Pregunta 11. Si la suma de los primeros n términos de un AP es 4n − n 2 , ¿cuál es el primer término (es decir, S 1 )? ¿Cuál es la suma de los dos primeros términos? ¿Cuál es el segundo término? Del mismo modo, encuentre los términos 3, 10 y n.
Solución:
Dado:
S norte = 4n−n 2
El primer término se puede obtener poniendo n=1,
a = S 1 = 4(1) − (1) 2 = 4−1 = 3
También,
Suma de los dos primeros términos = S 2 = 4(2)−(2) 2 = 8−4 = 4
Segundo término, a 2 = S2 − S1 = 4−3 = 1
Diferencia común, d = a 2 −a 1 = 1−3 = −2
También,
N-ésimo término, a n = a+(n−1)d
= 3+(n −1)(−2)
= 3−2n +2
= 5−2n
Por lo tanto, a 3 = 5−2(3) = 5-6 = −1
10 = 5−2(10) = 5−20 = −15
Por lo tanto, la suma de los dos primeros términos es equivalente a 4. El segundo término es 1.
Y, los términos 3, 10 y n son −1, −15 y 5 − 2n respectivamente.
Pregunta 12. Encuentra la suma de los primeros 40 números enteros positivos divisible por 6.
Solución:
Los primeros enteros positivos que son divisibles por 6 son 6, 12, 18, 24….
Al notar esta serie,
Primer término, a = 6
Diferencia común, d= 6.
Suma de n términos, sabemos,
S norte = n/2 [2a +(n – 1)d]
Sustituyendo los valores, obtenemos
S 40 = 40/2 [2(6)+(40-1)6]
= 20[12+(39)(6)]
= 20(12+234)
= 20×246
= 4920
Pregunta 13. Encuentra la suma de los primeros 15 múltiplos de 8.
Solución:
Los primeros múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32…
Al notar esta serie,
Primer término, a = 8
Diferencia común, d = 8.
Suma de n términos, sabemos,
S norte = n/2 [2a+(n-1)d]
Sustituyendo los valores, obtenemos,
S 15 = 15/2 [2(8) + (15-1)8]
= 15/2[6 +(14)(8)]
= 15/2[16 +112]
= 15(128)/2
= 15 × 64
= 960
Pregunta 14. Encuentra la suma de los números impares entre 0 y 50.
Solución:
Los números impares entre 0 y 50 son 1, 3, 5, 7, 9… 49.
Por lo tanto, podemos ver que estos números impares tienen la forma de AP
Ahora,
Primer término, a = 1
Diferencia común, d = 2
Último término, l = 49
El último término es equivalente a,
l = a+(n−1) re
49 = 1+(n−1)2
48 = 2(n − 1)
norte – 1 = 24
Resolviendo para n, obtenemos,
norte = 25
Suma del enésimo término,
Sn = n/2(a +l)
Sustituyendo estos valores,
S 25 = 25/2 (1+49)
= 25(50)/2
=(25)(25)
= 625
Pregunta 15. Un contrato de trabajo de construcción especifica una sanción por demora en la finalización más allá de una fecha determinada de la siguiente manera: Rs. 200 para el primer día, Rs. 250 para el segundo día, Rs. 300 por el tercer día, etc., siendo la multa por cada día subsiguiente Rs. 50 más que el día anterior. Cuánto dinero tiene que pagar el contratista como multa, si ha retrasado la obra por 30 días.
Solución:
Las penas dadas forman y AP tienen primer término, a = 200 y diferencia común, d = 50.
Por las restricciones dadas,
Multa que debe pagarse si el contratista ha retrasado el trabajo por 30 días = S 30
Suma del enésimo término, sabemos,
Sn = n/2[2a+(n -1)d]
Calculando, obtenemos,
S 30 = 30/2[2(200)+(30 – 1)50]
= 15[400+1450]
= 15(1850)
= 27750
Por lo tanto, el contratista tiene que pagar 27750 rupias como multa por 30 días de retraso.
Pregunta 16. Se utilizará una suma de 700 rupias para otorgar siete premios en efectivo a estudiantes de una escuela por su desempeño académico general. Si cada premio es 20 rupias menos que el premio anterior, encuentre el valor de cada uno de los premios.
Solución:
Supongamos que el costo del primer premio sea Rs. PAGS.
Luego, el costo del segundo premio = Rs. PAG-20
Además, el costo del tercer premio = Rs. PAG-40
Estos premios forman un AP, con diferencia común, d = −20 y primer término, a = P.
Dado que, S 7 = 700
Suma del enésimo término,
S norte = n/2 [2a + (n – 1) d]
Sustituyendo estos valores, obtenemos,
7/2 [2a + (7 – 1)d] = 700
Resolviendo, obtenemos,
a + 3(−20) = 100
un −60 = 100
a = 160
Por lo tanto, el valor de cada uno de los premios fue de 160 rupias, 140 rupias, 120 rupias, 100 rupias, 80 rupias, 60 rupias y 40 rupias.
