Clase 10 Soluciones NCERT – Capítulo 6 Triángulos – Ejercicio 6.4

Pregunta 1. Sean ∆ ABC ~ ∆ DEF y sus áreas, respectivamente, 64 cm ² y 121 cm ² . Si EF = 15,4 cm, encuentre BC.

Solución:

De acuerdo con el teorema 1, obtenemos

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{AB^2}{DE^2} = \frac{AC^2}{DF^2} = \frac{BC^2}{EF^2}$

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{BC^2}{EF^2}$

$\frac{64}{121} = \frac{BC^2}{15.4^2}$

$\frac{8^2}{11^2} = \frac{BC^2}{15.4^2}$

$\frac{8}{11} = \frac{BC}{15.4}$

BC = $\frac{8}{11}$ × 15,4

CC = 11,2 cm

Pregunta 2. Diagonales de un trapecio ABCD con AB || DC se intersecan en el punto O. Si AB = 2 CD, encuentra la razón de las áreas de los triángulos AOB y COD.

Solución:

Dado, ABCD es un trapecio con AB || CORRIENTE CONTINUA. Las diagonales AC y BD se cortan en el punto O.

En △AOB y △COD,

∠ AOB = ∠ COD ( Ángulos opuestos )

∠ 1 = ∠ 2 ( Ángulos alternos de rectas paralelas )

△AOB ~ △COD por propiedad AA .

De acuerdo con el teorema 1, obtenemos

$\frac{ar(ΔAOB)}{ar(ΔCOD)} = \frac{AB^2}{CD^2}$

Como, AB = 2CD

= $\frac{(2CD)^2}{CD^2}$

= $\frac{4CD^2}{CD^2}$

= $\frac{4}{1}$

ar(AOB) : ar(COD) = 4 : 1

Pregunta 3. En la figura, ABC y DBC son dos triángulos en la misma base BC. Si AD interseca a BC en O, demuestre que $\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDBC)} = \frac{AO}{DO}$ .

Solución:

Dibujemos dos perpendiculares AP y DM sobre la línea BC.

Área del triángulo = ½ × Base × Altura

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDBC)} = \frac{½ × BC × AP}{½ × BC × DM}$

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDBC)} = \frac{AP}{DM}$ ………………………………(1)

En ΔAPO y ΔDMO,

∠APO = ∠DMO (Cada 90°)

∠AOP = ∠DOM (Ángulos verticalmente opuestos)

ΔAPO ~ ΔDMO por similitud AA

$\frac{AP}{DM} = \frac{AO}{DO}$ ………………………………(2)

De (1) y (2), podemos concluir que

$\mathbf{\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDBC)} = \frac{AO}{DO}}$

Pregunta 4. Si las áreas de dos triángulos semejantes son iguales, prueba que son congruentes.

Solución:

Como se da, ΔABC ~ ΔDEF

De acuerdo con el teorema 1, tenemos

$\frac{Area of (ΔABC)}{Area of (ΔDEF)} = \frac{BC^2}{EF^2}$

$\frac{BC^2}{EF^2}$ =1 [Ya que, Área(ΔABC) = Área(ΔDEF)

CB ² = EF ²

BC = FE

Del mismo modo, podemos demostrar que

AB = DE y AC = DF

Así, ΔABC ≅ ΔPQR [Criterio de congruencia SSS]

Pregunta 5. D, E y F son respectivamente los puntos medios de los lados AB, BC y CA de ∆ ABC. Encuentra la razón de las áreas de ∆ DEF y ∆ ABC.

Solución:

Como, se da aquí

DF = ½ BC

DE = ½ CA

FE = ½ AB

Asi que, $\frac{DF}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, ΔABC ~ ΔDEF

Según el teorema 1,

$\frac{ar(ΔDEF)}{ar(ΔABC)} = \frac{DE^2}{AC^2} = \frac{EF^2}{AB^2} = \frac{DF^2}{AC^2} = \frac{1^2}{2^2}$

$\frac{ar(ΔDEF)}{ar(ΔABC)} = \frac{1}{4}$

ar(ΔDEF) : ar(ΔABC) = 1 : 4

Pregunta 6. Demuestra que la razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus correspondientes medianas.

Solución:

Dado: AM y DN son las medianas de los triángulos ABC y DEF respectivamente.

