Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.5 | Serie 1
Pregunta 9. Verifique:
(i) x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 )
Solución:
Fórmula (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x + y)
x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y)
x 3 + y 3 = (x + y) [(x + y) 2 – 3xy]
x 3 + y 3 = (x + y) [(x 2 + y 2 + 2xy) – 3xy]
Por lo tanto, x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 + y 2 – xy)
(ii) x 3 – y 3 = (x – y) (x 2 + xy + y 2 )
Solución:
Fórmula, (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy(x – y)
x 3 − y 3 = (x – y) 3 + 3xy(x – y)
x 3 − y 3 = (x – y) [(x – y) 2 + 3xy]
x 3 − y 3 = (x – y) [(x 2 + y 2 – 2xy) + 3xy]
Por lo tanto, x 3 + y 3 = (x – y) (x 2 + y 2 + xy)
Pregunta 10. Factorice cada uno de los siguientes:
(i) 27y 3 + 125z 3
Solución:
27y 3 + 125z 3 también se puede escribir como (3y) 3 + (5z) 3
27y 3 + 125z 3 = (3y) 3 + (5z) 3
Fórmula x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 )
27y 3 + 125z 3 = (3y) 3 + (5z) 3
= (3y + 5z) [(3y) 2 – (3y)(5z) + (5z) 2 ]
= (3y + 5z) (9y 2 – 15yz + 25z 2 )
(ii) 64m 3 – 343n 3
Solución:
64m 3 – 343n 3 también se puede escribir como (4m) 3 – (7n) 3
64m3 – 343n3 = (4m) 3 – (7n) 3
Fórmula x 3 – y 3 = (x – y) (x 2 + xy + y 2 )
64m3 – 343n3 = (4m) 3 – (7n ) 3
= (4m – 7n) [(4m) 2 + (4m)(7n) + (7n) 2 ]
Pregunta 11. Factoriza: 27x 3 + y 3 + z 3 – 9xyz
Solución:
27x 3 + y 3 + z 3 – 9xyz también se puede escribir como (3x) 3 + y 3 + z 3 – 3(3x)(y)(z)
27x 3 + y 3 + z 3 – 9xyz = (3x) 3 + y 3 + z 3 – 3(3x)(y)(z)
Fórmula, x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx)
27x 3 + y 3 + z 3 – 9xyz = (3x) 3 + y 3 + z 3 – 3(3x)(y)(z)
= (3x + y + z) [(3x) 2 + y 2 + z 2 – 3xy – yz – 3xz]
= (3x + y + z) (9x 2 + y 2 + z 2 – 3xy – yz – 3xz)
Pregunta 12. Verifica que: x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (1/2) (x + y + z) [(x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 ]
Solución:
Fórmula, x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz)
Multiplicando por 2 y dividiendo por 2
= (1/2) (x + y + z) [2(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz)]
= (1/2) (x + y + z) (2x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 2xy – 2yz – 2xz)
= (1/2) (x + y + z) [(x 2 + y 2 − 2xy) + (y 2 + z 2 – 2yz) + (x 2 + z 2 – 2xz)]
= (1/2) (x + y + z) [(x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 ]
Por lo tanto, x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (1/2) (x + y + z) [(x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 ]
Pregunta 13. Si x + y + z = 0, demuestre que x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz.
Solución:
Fórmula, x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz)
Dado, (x + y + z) = 0,
Entonces, x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (0) (x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz)
x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = 0
Por lo tanto, x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz
Pregunta 14. Sin calcular los cubos, encuentre el valor de cada uno de los siguientes:
(yo) (−12) 3 + (7) 3 + (5) 3
Solución:
Dejar,
x = −12
y = 7
z = 5
Sabemos que si x + y + z = 0, entonces x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz.
y tenemos −12 + 7 + 5 = 0
Por lo tanto, (−12) 3 + (7) 3 + (5) 3 = 3xyz
= 3 × -12 × 7 × 5
= -1260
(ii) (28) 3 + (−15) 3 + (−13) 3
Solución:
Dejar,
x = 28
y = −15
z = −13
Sabemos que si x + y + z = 0, entonces x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz.
y tenemos, x + y + z = 28 – 15 – 13 = 0
Por lo tanto, (28) 3 + (−15) 3 + (−13) 3 = 3xyz
= 3 (28) (−15) (−13)
= 16380
Pregunta 15. Da posibles expresiones para el largo y el ancho de cada uno de los siguientes rectángulos, en las que se dan sus áreas:
(i) Área: 25a 2 – 35a + 12
Solución:
Utilizando el método de dividir el término medio,
25a 2 – 35a + 12
25a 2 – 35a + 12 = 25a 2 – 15a − 20a + 12
= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3)
= (5a – 4) (5a – 3)
La expresión posible para largo y ancho es = (5a – 4) & (5a – 3)
(ii) Área: 35y 2 + 13y – 12
Solución:
Usando el método de dividir el término medio,
35 años 2 + 13 años – 12 = 35 años 2 – 15 años + 28 años – 12
= 5y(7y – 3) + 4(7y – 3)
= (5 años + 4) (7 años – 3)
La expresión posible para largo y ancho es = (5y + 4) & (7y – 3)
Pregunta 16. ¿Cuáles son las posibles expresiones para las dimensiones de los paralelepípedos cuyos volúmenes se dan a continuación?
(i) Volumen: 3x 2 – 12x
Solución:
3x 2 – 12x también se puede escribir como 3x(x – 4)
= (3) (x) (x – 4)
Posible expresión para largo, ancho y alto = 3, x & (x – 4)
(ii) Volumen: 12ky 2 + 8ky – 20k
Solución:
12ky 2 + 8ky – 20k también se puede escribir como 4k (3y 2 + 2y – 5)
12ky 2 + 8ky– 20k = 4k(3y 2 + 2y – 5)
Usando el método de dividir el término medio.
= 4k (3y2 + 5y – 3y – 5)
= 4k [y(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
Posible expresión para largo, ancho y alto = 4k, (3y + 5) & (y – 1)
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Artículo escrito por ayush12arora y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA