Pregunta 1. Encuentra el volumen del cono circular recto con
(i) radio 6 cm, altura 7 cm
(ii) radio 3,5 cm, altura 12 cm
Solución:
Volumen del cono (V) = (1/3) × πr 2 h
(i) Valores dados,
Radio del cono (r) = 6 cm
Altura del cono (h) = 7 cm
V = (1/3) × (22/7) × 6 × 6 × 7 (usando π=22/7)
V = 22 × 6 × 2
V = 264 cm3
(ii) Valores dados,
Radio del cono (r) = 3,5 cm
Altura del cono (h) = 12 cm
V = (1/3) × (22/7) × 3,5 × 3,5 × 12 (usando π=22/7)
V = 154 cm3
Pregunta 2. Encuentra la capacidad en litros de un recipiente cónico con
(i) radio 7 cm, altura inclinada 25 cm
(ii) altura 12 cm, altura inclinada 13 cm
Solución:
Volumen del cono (V) = (1/3) × πr 2 h
(i) Valores dados,
Radio del cono (r) = 7 cm
Altura inclinada del cono (l) = 25 cm
h = √(l 2 – r 2 )
h = √(25 2 – 7 2 )
h = √576
alto = 24 cm
V = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 24 (usando π=22/7)
V = 22 × 7 × 8
V = 1232 cm3
(ii) Valores dados,
Altura del cono (h) = 12 cm
Altura inclinada del cono (l) = 13 cm
r = √(l 2 – h 2 )
r = √(13 2 – 12 2 )
r = √25
r = 5 cm
V = (1/3) × (22/7) × 5 × 5 × 12 (usando π=22/7)
V = 2200/7 cm3
V = 314,28 cm3
Pregunta 3. La altura de un cono es de 15 cm. Si su volumen es de 1570 cm 3 , encuentre el radio de la base. (Use π = 3.14)
Solución:
valores dados,
Altura del cono (h) = 15 cm
Volumen del cono (V) = 1570 cm 3
V = (1/3) × πr 2 h
1570 = (1/3) × 3,14 × r 2 × 15 (usando π=3,14)
r2 = 1570 × 3 / (3,14 × 15)
r2 = 100
r = √100
r = 10 cm
Pregunta 4. Si el volumen de un cono circular recto de 9 cm de altura es 48 π cm 3 , encuentra el diámetro de su base.
Solución:
valores dados,
Altura del cono (h) = 9 cm
Volumen del cono (V) = 48π cm 3
V = (1/3) × πr 2 h
48 × π = (1/3) × π × r 2 × 9
r 2 = 48 × 3 / 9 (anulando π de ambos lados)
r2 = 16
r = √16
r = 4 cm
Diámetro = 2 veces radio = 2 × r
= 2 × 4
= 8 centímetros
Pregunta 5. Un pozo cónico de 3,5 m de diámetro superior tiene 12 m de profundidad. ¿Cuál es su capacidad en kilolitros?
Solución:
valores dados,
Radio del cono (r) = 3,5/2 m
Altura del cono (h) = 12 m
Volumen del cono = (1/3) × πr 2 h
= (1/3) × (22/7) × (3,5/2) × (3,5/2) × 12 (tomando π=22/7)
= (22 × 3,5 × 3,5 × 12) / (7 × 3 × 2 × 2)
= 38,5 m 3
Capacidad de fosa cónica en kilo litros:
1000 m 3 = 1 litro
38,5 m 3 = 1000 × 38,5 litros
= 38.500 litros
= 38,5 kilo litros
Pregunta 6. El volumen de un cono circular recto es 9856 cm 3 . Si el diámetro de la base es de 28 cm, encuentre
(i) altura del cono
(ii) altura inclinada del cono
(iii) área de la superficie curva del cono
Solución:
valores dados,
Radio del cono (r) = 28/2 = 14 cm
Volumen del cono (V) = 9856 cm 3
(i) Volumen del cono = (1/3) × πr 2 h
9856 = (1/3) × (22/7) × 14 × 14 × h (tomando π=22/7)
h = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14)
alto = 48 cm
(ii) Sea altura inclinada = l
l 2 = h 2 + r 2
l = √(h 2 + r 2 )
l = √(48 2 + 14 2 )
l = √(2304 + 196)
l = √2500
largo = 50 cm
(iii) área de la superficie curva del cono = πrl
= π × 14 × 50 cm 2
= 22/7 × 700 (tomando π=22/7)
= 2200 cm2
Pregunta 7. Un triángulo rectángulo ABC con lados de 5 cm, 12 cm y 13 cm gira alrededor del lado de 12 cm. Encuentre el volumen del sólido así obtenido.
Solución:
Aquí, después de girar el triángulo alrededor de 12 cm de lado, obtenemos
Radio del cono (r) =5 cm
Altura del cono (h) = 12 cm
Volumen del cono = (1/3) × πr 2 h
= (1/3) × π × 5 × 5 × 12
= (12 × π × 5 × 5) / 3
V = 100π cm 3
Pregunta 8. Si el triángulo ABC de la Pregunta 7 anterior gira alrededor de 5 cm de lado, entonces encuentre el volumen del sólido así obtenido. Encuentre también la razón de los volúmenes de los dos sólidos obtenidos en las Preguntas 7 y 8.
Solución:
Aquí, después de girar el triángulo alrededor de 5 cm de lado, obtenemos
Radio del cono (r) =12 cm
Altura del cono (h) = 5 cm
Volumen del cono = (1/3) × πr 2 h
= (1/3) × π × 12 × 12 × 5
= (12 × π × 12 × 5) / 3
V = 240π cm 3
Volumen en la Pregunta 7 = 100π cm 3
Relación = (Volumen en la Pregunta 8) / (Volumen en la Pregunta 7)
= 240π/100π
= 12/5
Por lo tanto, la relación obtenida = 12 : 5
Pregunta 9. Un montón de trigo tiene la forma de un cono cuyo diámetro es de 10,5 my la altura es de 3 m. Halla su volumen. El montón se cubrirá con una lona para protegerlo de la lluvia. Encuentre el área del lienzo requerida.
Solución:
valores dados,
Radio del cono (r) = 10,5/2 = 105/20 m
Altura del cono (h) = 3 m
Volumen del cono = (1/3) × πr 2 h
= (1/3) × (22/7) × (105/2) × (105/2) × 3 (tomando π=22/7)
= (22 × 105 × 105 × 3) / (3 × 20 × 20 × 7)
V = 86.625 m 3
Área del lienzo = área de superficie del cono = πrl
Altura inclinada (l) = √(h 2 + r 2 )
l = √(3 2 + (10.5/2) 2)
l = √(9+ (110.25/4))
l = √(146,25/4)
l = √36.56
l = 6,05 m (aprox.)
Área de superficie del cono = π × (105/20) × 6,05 m 2
= (22/7) × (635,25/20) (tomando π=22/7)
= 99,82 m 2
