Soluciones NCERT Clase 9 – Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.5

Pregunta 1. Utilice identidades adecuadas para encontrar los siguientes productos:

(yo) (x + 4) (x + 10)

Solución:

Usando la fórmula, (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab

[Entonces, a = 4 y b = 10]

(x + 4) (x + 10) = x ² + (4 + 10)x + (4 × 10)

= x2 ⁺ 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10)

Solución:

Usando la fórmula, (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab

[Entonces, a = 8 y b = −10]

(x + 8) (x – 10) = x ² + (8 + (-10) )x + (8 × (-10))

= x2 ⁺ (8 – 10) x – 80

= x ² – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)

Solución:

Usando la fórmula, (y + a) (y + b) = y ² + (a + b)y + ab

[Entonces, y = 3x, a = 4 y b = −5]

(3x + 4) (3x − 5) = (3x) ² + [4 + (-5)]3x + 4 × (-5)

= 9x ² + 3x (4 – 5) – 20

= 9x ² – 3x – 20

(iv) (y ² + $\frac{3}{2}$ ) (y ² – $\frac{3}{2}$ )

Solución:

Usando la fórmula, (a + b) (a – b) = a ² – b ²

[Entonces, a = y ² y b = $\frac{3}{2}$ ]

(y ² + $\frac{3}{2}$ ) (y ² – $\frac{3}{2}$ ) = (y ² ) ² – ( $\frac{3}{2}$ )^2

= y ⁴ – $\frac{9}{4}$

Pregunta 2. Evalúa los siguientes productos sin multiplicar directamente:

(yo) 103 × 107

Solución:

103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)

Usando la fórmula, (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab

Después,

X = 100

un = 3

b = 7

Entonces, 103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)

= (100) ² + (3 + 7)100 + (3 × 7)

= 10000 + 1000 + 21

= 11021

(ii) 95 × 96

Solución:

95 × 96 = (100 – 5) × (100 – 4)

Usando la fórmula, (x – a) (x – b) = x ² – (a + b)x + ab

Entonces, según la identidad

X = 100

un = 5

segundo = 4

Entonces, 95 × 96 = (100 – 5) × (100 – 4)

= (100) ² – 100 (5+4) + (5 × 4)

= 10000 – 900 + 20

= 9120

(iii) 104 × 96

Solución:

104 × 96 = (100 + 4) × (100 – 4)

Usando la fórmula, (a + b) (a – b) = a ² – b ²

Después,

un = 100

segundo = 4

Entonces, 104 × 96 = (100 + 4) × (100 – 4)

= (100) ² – (4) ²

= 10000 – 16

= 9984

Pregunta 3. Factoriza lo siguiente usando identidades apropiadas:

(i) 9x ² + 6xy + y ²

Solución:

9x ² + 6xy + y ² = (3x) ² + (2 × 3x × y) + y ²

Usando la fórmula, a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Después,

a = 3x

segundo = y

9x ² + 6xy + y ² = (3x) ² + (2 × 3x × y) + y ²

= (3x + y) ²

= (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y ² − 4y + 1

Solución:

4y ² − 4y + 1 = (2y) ² – (2 × 2y × 1) + 1

Usando la fórmula, a ² – 2ab + b ² = (a – b) ²

Después,

a = 2 años

segundo = 1

= (2y – 1) ²

= (2y – 1) (2y – 1)

(iii) x ² – $\frac{y^2}{100}$

Solución:

x ² – $\frac{y^2}{100}$ = x ² – $(\frac{y}{10})^2$

Usando la fórmula, a ² – b ² = (a – b) (a + b)

Después,

una = x

segundo = $\frac{y}{10}$

= (x – $\frac{y}{10}$ ) (x + $\frac{y}{10}$ )

Pregunta 4. Expanda cada uno de los siguientes, usando identidades adecuadas:

(yo) (x + 2y + 4z) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = x

y = 2 años

z = 4z

(x + 2y + 4z) ² = x ² + (2y) ² + (4z) ² + (2 × x × 2y) + (2 × 2y × 4z) + (2 × 4z × x)

= x2 ⁺ 4y2 + 16z2 ^{+ 4xy}⁺ 16yz + 8xz

(ii) (2x − y + z) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = 2x

y = −y

z = z

(2x − y + z) ² = (2x) ² + (−y) ² + z ² + (2 × 2x × −y) + (2 × −y × z) + (2 × z × 2x)

