Pregunta 1. ¿Qué término del AP : 121, 117, 113, . . ., es su primer término negativo?
[Sugerencia: encuentre n para an < 0]
Solución:
Dada la serie AP es 121, 117, 113, . . .,
Aquí, primer término, a = 121 y diferencia común, d = 117-121= -4
fórmula del término n, a n = a+(n −1)d
Por eso,
un norte = 121+(n−1)(-4 )
= 121-4n+4
=125-4n
Para encontrar el primer término negativo de la serie, an < 0 Por lo tanto,
125-4n < 0
125 < 4n
n>125/4
n>31.25
Por lo tanto, el primer término negativo de la serie es el 32 ° término (n=32) .
que será, a 32 =125-4(32) = -3
Pregunta 2. La suma de los términos tercero y séptimo de un AP es 6 y su producto es 8. Encuentra la suma de los primeros dieciséis términos del AP.
Solución:
fórmula del término n, a n = a+(n −1)d
Tercer término, a 3 = a+(3 -1)d
un 3 = un + 2d
Y Séptimo término, a 7 = a+(7-1)d
un 7 = un + 6d
Según las condiciones dadas,
un 3 + un 7 = 6 …………………………….(i)
a 3 × a 7 = 8 ……………………………..(ii)
Sustituyendo los valores en la ecuación. (yo), obtenemos,
a+2d +a+6d = 6
2a+8d = 6
a+4d=3
a = 3–4d ……………………………………(iii)
Ahora sustituyendo los valores en la ecuación. (ii), obtenemos,
(a+2d)×(a+6d) = 8……………………..(iv)
Poniendo el valor de a de la ecuación. (iii) en la ecuación. (iv), obtenemos,
(3–4d +2d)×(3–4d+6d) = 8
(3 –2d)×(3+2d) = 8
3 2 – (2d) 2 = 8 (usando la identidad, (a+b)(ab) = a 2 -b 2 )
9 – 4d 2 = 8
4d 2 = 9-8 = 1
re = √(1/4)
d = ±1/2
d = 1/2 o -1/2
Así que ahora, si
re = 1/2,
a = 3 – 4d = 3 – 4(1/2) = 3 – 2 = 1
y si d = -1/2,
a = 3 – 4d = 3 – 4(-1/2) = 3+2 = 5
La suma del término n de AP es: S n = n/2 [2a +(n – 1)d]
Entonces, cuando a = 1 y d = 1/2
Entonces, la suma de los primeros 16 términos son;
S 16 = 16/2 [2 +(16-1)1/2] = 8(2+15/2)
S 16 = 76
Y cuando a = 5 y d= -1/2
Entonces, la suma de los primeros 16 términos son;
S 16 = 16/2 [2,5+(16-1)(-1/2)] = 8(5/2)
S 16 = 20
Pregunta 3. Una escalera tiene peldaños separados 25 cm. (ver figura). Los peldaños disminuyen uniformemente en longitud desde 45 cm en la parte inferior hasta 25 cm en la parte superior. Si los peldaños superior e inferior están separados por 2½ m, ¿cuál es la longitud de la madera necesaria para los peldaños?
[Sugerencia: número de peldaños = 250/25 + 1]
Solución:
Como se da que,
La distancia entre los peldaños de la escalera es de 25 cm.
La distancia entre el peldaño superior y el peldaño inferior de la escalera será (en cm) = 2 ½ × 100 = 250 cm
Por lo tanto, el número total de peldaños = 250/25 + 1 = 11
Como podemos observar aquí, la escalera tiene peldaños en orden decreciente de arriba a abajo. Así, los peldaños van decreciendo en un orden de AP.
Entonces, según la condición dada
Primer término, a = 45
Último término, l = 25
Número de términos, n = 11
Y la longitud de la madera necesaria para los peldaños será igual a la suma de los términos de la serie AP formada.
Ahora, como sabemos, la suma de los n -ésimos términos es igual a, S n = (n/2)(a+ l)
Sn = 11/2 (45+25) = 11/2(70) = 385 cm
Por lo tanto, la longitud de la madera necesaria para los peldaños es de 385 cm.
Pregunta 4. Las casas de una fila están numeradas consecutivamente del 1 al 49. Demuestra que existe un valor de x tal que la suma de los números de las casas que preceden a la casa numerada x es igual a la suma de los números de las casas siguiéndolo. Encuentre este valor de x.
[Sugerencia: S x – 1 = S 49 – S x ]
Solución:
De acuerdo con la declaración dada,
Las casas adosadas están numeradas en una fila que tienen la forma de AP, que es la siguiente:
1 2 3 ….. ….. …. 49 Aquí, de acuerdo con la condición dada,
Primer término, a = 1
Diferencia común, d=1
y último término = l
Digamos que el número de x -ésimas casas se puede representar como: S x – 1 = S 49 – S x
Donde S x representa a la suma de x ésimas casas.
( Valor de x tal que la suma de los números de las casas que preceden a la casa numerada x es igual a la suma de los números de las casas que le siguen )
Como, Suma del término n de AP , S n = n/2[a+l]
Suma del número de casas más allá de x casa = S x-1
Sx -1 = (x-1)/2[1+(x-1)]
S x-1 = x(x-1)/2 ………………………………………(i)
Por la condición dada, podemos escribir,
S 49 – S x = {49/2[1+(49)}–{x/2(1+x)}
= 25(49) – x(x + 1)/2 ………………………………….(ii)
Como ec. (i) y (ii) son iguales, entonces
x(x-1)/2 = 25(49) – x(x-1)/2
x(x-1) = 25(49)
x = ±35
Como sabemos, el número de casas no puede ser un número negativo.
Por lo tanto, el valor de x es 35.
Pregunta 5. Una pequeña terraza en un campo de fútbol consta de 15 escalones, cada uno de los cuales tiene 50 m de largo y están construidos con hormigón sólido. Cada escalón tiene una altura de 1/4 m y una huella de 1/2 m (ver Figura). Calcula el volumen total de concreto requerido para construir la terraza.
[Sugerencia: Volumen de hormigón necesario para construir el primer escalón = 1/4 × 1/2 × 50 m 3 ]
Solución:
Como podemos ver en la figura dada,
El primer escalón mide ¼ m de alto, ½ m de ancho y 50 m de largo
El 2º escalón tiene (¼+¼ = ½ m) de alto, ½ m de ancho y 50 m de largo y,
El 3er escalón tiene (3×¼ = 3/4 m) de alto, ½ m de ancho y 50 m de largo.
y así
Por lo tanto, podemos concluir que la altura del escalón aumenta en ¼ m cada vez que el ancho y el largo son ½ my 50 m respectivamente.
Entonces, la altura de los escalones forma una serie AP de tal manera que;
¼, ½, ¾, 1, 5/4, ……..
Volumen de pasos = Volumen de cuboides
= Largo × Ancho × Alto
Ahora,
Volumen de hormigón necesario para construir el primer escalón = ¼ ×½ ×50 = 25/4
Volumen de concreto requerido para construir el segundo escalón =½ ×½×50 = 25/2
Volumen de concreto requerido para construir el segundo escalón = ¾ × ½ ×50 = 75/2
Volumen de pasos = ½ × 50 × (¼ + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 5/4 + …….) …………………….(1)
Ahora, podemos ver la altura de concreto requerida para construir los escalones, están en serie AP;
Así, aplicando el concepto de serie AP a la altura,
Primer término, a = 1/4
Diferencia común, d = 2/4-1/4 = 1/4
n = 15
Como, la suma de n términos es: S n = n/2[2a+(n-1)d]
Sn = 15/2 (2×(1/4 )+(15 -1)1/4)
S n = 15/2 (4)
S n = 30
Por lo tanto, resolviendo la ecuación. (1), obtenemos
Volumen de pasos = ½ × 50 × S n
= ½ × 50 × 30
= 750 m 3
Por tanto, el volumen total de hormigón necesario para construir la terraza es de 750 m 3 .