ΔABC ~ ΔDEF

Según el teorema 1,

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{AB^2}{DE^2} = \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AC^2}{DF^2}$

Asi que, $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{2BP}{2EQ} = \frac{BP}{EQ}$

$\frac{AB}{DE} = \frac{BP}{EQ}$ …………………….(1)

∠B = ∠E (porque ΔABC ~ ΔDEF)

Por lo tanto, ΔABP ~ ΔDEQ [criterio de similitud SAS]

$\frac{BP}{EQ} = \frac{AP}{DQ}$ …………………….(2)

De (1) y (2), concluimos que

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{AP^2}{DQ^2}$

Por lo tanto, probado!

Pregunta 7. Demostrar que el área de un triángulo equilátero descrito en un lado de un cuadrado es igual a la mitad del área del triángulo equilátero descrito en una de sus diagonales.

Solución:

Tomemos el lado del cuadrado = a

Diagonal del cuadrado AC = a√2

Como ΔBCF y ΔACE son equiláteros, entonces son similares

ΔBCF ~ ΔACE

Según el teorema 1,

$\frac{ar(ΔACE)}{ar(ΔBCF)} = \frac{AC^2}{BC^2}$

= $\frac{(a√2)^2}{a^2}$

$\frac{ar(ΔACE)}{ar(ΔBCF)}$ = 2

Por lo tanto, Área de (ΔBCF) = ½ Área de (ΔACE)

Marque la respuesta correcta y justifique:

Pregunta 8. ABC y BDE son dos triángulos equiláteros tales que D es el punto medio de BC. La razón de las áreas de los triángulos ABC y BDE es

(A) 2 : 1 (B) 1 : 2 (C) 4 : 1 (D) 1 : 4

Solución:

Aquí,

AB = BC = AC = un

y BE = BD = ED = ½a

ΔABC ~ ΔEBD ( Triángulo equilátero )

Según el teorema 1,

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔEBD)} = \frac{AB^2}{EB^2} = \frac{a^2}{(½a)^2}$

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔEBD)} = \frac{4}{1}$

Área de (ΔABC) : Área de (ΔEBD) = 4 : 1

Por lo tanto, la OPCIÓN (C) es correcta.

Pregunta 9. Los lados de dos triángulos semejantes están en la razón 4 : 9. Las áreas de estos triángulos están en la razón

(A) 2 : 3 (B) 4 : 9 (C) 81 : 16 (D) 16 : 81

Solución:

ΔABC ~ ΔDEF

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{4}{9}$

Según el teorema 1,

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{AB^2}{DE^2}$

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDEF)} = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$

Área de (ΔABC) : Área de (ΔDEF) = 16 : 81

Por lo tanto, la OPCIÓN (D) es correcta.

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Pregunta 1. Sean ∆ ABC ~ ∆ DEF y sus áreas, respectivamente, 64 cm 2 y 121 cm 2 . Si EF = 15,4 cm, encuentre BC.

Pregunta 2. Diagonales de un trapecio ABCD con AB || DC se intersecan en el punto O. Si AB = 2 CD, encuentra la razón de las áreas de los triángulos AOB y COD.

Pregunta 3. En la figura, ABC y DBC son dos triángulos en la misma base BC. Si AD interseca a BC en O, demuestre que .

Pregunta 4. Si las áreas de dos triángulos semejantes son iguales, prueba que son congruentes.

Pregunta 5. D, E y F son respectivamente los puntos medios de los lados AB, BC y CA de ∆ ABC. Encuentra la razón de las áreas de ∆ DEF y ∆ ABC.

Pregunta 6. Demuestra que la razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus correspondientes medianas.

Pregunta 7. Demostrar que el área de un triángulo equilátero descrito en un lado de un cuadrado es igual a la mitad del área del triángulo equilátero descrito en una de sus diagonales.

Marque la respuesta correcta y justifique:

Pregunta 8. ABC y BDE son dos triángulos equiláteros tales que D es el punto medio de BC. La razón de las áreas de los triángulos ABC y BDE es

(A) 2 : 1 (B) 1 : 2 (C) 4 : 1 (D) 1 : 4

Pregunta 9. Los lados de dos triángulos semejantes están en la razón 4 : 9. Las áreas de estos triángulos están en la razón

(A) 2 : 3 (B) 4 : 9 (C) 81 : 16 (D) 16 : 81

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Pregunta 1. Sean ∆ ABC ~ ∆ DEF y sus áreas, respectivamente, 64 cm ² y 121 cm ² . Si EF = 15,4 cm, encuentre BC.

Pregunta 3. En la figura, ABC y DBC son dos triángulos en la misma base BC. Si AD interseca a BC en O, demuestre que $\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔDBC)} = \frac{AO}{DO}$ .