Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 10 Círculos – Ejercicio 10.6

Pregunta 1. Demostrar que la línea de centros de dos círculos que se cortan subtiende ángulos iguales en los dos puntos de intersección.  

Solución:

Dado: Dos círculos con Centro A y B se cruzan en C y D.

Para probar: ∠ACB=∠ADB

Construcción: Une AD,BC y BD

Prueba: En ∆ACB y ∆ADB

AC=AD ——–[radios del mismo círculo]

BC=BD ———[radios del mismo círculo]

AB=AB ——–[común]

∴∆ACB≅∆ADB ——— [por SSS]

∠ACB=∠ADB ——–[cpct]

Pregunta 2. Dos cuerdas AB y CD de longitudes de 5 cm y 11 cm respectivamente de un círculo son paralelas entre sí y están en lados opuestos de su centro. Si la distancia entre AB y CD es de 6 cm, encuentra el radio del círculo.

Solución:

Sea O el centro de la circunferencia y sea r cm

Dado: AB=5cm, CD=11cm

Construcción: Dibuje OM perpendicular AB y OL perpendicular CD.

Porque OM perpendicular AB y OL perpendicular CD y AB||CD.

∴Los puntos O, L y M son colineales, entonces ∠M=6cm  

Sea OL=x  

Entonces OM=6=x

Únete a AO y CO

OA=OC =r

OL=1/2CD=1/2*11=5,5 cm —–[perpendicular desde la bisectriz de la cuerda]

AM=1/2AB=1/2*5=2.3cm —–[perpendicular desde la bisectriz de la cuerda]

Ahora, en ∆DLC derecho

r 2 =(OL) 2 +(CL) 2

r 2 = x 2 + (5.5) 2

r 2 =x 2 +30.25 ———–1

Ahora en ∆OMA derecho

r 2 =(OM) 2 +(MA) 2

r 2 = (6-x) 2 + (2.5) 2

r2 = 36+x2 = 12x+6,25

r 2 =x 2 -12x+42.25 ———–2

Ahora igualando la ecuación 1 y 2

X2 + 30,25=x2 -12x + 30,25

12x=42,25-30,25

X=12/12=1

Poner el valor de x en la ecuación 1

r 2 =x 2 +30.25

r2 =(1 ) 2 +30,25

r2 = 31,25

r=√31,25=5,6 (aprox.)

El radio del círculo es de 5,6 cm.

Pregunta 3. Las longitudes de dos cuerdas paralelas de un círculo son 6 cm y 8 cm. Si la cuerda más pequeña está a una distancia de 4 cm del centro, ¿cuál es la distancia de la otra cuerda al centro?

Solución:

Sean AB y CD|| cuerda de circunferencia de centro O que AB=6cm y CD=8cm y radio de circunferencia =r cm.

Construcción: Dibuje OP perpendicular AB y OM perpendicular CD.

Porque AB||CD y OP perpendicular AB y OM perpendicular CD por lo tanto. Los puntos O, M y P son colineales.

Claramente, OP=4cm ———-[Según pregunta]

OM=encontrar?

P es el punto medio de AB.

∴AP=1/2 AB=1/2*6=3cm  

M es el punto medio de AB.

CM = 1/2 CD = 1/2*8 cm = 4 cm

Únete a AO y CO

Ahora en ∆OPA derecha,

r 2 = AP 2 + PO 2

r 2 = 3 2 + 4 2

r 2 = 9 + 16 = 25

Ahora en ∆OMC

r2 = CM2 + MO2 _

25=4 2 +MO 2

25-16 = MES 2

9=MO 2

√9=MES  

3=MES

∴Por lo tanto, la distancia de la otra cuerda desde el centro es de 3 cm.  

Cuestión 4. Sea el vértice de un ángulo ABC fuera de un círculo y los lados del ángulo corten cuerdas iguales AD y CE con el círculo. Demuestra que ∠ABC es igual a la mitad de la diferencia de los ángulos subtendidos por las cuerdas AC y DE en el centro.  

Solución:

Dar: El vértice B de ∆ABC está fuera del círculo, cuerda AD=CE

Para probar: ∠ABC=1/2(∠DOE-∠AOC)

Construcción: Únete a AE

Solución: La cuerda DE subtiende ∠DOE en el centro y ∠DAE en el punto A del círculo.

∴∠DAE=1/2∠DOE ———-1

cuerdas AC subtiende ∠AOC en el centro y ∠AEC en el punto  

∴∠AEC=1/2∠AOC ———2

En ∆ ABE,∠DAE es el ángulo exterior  

∠DAE=∠ABC+∠AEC  

1/2∠DOE=∠ABC+1/2∠AOC

½(∠DOE-∠AOC)= ∠ABC

Pregunta 5. Demostrar que el círculo trazado con cualquier lado de un rombo como diámetro, pasa por el punto de intersección de sus diagonales.

Solución:

Dado: Un rombo ABCD en el que O es el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

Se dibuja un círculo tomando CD como diámetro.

Para probar: los puntos del círculo a través de O o Mentiras en los círculos.

Prueba: En rombo ABCD,

∠DOA=90° ——–[las diagonales del rombo se cortan a 90°] 1

En círculo:

∠COD=90° ——–[el ángulo formado en el segmento O es un ángulo recto] 2

De 1 y 2

O miente en el círculo.

Pregunta 6. ABCD es un paralelogramo. El círculo a través de A, B y C interseca a CD (producido si es necesario) en E. Demuestre que AE = AD.  

Solución:

ABCD es un ||gm. El círculo que pasa por A, B y C se corta en E.

Para probar: AE=AD

Prueba: Aquí ABCE es un cuadrilátero cíclico

∠2+∠4=180° —–[la suma de los opuestos es de un cuadrilátero cíclico es 180°]

∠4=180°-∠1 ——-1

Ahora ∠4+∠6=180°-∠6 ———2

De 1 y 2

180°-∠2=∠180°-∠6

∠2=∠6 ———–3

También ∠2=∠5 ———[los ángulos opuestos de ||gm son iguales] —–4

De 3 y 4

∠5=∠6

Ahora, en ∆ADE,

∠5=∠6

∴AE=AD ——[los lados opuestos a ángulos iguales en a∆ son iguales]

Pregunta 7. AC y BD son cuerdas de un círculo que se bisecan entre sí. Demuestre que (i) AC y BD son diámetros, (ii) ABCD es un rectángulo.

 Solución:

Dado: dos cuerdas AC y BD se bisecan, es decir, OA = OC, OB = OD

Demostrar: En ∆AOB y COB

AO=CO ——-[dado]

∠AOB=∠COD ——[ángulo verticalmente opuesto]

OB=OD ——–[dar]

∴∆AOB≅∆COB ——[sss]

AB=CD ——[CPCT] 1

de manera similar ∆AOD≅∆COB (SAS)

DA=CD (CPCT) 2

De 1 y 2 ABCD es un ||gm

Como ABCD es un cuadrilátero cíclico

∴∠A+∠C=180°  

∠B+∠B=180°

2∠B=180°

∠B=180°/2

∠B=90°

∴ ∠A y ∠B se encuentran en un semicírculo

→ AC y BD son el diámetro del círculo.

ii) Como ABCD es un ||gm y ∠A=90°

∴ ABCD es un rectángulo.

Pregunta 8. Las bisectrices de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC intersecan su circunferencia circunscrita en D, E y F respectivamente. Demuestra que los ángulos del triángulo DEF son 90° – 1 2 A, 90° – 1 2 B y 90° – 1 2 C.

Solución:

Dado:∆ABC y su circunferencia AD,BE y CF son bisectrices de ∠A,∠B y ∠C  

Respectivamente.

A prueba:∠ D=90°-1/2∠A , ∠E=90°-1/2∠B , ∠F=90°-1/2∠C

Construcción: Unir AE y AF.

Solución: ∠ADE=∠ABE ———-1 [los ángulos en el mismo segmento son iguales]

              ∠ADF=∠ACF ———–2 [los ángulos en el mismo segmento son iguales]

sumando 1 y 2

∠ADE+∠ABF=∠ABE+∠ACF

∠D=1/2∠B+1/2∠C ——[BC y CF son bisectrices de ∠B y ∠c]

∠D=1/2(∠B+∠C)

∠D=1/2(180°-∠A)

∠D=1/2(180°-∠A)

∠D=90°-1/2∠AC

Pregunta 9. Dos círculos congruentes se intersecan en los puntos A y B. A través de A se dibuja cualquier segmento de línea PAQ de modo que P, Q se encuentren en los dos círculos. Demuestre que BP = BQ.  

Solución:

Dado: dos círculos congruentes que se cortan en A y B.  

PAB es un segmento de recta

Para probar: BA=BQ

Construcción: únete a AB

Prueba: AB es un acorde común de ambos círculos congruentes.

El segmento de ambos círculos será igual.

∠P=∠Q

Ahora, en ∆ BPQ,

∠P=∠Q

BP=BQ ——[los lados opuestos a los ángulos iguales son iguales]

Pregunta 10. En cualquier triángulo ABC, si la bisectriz del ángulo de ∠A y la bisectriz perpendicular de BC se intersecan, prueba que se intersecan en el circuncírculo del triángulo ABC.

 Solución:

Dado: A ∆ABC, en el que AD es la bisectriz de ∠A y OD es ⊥ bisectriz de BC.

Para probar: D se encuentra en el circuncírculo.

Construcción: unir OB y ​​OC

Prueba: Dado que BC subtiende ∠BAC en A en el resto del círculo.

∠BOC=2∠BAC ——-1

Ahora, en ∆BOE y ∆ COE

BO=OE ——–(radios de la misma circunferencia)

BE=CE —–(dar)

∴∆BOE≅COE ——-(SSS)

∠1=∠2 ——-(cpct)

Ahora,

∠1+∠2=∠BOC

2∠1=∠BOC

2∠1=2∠BAC ———- (desde 1)

∠1=∠BAC

∠BOE=∠BAF

∠DBO=∠BAC

∠BOD=2∠BAD [AD es la bisectriz de ∠BAC]

Esto es posible solo si BD es la cuerda del círculo.

D se encuentra en el círculo.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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