Pregunta 1: ¿Cuáles de los siguientes están en proporción inversa?
(i) El número de trabajadores en un trabajo y el tiempo para completar el trabajo.
(ii) El tiempo necesario para un viaje y la distancia recorrida a una velocidad uniforme.
(iii) Área de tierra cultivada cosechada.
(iv) El tiempo necesario para un viaje fijo y la velocidad del vehículo.
(v) La población de un país y el área de tierra por persona.
Solución:
(i) A medida que más trabajadores pueden completar el trabajo en menos tiempo, entonces, el número de trabajadores es inversamente proporcional al tiempo para completar el trabajo.
(ii) Cuanto más tiempo conduzcamos el coche, más distancia recorrerá, por lo que son directamente proporcionales.
(iii) Si cultivamos más tierra, tenemos más cultivos para cosechar, por lo tanto, son directamente proporcionales.
(iv) Si aumenta la velocidad, podemos llegar a nuestro destino en menos tiempo. Por lo tanto, aumentar la velocidad definitivamente disminuirá el tiempo necesario. Por lo tanto, son inversamente proporcionales.
(v) Si la población del país aumenta, el área de tierra por persona disminuye,
(Ejemplo: si hay 2 galletas y 2 amigos, ambos obtendrán 1-1, pero hay 3 amigos, entonces con la misma división, todos obtendrán menos de 1 galleta), Entonces, son inversamente proporcionales.
Pregunta 2: En un programa de juegos de televisión, el premio en metálico de ₹ 1,00,000 se dividirá en partes iguales entre los ganadores. Complete la siguiente tabla y determine si el premio en metálico otorgado a un ganador individual es directa o inversamente proporcional al número de ganadores.
| Número de ganadores (X i ) | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 | 20 |
| Premio para cada ganador en (₹) (P i ) | 1,00,000 | 50,000 | … | … | … | … | … |
Solución:
Donemos el número de ganador como Xi y el premio Pi, donde i en nuestro caso puede ser uno de
estos valores – (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20).
Observando el siguiente patrón -> X1 * P1 = X2 * P2 es decir 1 * 1,00,000 = 2 * 50,000
lo que significa que 1,00,000 = 1,00,000 (lo cual es cierto). Entonces, podemos concluir que Xi y Pi son inversamente proporcionales.
es decir, si aumenta el número de ganadores, el premio en metálico disminuye y viceversa.
Ahora, busquemos el dinero del premio para los valores punteados (…) en la tabla.
De acuerdo con la propiedad de proporcionalidad inversa (confirmada anteriormente): –
Tenemos:- Xi * Pi = Xj * Pj, donde i y j tienen valores – (1,2,4,5,8,10,20)
Por lo tanto, X4 * P4 = X2 * P2, en el lado derecho también podemos escribir X1 * Y1, eso también será cierto en nuestro caso.
Ahora, queríamos encontrar P4, así que tomamos nuestro P4 de un lado y otros términos del otro lado.
Por lo tanto,
P4 = (X2 * P2) / (X4) es decir, P4 = (2 * 50 000) / (4).
Por lo tanto, tenemos
P4 = (1,00,000) / (4) es decir, P4 = 25,000
Similarmente:
P5 = (1,00,000) / 5 = 20,000.
P8 = (1,00,000) / 8 = 12,500.
P10 = (1,00,000) / 10 = 10,000.
P20 = (1,00,000) / 20 = 5,000.
A continuación se muestra la tabla final que obtenemos después de completar los valores.
| Número de ganadores | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 | 20 |
| Premio para cada ganador en (₹) | 1,00,000 | 50,000 | … | … | … | … | … |
Pregunta 3: Rehman está haciendo una rueda con radios. Quiere arreglar radios iguales de tal manera que los ángulos entre cualquier par de radios consecutivos sean iguales. Ayúdalo completando la siguiente tabla.
| Número de radios | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|
Ángulo entre un par de consecutivos radios |
90° | 60° | … | … | … |
(i) ¿Están en proporción inversa el número de radios y los ángulos formados entre los pares de radios consecutivos?
(ii) Calcule los radios entre un par de radios consecutivos en una rueda con 15 radios.
(iii) ¿Cuántos radios se necesitarían si el ángulo entre un par de radios consecutivos es de 40°?
Solución :
Para la propiedad de proporcionalidad inversa, la condición
4 * 90° = 6 * 60° debe mantenerse.
Resolviendo:
4 * 90° = 6 * 60° ⇒ 360° = 360° , lo cual es cierto.