= 4x ² + y ² + z ² – 4xy – 2yz + 4xz

(iii) (−2x + 3y + 2z) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = −2x

y = 3 años

z = 2z

(−2x + 3y + 2z) ² = (−2x) ² + (3y) ² + (2z) ² + (2 ×−2x × 3y) + (2 ×3y × 2z) + (2 ×2z × −2x )

= 4x ² + 9y ² + 4z ² – 12xy + 12yz– 8xz

(iv) (3a – 7b – c) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = 3a

y = – 7b

z = – c

(3a – 7b – c) ² = (3a) ² + (– 7b) ² + (– c) ² + (2 × 3a × – 7b) + (2 × –7b × –c) + (2 × –c × 3a)

= 9a ² + 49b ² + c ² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (–2x + 5y – 3z) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = –2x

y = 5 años

z = – 3z

(–2x + 5y – 3z) ² = (–2x) ² + (5y) ² + (–3z) ² + (2 × –2x × 5y) + (2 × 5y × – 3z) + (2 × –3z × –2x)

= 4x ² + 25y ² + 9z ² – 20xy – 30yz + 12zx

(vi) ( $\frac{1}{4}$ a – $\frac{1}{2}$ b + 1) ²

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Después,

x = $\frac{1}{4}$ un

y = $\frac{-1}{2}$ segundo

z = 1

( $\frac{1}{4}$ a – ( $\frac{-1}{2}$ )b + 1) ² = [ $\frac{1}{4}$ a] ² + [ $\frac{-1}{2}$ b] ² + 1 ² + [2 x $\frac{1}{4}$ }ax $\frac{-1}{2}$ b] + [2 x $\frac{-1}{2}$ b x 1] + [2 x 1 x $\frac{1}{4}$ a]

= $\frac{1}{16}$ un ² + $\frac{1}{4}$ segundo ² + 1 – $\frac{1}{4}$ ab – segundo + $\frac{1}{2}$ un

Pregunta 5. Factoriza:

(i) 4x ² + 9y ² + 16z ² + 12xy – 24yz – 16xz

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Entonces, x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z) ²

4x ² + 9y ² + 16z ² + 12xy – 24yz – 16xz = (2x) ² + (3y) ² + (−4z)2 + (2 × 2x × 3y) + (2 × 3y × −4z) + (2 × −4z × 2x)

= (2x + 3y – 4z) ²

= (2x + 3y – 4z) (2x + 3y – 4z)

(ii) 2x ² + y ² + 8z ² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz

Solución:

Usando la fórmula, (x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx

Entonces, x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z) ²

2x ² + y ² + 8z ² – 2√2xy + 4√2yz – 8xz

= (-√2x) ² + (y) ² + (2√2z) ² + (2 × -√2x × y) + (2 × y × 2√2z) + (2 × 2√2 × −√2x )

= (−√2x + y + 2√2z) ²

= (−√2x + y + 2√2z) (−√2x + y + 2√2z)

Pregunta 6. Escribe los siguientes cubos en forma desarrollada:

(yo) (2x + 1) ³

Solución:

Usando la fórmula,(x + y) ³ = x ³ + y ³ + 3xy(x + y)

(2x + 1) ³ = (2x) ³ + 1 ³ + (3 × 2x ×1) (2x + 1)

= 8x ³ + 1 + 6x(2x + 1)

= 8x ³ + 12x ² + 6x + 1

(ii) (2a − 3b) ³

Solución:

Usando la fórmula, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

(2a − 3b) ³ = (2a) ³ − (3b) ³ – (3 × 2a × 3b) (2a – 3b)

= 8a ³ – 27b ³ – 18ab(2a – 3b)

= 8a ³ – 27b ³ – 36a ² b + 54ab ²

(iii) ( $\frac{3}{2}$ x + 1) ³

Solución:

Usando la fórmula, (x + y) ³ = x ³ + y ³ + 3xy(x + y)

( $\frac{3}{2}$ x+ 1) ³ = ( $\frac{3}{2}$ x) ³ + 1 ³ + (3 × $\frac{3}{2}$ x × 1) ( $\frac{3}{2}$ x + 1)

= $\frac{27}{8}$ x ³ + 1 + $\frac{27}{4}$ x ² + $\frac{9}{2}$ x

= $\frac{27}{8}x^3 + \frac{27}{4}x^2 + \frac{9}{2}x +1$

(iv) (x − $\frac{2}{3}$ y) ³

Solución:

Usando la fórmula, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

(x − $\frac{2}{3}$ y) ³ = x ³ − [ $\frac{2}{3}$ y] ³ – 3(x) $\frac{2}{3}$ y[x − $\frac{2}{3}$ y]

