHS = (–2) (3 – x)

= 2x–6

Como, LHS = RHS

x 2 – 2x = 2x – 6

x 2 – 4x + 6 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3) 

Solución:

Aquí,

IZQ = (x – 2)(x + 1)

= x 2 + (–2+1)x + (–2)(1) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )

= x 2 – x – 2

y, RHS = (x – 1)(x + 3) 

= x 2 + (–1+3)x + (–1)(3) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )

= x2 + 2x – 3

Como, LHS = RHS

x 2 – x – 2 = x 2 + 2x – 3

3x – 1 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 porque (a=0).

Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 1.

(iv) (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)

Solución:

Aquí,

IZQ = (x – 3)(2x +1)

= 2x 2 + x +(–3)(2x) + (–3)(1)

= 2x 2 – 5x – 3

y, lado derecho = x(x + 5)

= x2 + 5x

Como, LHS = RHS

2x 2 – 5x – 3 = x2 + 5x

x 2 – 10x – 3 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0).

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) 

Solución:

Aquí,

IZQ = (2x – 1)(x – 3)

= 2x 2 + (2x)(–3) +(–1)(x) + (–1)(–3)

= 2x 2 – 7x + 3

y, RHS = (x + 5)(x – 1) 

= x 2 + 5(x) + (–1)(x) + (5)(–1) (Usando la identidad (x+a) (x+b) = x 2 + (a+b)x + ab )

= x2 + 4 (x) – 5

Como, LHS = RHS

2×2 – 7x + 3 = x2 + 4 (x) – 5

x 2 – 11x + 8 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

(vi) x 2 + 3x + 1 = (x – 2) 2

Solución:

Aquí,

IZQ = x 2 + 3x + 1

y, lado derecho = (x – 2) 2

= x 2 – 4x + 4 (Usando la identidad (ab) 2 = a 2 2ab + b 2 )

Como, LHS = RHS

x2 + 3x + 1 = x2 4x + 4

7x – 3 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 porque (a=0) .

Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 1.

(vii) (x + 2) 3 = 2x (x 2 – 1) 

Solución:

Aquí,

IZQ = (x + 2) 3

= x 3 + 2 3 + 3x(2)(x+2) (Usando la identidad (x+y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x+y) )

= x 3 + 8 + 6x 2 +12x

y, RHS = 2x (x 2 – 1) 

= 2x 3  – 2x      

Como, LHS = RHS

x 3 + 8 + 6x 2 +12x = 2x 3  – 2x 

x 3 – 6x 2 – 14x – 8 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) no tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación NO es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 3.

(viii) x 3 – 4x 2 – x + 1 = (x – 2) 3

Solución:

Aquí,

IZQ = x 3 – 4x 2 – x + 1

y, lado derecho = (x – 2) 3

= x 3 – 2 3 – 3x(2)(x–2) (Usando la identidad (xy) 3 = x 3 y 3 3xy(xy) )

= x 3 – 8 – 6x 2 +12x

Como, LHS = RHS

x 3 – 4x 2 – x + 1 = x 3 – 8 – 6x 2 +12x

2x 2 – 13x + 9 = 0 ………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

Pregunta 2. Representa las siguientes situaciones en forma de ecuaciones cuadráticas:

(i) El área de una parcela rectangular es de 528 m 2 . El largo de la parcela (en metros) es uno más del doble de su ancho. Necesitamos encontrar el largo y el ancho de la parcela.

Solución:

Consideremos,

Ancho de la parcela rectangular = bm

Entonces, longitud de la parcela = (2b + 1) m.

Como, Área del rectángulo = largo × ancho 

528 m 2 = (2x + 1) × x

2×2 + x = 528

2x 2 + x – 528 = 0 ……………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

Por lo tanto, la longitud y el ancho de la trama satisfacen la ecuación cuadrática, 2x 2 + x – 528 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.

(ii) El producto de dos enteros positivos consecutivos es 306. Necesitamos encontrar los enteros.

Solución:

Consideremos,

El primer número entero = x

El próximo entero positivo consecutivo será = x + 1

Producto de dos enteros consecutivos = x × (x +1)

x2 + x = 306

x2 + x – 306 = 0 ……………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

Por lo tanto, los dos enteros x y x+1 satisfacen la ecuación cuadrática, x 2 + x – 306 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.

(iii) la madre de Rohan es 26 años mayor que él. El producto de sus edades (en años) dentro de 3 años será 360. Nos gustaría encontrar la edad actual de Rohan.

Solución:

Consideremos,

Edad de Rohan = x años

Entonces, la edad de la madre de Rohan = x + 26

Despues de 3 años,

Edad de Rohan = x + 3

La edad de la madre de Rohan será = x + 26 + 3 = x + 29

El producto de sus edades al cabo de 3 años será igual a 360, tal que

(x + 3)(x + 29) = 360

x2 + 29x + 3x + 87 = 360

x2 + 32x + 87 – 360 = 0

x2 + 32x – 273 = 0 ……………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

Por lo tanto, la edad de Rohan y su madre satisface la ecuación cuadrática, x 2 + 32x – 273 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.

(iv) Un tren recorre una distancia de 480 km a una velocidad uniforme. Si la velocidad hubiera sido 8 km/h menos, entonces habría tomado 3 horas más para recorrer la misma distancia. Necesitamos encontrar la velocidad del tren.

Solución:

Consideremos,

La velocidad del tren = x km/h

Tiempo necesario para viajar 480 km = (480/x) hr

Tiempo = Distancia / Velocidad

Aquí, de acuerdo con la condición dada,

La velocidad del tren = (x – 8) km/h

Como, el tren tardará 3 horas más en cubrir la misma distancia.

Por lo tanto, Tiempo necesario para recorrer 480 km = 480/(x+3) km/hr

Como,

Velocidad × Tiempo = Distancia

(x – 8)(480/(x + 3) = 480

480 + 3x – 3840/x – 24 = 480

3x – 3840/x = 24

3x 2 – 8x – 1280 = 0 ……………….(I)

Como, la ecn. (I) tiene la forma de ax 2 + bx + c = 0 donde (a≠0) .

Por lo tanto, la ecuación es una ecuación CUADRÁTICA porque la potencia más alta de x es 2.

Por lo tanto, la velocidad del tren satisface la ecuación cuadrática, 3x 2 – 8x – 1280 = 0 , que es la representación matemática requerida del problema.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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