Entonces, el número de radios y el ángulo entre un par de radios consecutivos son inversamente proporcionales.
Denotemos que el ángulo entre un par de radios consecutivos para una rueda que consta de 8 radios es «a», 10 radios es «b» y 12 radios es «c».
Por lo tanto,
8 * a = 6 * 60° (360°)
Dividiendo ambos lados por 8
⇒ un = (6 * 60) / 8
⇒ un = (360)/(8)
⇒ a = 45°.
Similarmente:
b = (360)/10
⇒ b = 36°
c = (360)/12
⇒ c = 30°.
A continuación se muestra la tabla final que obtenemos después de completar los valores.
| Número de radios | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|
Ángulo entre un par de consecutivos radios |
90° | 60° | 45° | 36° | 30° |
Como hemos creado nuestra tabla, respondamos las preguntas una por una.
(i) Hemos demostrado esto anteriormente.
(ii) Número de radios = 15
sea, el ángulo entre un par de radios consecutivos para una rueda de 15 radios es “ d ”.
Por lo tanto, por propiedad de proporcionalidad inversa
re * 15 = 4 * 90
Dividiendo ambos lados por 15,
d = (4 * 90)/15
Resolviendo el lado derecho,
re = 24°
(iii) el ángulo entre dos radios consecutivos es de 40°,
Denotemos el número de radios por «n»
Por lo tanto, por propiedad de proporcionalidad inversa
norte * 40 = 4 * 90
Dividiendo ambos lados por 40,
n = (4 * 90) / 40
Resolviendo RHS (lado derecho),
norte = 9
Por lo tanto, el número de radios es 9 .
Pregunta 4: Si se divide una caja de dulces entre 24 niños, recibirán 5 dulces cada uno. ¿Cuántos recibiría cada uno, si el número de hijos se reduce en 4?
Solución:
Observando que, si aumentamos el número de niños, el número de Chocolates por niño disminuirá.
Lo que prueba que el número de niños y el número de chocolates por niño es inversamente proporcional.
Nos dan que si hay 24 niños, cada uno recibirá 5 chocolates, y tenemos que encontrar el número de chocolates (digamos n), si hay (24 – 4) es decir
20 niños
Por lo tanto, por propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 20 = 24 * 5
Dividiendo ambos lados por 20,
n = (24 * 5) / 20
Resolviendo RHS,
norte = 6
Por lo tanto, cada niño recibirá 6 chocolates.
Pregunta 5: Un granjero tiene suficiente comida para alimentar a 20 animales de su ganado durante 6 días. ¿Cuánto duraría la comida si hubiera 0 animales más si hubiera 10 animales más?
Solución:
Observando que, si aumentamos el número de animales, la comida se acabará en menos días, lo que prueba que número de animales y días son inversamente proporcionales.
Denotemos la cantidad de días para terminar la comida si hay 10 animales más
es decir (20 + 10) animales es decir 30 animales como “n”.
Por lo tanto, de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 30 = 20 * 6
dividiendo ambos lados por 30,
n = (20 * 6) / 30
Resolviendo RHS
norte = 4
Por lo tanto, si fueran 30 animales, la comida durará 4 días.
Pregunta 6: Un contratista estima que 3 personas podrían recablear la casa de Jaswinder en 4 días. Si utiliza 4 personas en lugar de tres, ¿cuánto tiempo deberían tardar en completar el trabajo?
Solución:
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Numero de personas | 3 | 4 |
| Número de días | 4 | … |
Observando que, si aumentamos el número de personas en un trabajo, el trabajo tardará menos en terminarse (es decir, menos días), lo que demuestra que el número de personas es inversamente proporcional a los días para terminar el cableado.
Denotemos el número de días para terminar el cableado por 4 personas como «n».
Por lo tanto, de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 4 = 3 * 4
Dividiendo ambos lados por 4
norte = 3
Por lo tanto, 4 personas tardan 3 días en terminar el cableado en la casa de Jaswinder.
Pregunta 7: Se empaquetó un lote de botellas en 25 cajas con 12 botellas en cada caja. Si el mismo lote se empaca con 20 botellas en cada caja, ¿cuántas cajas se llenarán?
Solución:
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Número de cajas | 25 | … |
| Número de botellas por caja | 12 | 20 |
Observando el hecho de que, si aumentamos las botellas en una caja, el número de cajas requeridas disminuirá, lo que prueba que el número de
botellas es inversamente proporcional al número de cajas.