Pregunta 17. En una escuela, los estudiantes pensaron en plantar árboles dentro y alrededor de la escuela para reducir la contaminación del aire. Se decidió que el número de árboles que plantará cada sección de cada clase será el mismo que el de la clase en la que están estudiando, por ejemplo, una sección de la clase I plantará 1 árbol, una sección de la clase II plantar 2 árboles y así sucesivamente hasta la clase XII. Hay tres secciones de cada clase. ¿Cuántos árboles plantarán los estudiantes?
Solución:
El número de árboles plantados por los alumnos forman un AP, 1, 2, 3, 4, 5………………..12
Ahora,
Primer término, a = 1
Diferencia común, d = 2−1 = 1
Suma del enésimo término,
Sn = n/2 [2a +(n-1)d]
S 12 = 12/2 [2(1)+(12-1)(1)]
= 6(2+11)
= 6(13)
= 78
Número de árboles plantados por 1 sección de las clases = 78
Por lo tanto,
Número de árboles plantados por 3 secciones de las clases = 3×78 = 234
Pregunta 18. Una espiral se compone de semicírculos sucesivos, con centros alternados en A y B, comenzando con el centro en A de radios 0.5, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ……… como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud total de tal espiral formada por trece semicírculos consecutivos? (Tome π = 22/7)
Solución:
Sabemos,
Perímetro de un semicírculo = πr
calculando,
PAG 1 = π(0.5) = π/2 cm
PAGS 2 = π(1) = π cm
PAG 3 = π(1.5) = 3π/2 cm
Donde, P 1 , P 2 , P 3 son las longitudes de los semicírculos respectivamente.
Ahora, esto forma una serie, tal que,
π/2, π, 3π/2, 2π, ….
PAG 1 = π/2 cm
PAG 2 = πcm
Diferencia común, d = P 2 – P 1 = π – π/2 = π/2
Primer término = P 1 = a = π/2 cm
Suma del enésimo término,
Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]
Por lo tanto, la suma de la longitud de 13 círculos consecutivos es;
S 13 = 13/2 [2(π/2) + (13 – 1)π/2]
Resolviendo, obtenemos,
= 13/2 [π + 6π]
=13/2 (7π)
= 13/2 × 7 × 22/7
= 143 centímetros
Pregunta 19. Se apilan 200 troncos de la siguiente manera: 20 troncos en la fila inferior, 19 en la fila siguiente, 18 en la fila contigua y así sucesivamente. ¿En cuántas filas se colocan los 200 troncos y cuántos troncos hay en la fila superior?
[1]
Solución:
El número de troncos en las filas tiene la forma de AP 20, 19, 18…
Dado,
Primer término, a = 20 y diferencia común, d = a2−a1 = 19−20 = −1
Supongamos que se colocarán un total de 200 troncos en n filas.
Por lo tanto, S n = 200
Suma del enésimo término,
Sn = n/2 [2a +(n -1)d]
S12 = 12/2 [2(20)+(n-1)(-1)]
400 = norte (40−n+1)
400 = n (41-n)
400 = 41n−n 2
Resolviendo la ecuación, obtenemos,
norte 2 −41n + 400 = 0
norte 2 −16n−25n+400 = 0
n(n −16)−25(n −16) = 0
(n-16)(n-25) = 0
Ahora,
O bien (n −16) = 0 o bien n−25 = 0
n = 16 o n = 25
Por la fórmula del n-ésimo término,
un norte = un+(n−1)d
un 16 = 20+(16−1)(−1)
= 20−15
= 5
Y, el término 25 es,
un 25 = 20+(25−1)(−1)
= 20−24
= −4
Por lo tanto, se pueden colocar 200 registros en 16 filas y el número de registros en la fila 16 es 5, ya que el número de registros no puede ser negativo como en el caso del término 25.
Pregunta 20. En una carrera de papas, se coloca un balde en el punto de partida, que está a 5 m de la primera papa y se colocan otras papas a 3 m de distancia en línea recta. Hay diez patatas en la fila.
Una competidora parte del balde, recoge la patata más cercana, corre hacia atrás con ella, la deja caer en el balde, vuelve corriendo para recoger la siguiente patata, corre hacia el balde para dejarla caer y continúa de la misma manera hasta que todas las papas están en el balde. ¿Cuál es la distancia total que debe correr el competidor?
[Pista: para recoger la primera patata y la segunda patata, la distancia total (en metros) recorrida por un competidor es 2×5+2×(5+3)]
Solución:
Las distancias de las patatas al cubo son 5, 8, 11, 14…, que forman un AP.
Ahora, sabemos que la distancia recorrida por el competidor para recolectar estas papas es dos veces la distancia a la que se han mantenido las papas.
Por lo tanto, las distancias a correr con las distancias de las papas es equivalente a,
10, 16, 22, 28, 34,……….
Obtenemos, a = 10 y d = 16−10 = 6
Suma del enésimo término, obtenemos,
S 10 = 12/2 [2(20)+(n -1)(-1)]
= 5[20+54]
= 5(74)
Resolviendo obtenemos,
= 370
Por lo tanto, el competidor correrá una distancia total de 370 m.