= x ³ – $\frac{8}{27}$ y ³ – 2x ² y + $\frac{4}{3}$ xy ²

Pregunta 7. Evalúa lo siguiente usando identidades adecuadas:

(yo) (99) ³

Solución:

99 = 100 – 1

Usando la fórmula, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

(99) ³ = (100 – 1) ³

= (100) ³ – 1 ³ – (3 × 100 × 1) (100 – 1)

= 1000000 – 1 – 300(100 – 1)

= 1000000 – 1 – 30000 + 300

= 970299

(ii) (102) ³

Solución:

102 = 100 + 2

Usando la fórmula, (x + y) ³ = x ³ + y ³ + 3xy(x + y)

(100 + 2) ³ = (100) ³ + 2 ³ + (3 × 100 × 2) (100 + 2)

= 1000000 + 8 + 600(100 + 2)

= 1000000 + 8 + 60000 + 1200

= 1061208

(iii) (998) ³

Solución:

998 = 1000 – 2

Usando la fórmula, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

(998) ³ = (1000 – 2) ³

= (1000) ³ – 2 ³ – (3 × 1000 × 2) (1000 – 2)

= 1000000000 – 8 – 6000(1000 – 2)

= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000

= 994011992

Pregunta 8. Factorice cada uno de los siguientes:

(i) 8a ³ + b ³ + 12a ² b + 6ab ²

Solución:

8a ³ + b ³ +12a ² b + 6ab ² también se puede escribir como (2a) ³ + b ³ + 3(2a) ² b + 3(2a)(b) ²

8a ³ + b ³ + 12a ² b + 6ab ² = (2a) ³ + b ³ + 3(2a) ² b + 3(2a)(b) ²

Fórmula utilizada, (x + y) ³ = x ³ + y ³ + 3xy(x + y)

= (2a + b) ³

= (2a + b) (2a + b) (2a + b)

(ii) 8a ³ – b ³ – 12a ² b + 6ab ²

Solución:

8a ³ – b ³ − 12a ² b + 6ab ² también se puede escribir como (2a) ³ – b ³ – 3(2a) ² b + 3(2a)(b) ²

8a ³ – b ³ − 12a ² b + 6ab ² = (2a) ³ – b ³ – 3(2a) ² b + 3(2a)(b) ²

fórmula utilizada, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

= (2a – b) ³

= (2a – b) (2a – b) (2a – b)

(iii) 27 – 125a ³ – 135a + 225a ²

Solución:

27 – 125a ³ – 135a +225a ² también se puede escribir como 3 ³ – (5a) ³ – 3(3) ² (5a) + 3(3)(5a) ²

27 – 125a ³ – 135a + 225a ² = 3 ³ – (5a) ³ – 3(3) ² (5a) + 3(3)(5a) ²

Fórmula utilizada, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

= (3 – 5a) ³

= (3 – 5a) (3 – 5a) (3 – 5a)

(iv) 64a ³ – 27b ³ – 144a ² b + 108ab ²

Solución:

64a ³ – 27b ³ – 144a ² b + 108ab ² también se puede escribir como (4a) ³ – (3b) ³ – 3(4a) ² (3b) + 3(4a)(3b) ²

64a ³ – 27b ³ – 144a ² b + 108ab ² = (4a) ³ – (3b) ³ – 3(4a) ² (3b) + 3(4a)(3b) ²

Fórmula utilizada, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

= (4a – 3b) ³

= (4a – 3b) (4a – 3b) (4a – 3b)

(v) 7p ³ – $\frac{1}{216}$ − $\frac{9}{2}$ pag ² + $\frac{1}{4}$ pag

Solución:

27p ³ – $\frac{1}{216}$ − ( $\frac{9}{2}$ ) p ² + ( $\frac{1}{4}$ )p también se puede escribir como (3p) ³ – $(\frac{1}{6})^3$ – 3(3p) ² ( $\frac{1}{6}$ ) + 3(3p)( $\frac{1}{6}$ ) ²

27p ³ – ( $\frac{1}{216}$ ) − ( $\frac{9}{2}$ ) pag ² + ( $\frac{1}{4}$ )p = (3p) ³ – ( $\frac{1}{6}$ ) ³ – 3(3p) ² ( $\frac{1}{6}$ ) + 3(3p)( $\frac{1}{6}$ ) ²

Fórmula utilizada, (x – y) ³ = x ³ – y ³ – 3xy(x – y)

= (3p – $\frac{1}{6}$ ) ³

= (3p – $\frac{1}{6}$ ) (3p – $\frac{1}{6}$ ) (3p – $\frac{1}{6}$ )