Denotemos el número de cajas para el lote donde el número de botellas en cada caja es 20 como “n”.
Por lo tanto, de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 20 = 25 * 12
Dividiendo ambos lados por 20,
n = (25 * 12) / 20
resolviendo RHS,
n = 15
Por lo tanto, el número de cajas requeridas es 15 .
Pregunta 8: Una fábrica necesita 42 máquinas para producir una determinada cantidad de artículos en 63 días. ¿Cuántas máquinas se requerirían para producir la misma cantidad de artículos en 54 días?
Solución:
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Número de máquinas | 42 | … |
| Número de días | 63 | 54 |
Observándose, el hecho de que si se aumenta el número de máquinas, el número de días para producir artículos disminuirá, lo que prueba que el número de máquinas es inversamente proporcional al número de días necesarios para producir artículos.
Denotemos que el número de máquinas requeridas para crear artículos en 54 días es «n».
Por lo tanto, de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 54 = 42 * 63
Dividiendo ambos lados por 54,
n = (42 * 63) / 54
Resolviendo RHS
norte = 49
Por lo tanto, el número de máquinas requeridas para crear artículos en 54 días es 49.
Pregunta 9: Un automóvil tarda 2 horas en llegar a un destino viajando a una velocidad de 60 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardará si el automóvil viaja a una velocidad de 80 km/h?
Soluciones:
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Velocidad del coche (Km/h) | 60 | 80 |
| Tiempo (hora(s)) | 2 | … |
Observando el hecho de que si aumentamos la velocidad del coche, tardará menos en llegar al destino, lo que demuestra que la velocidad del coche es inversamente proporcional al tiempo que tarda en llegar al destino.
Denotemos el tiempo que tarda en llegar a destino cuando el automóvil viaja a una velocidad de 80 Km/h como “n”
Por lo tanto, por propiedad inversamente proporcional: –
norte * 80 = 2 * 60
Dividiendo ambos lados por 80,
n = (2 * 60) / 80
Resolviendo RHS,
n = 120 / 80
n = (3/2) horas.
Por lo tanto, el tiempo que tarda en llegar a destino, cuando el automóvil viaja a
La velocidad de 80 Km/h es (3/2) horas.
Pregunta 10: Dos personas podrían instalar ventanas nuevas en una casa en 3 días.
(i) Una de las personas se enfermó antes de que comenzara el trabajo. ¿Cuánto tiempo tomaría el trabajo ahora?
(ii) ¿Cuántas personas se necesitarían para colocar las ventanas en un día?
Solución :
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Número de personas | 2 | uno se enfermó entonces (2-1)= 1 persona | … |
| Número de días | 3 | … | 1 |
Observando el hecho, ese número de personas en un trabajo disminuirá el tiempo para terminar el trabajo. lo que prueba Número de personas es inversamente proporcional al Número de días necesarios para colocar la ventana en la casa.
Denotemos el número de días necesarios para ajustar la ventana cuando el número de personas
Trabajando es 1 como “x”, e indique el número de personas requeridas para ajustar la ventana en 1 día como “y”.
Ahora, resolvamos el (i)
(i) de la propiedad de proporcionalidad inversa:-
X * 1 = 2 * 3
Resolviendo RHS,
x = 6
Por lo tanto, el número de días necesarios para que una persona ajuste la ventana es 6.
(ii) de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
y * 1 = 2 * 3
Resolviendo RHS,
y = 6
Por lo tanto, la cantidad de personas requeridas para instalar la ventana en 1 día es 6.
Pregunta 11: Una escuela tiene 8 períodos al día de 45 minutos de duración cada uno. ¿Cuánto duraría cada período, si la escuela tiene 9 períodos al día, suponiendo que el número de horas escolares sea el mismo?
Solución:
Vamos a crear una tabla a partir de la información dada.
| Número de período | 8 | 9 |
| Duración de los períodos (minutos) | 45 minutos | … |
Observando el hecho de que la duración de los períodos disminuirá si aumentamos el número de períodos (porque el total de horas escolares es el mismo), lo que prueba que el número de períodos es inversamente proporcional a la duración de cada período.
Denotemos la duración de los periodos (en minutos), si hubiera 9 periodos en lugar de 8 como “n”.
Por lo tanto, de la propiedad de proporcionalidad inversa: –
norte * 9 = 8 * 45
Dividiendo ambos lados por 9
n = (8 * 45) / 9
Resolviendo RHS,
n = 40 minutos
Por tanto, la duración de los periodos será de 40 minutos.