Pregunta 1. Un artista de circo trepa por una cuerda de 20 m de largo, que está bien estirada y atada desde la parte superior de un poste vertical hasta el suelo. Encuentra la altura del poste, si el ángulo que forma la cuerda con el nivel del suelo es de 30° (ver Fig.).
Solución:
En rt ∆ABC,
AB = polo = ?
CA = cuerda = 20m
senθ =
sen30° =
AB = 1/2 * 20
AB = 10m
Altura del poste = 10m
Pregunta 2. Un árbol se rompe debido a una tormenta y la parte rota se dobla de manera que la copa del árbol toca el suelo formando un ángulo de 30° con ella. La distancia entre el pie del árbol hasta el punto donde la copa toca el suelo es de 8 m. Encuentra la altura del árbol.
Solución:
En rt ∆ABC,
BC = 8m
= tan30°
= 1/√3
AB = 8/√3 -(1)
Ahora,
= cos30°
8/CA = √3/2
√3AC = 16
CA = 16/√3 -(2)
De (1) y (2)
Altura del árbol = AB + AC
= 8/√3 * 16√3
= 8√3 metros
8 * 1,73 = 13,84m
la altura del arbol es 13.84
Pregunta 3. Un contratista planea instalar dos toboganes para que los niños jueguen en un parque. Para los niños menores de 5 años, prefiere un tobogán cuya parte superior esté a una altura de 1,5 m y esté inclinada en un ángulo de 30° con respecto al suelo, mientras que para los niños mayores prefiere un tobogán empinado. a una altura de 3 m, e inclinado en un ángulo de 60° con respecto al suelo. ¿Cuál debe ser la longitud del tobogán en cada caso?
Solución:
En rt ∆ABC,
AB = 1,5 m
CA = lado = ?
= sen30°
1.5/CA = 1/2
CA = 1/5 * 2
CA = 3m
En rt ∆PQR,
PQ = 3m
PR = lado = ?
= sen60°
3/PR = √3/2
√3 PR = 6
PR = 6/√3
6/√3 * √3/√3
= 2√3
= 2 * 1,73
= 3,46 m
Pregunta 4. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre desde un punto en el suelo, que está a 30 m del pie de la torre, es de 30°. Encuentra la altura de la torre.
Solución:
En rt ∆ABC,
AB = torre = ?
BC = 30m
AB/30 = 1/√3
AB = 30/√3
AB = 30/√3 * √3/√3
= (30√3)/3 = 10√3
= 10 * 1,73
= 17,3m
La altura de la torre 17.3m
Pregunta 5. Una cometa vuela a una altura de 60 m sobre el suelo. La cuerda atada a la cometa se ata temporalmente a un punto en el suelo. La inclinación de la cuerda con el suelo es de 60°. Encuentre la longitud de la cuerda, asumiendo que no hay holgura en la cuerda.
Solución:
En rt ∆ABC,
AB = 6Om
CA = string = ?
= sen60°
60/CA = √3/3
√3 CA = 60 * 2
CA = 120/120/(√3) * √3/√3
120/√3 * √3/√3
40 = √3
40 * 1,73 = 69,20m
La longitud de la cuerda es de 69,20 m.
Pregunta 6. Un niño de 1,5 m de altura está parado a cierta distancia de un edificio de 30 m de altura. El ángulo de elevación desde sus ojos hasta la parte superior del edificio aumenta de 30° a 60° a medida que camina hacia el edificio. Encuentra la distancia que caminó hacia el edificio.
Solución:
En la figura AB = AE – 1.5
= 30 – 1,5
= 28,5
En rt ∆ABD,
= tan30°
= 28,5/BD = 1/√3
BD = 28.5√3 -(1)
En rt ∆ABC,
28.5/AC*√3
√3 BC = 28.5
BC = 28,5/√3 -(2)
CD = BD − BC
= 28,5√3 – 28,5/√3
= 28,5(2/√3)
57/√3 * √3/√3 = (57√3)/3 = 19√3
19 * 1,73 = 32,87m
El niño caminó 32,87 m hacia el edificio.
Pregunta 7. Desde un punto en el suelo, los ángulos de elevación de la parte inferior y superior de una torre de transmisión fijada en la parte superior de un edificio de 20 m de altura son 45° y 60° respectivamente. Encuentra la altura de la torre.
Solución:
En la Fig:
AB = torre = ?
BC = edificio = 20m
En rt ∆BCD
= tan45°
20/CD = 1/1
CD = 20
En rt. ∆ACD,
= tan60°
CA/20 = √3/1
CA = 20√3 -(1)
AB = AC-BC
20√3 – 20
20(√3 – 1)
20(1.732 – 1)
20(0.732)
14,64 m
La altura de la torre es de 14,6 m.
Pregunta 8. Una estatua de 1,6 m de altura se encuentra en lo alto de un pedestal. Desde un punto en el suelo, el ángulo de elevación de la parte superior de la estatua es de 60° y desde el mismo punto, el ángulo de elevación de la parte superior del pedestal es de 45°. Encuentra la altura del pedestal.
Solución:
En la figura: AB = estatua = 1,6 m
BC = pedestal = ?
En rt ∆ACD
= tan60°
1,6 + BC/CD = √3
√3 CD = 1.6 + BC
CD = 1,6+BC/√3 -(1)
En rt ∆BCD,
= tan45°
CD = BC
De 1)
1,6 + BC/√3 = BC/1
√3 BC = 1.6 + BC
1.732 aC – 1 aC = 1,6
0,732 * BC = 1,6
BC = 1,6/0,732
aC = 16/10 * 100/732 = 1600/732
BC = 2,18 m
La altura del pedestal es de 2,18 m.
Pregunta 9. El ángulo de elevación de la parte superior de un edificio desde el pie de la torre es de 30° y el ángulo de elevación de la parte superior de la torre desde el pie del edificio es de 60°. Si la torre tiene 50 m de altura, encuentra la altura del edificio.
Solución:
En la Fig:
AB = torre = 50m
CC = edificio = ?
En rt.∆ABC,
√3 BC = 50
BC = 50/√3
En rt. ∆DCB
= tan30°
= 1/√3
CC = 50/√3
CC = 50/√3 * 1/√3
CC = 50/3
CC =
la altura del edificio es
m
Pregunta 10. Dos postes de igual altura están uno frente al otro a cada lado de la carretera, que tiene 80 m de ancho. Desde un punto entre ellos en el camino, los ángulos de elevación de la parte superior de los postes son de 60° y 30°, respectivamente. Encuentra la altura de los polos y las distancias del punto a los polos.
Solución:
AB y CD en polos iguales.
Sea su altura = h
Sea DP = x
Entonces PB = BD – x
En rt. ∆CDP,
= tan60°
h/x = √3/1
h = √3 x -(1)
En rt. ∆PA
= tan30°
h/(80 – x) = 1/√3
h = (80 – x)/√3 -(2)
De (1) y (2)
(√3 x)/1 = 80 – x/√3
3x = 80 – x
3x + x = 80
4x = 80
X = 80/4
X = 20
Poner valores de X en la ecuación 1
h = √3x
h = √3(20)
h = 1.732(20)
h = 34.640
Altura de cada poste = 34,64 m
El punto está a 20 m del primer poste ya 60 m del segundo poste.
Capítulo 9 Algunas aplicaciones de la trigonometría – Ejercicio 9.1 | conjunto 2
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Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA