Pregunta 1: ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Da razones para tus respuestas.
(i) Solo una línea puede pasar por un solo punto.
(ii) Hay un número infinito de líneas que pasan por dos puntos distintos.
(iii) Una línea terminada se puede producir indefinidamente en ambos lados.
(iv) Si dos círculos son iguales, entonces sus radios son iguales.
(v) En la figura Dada, si AB = PQ y PQ = XY, entonces AB = XY.
Solución:
(i) Falso
Motivo: Si marcamos un punto O en la superficie de un papel. Usando lápiz y escala, podemos dibujar un número infinito de líneas rectas que pasan por O.
(ii) Falso
Motivo: A través de dos puntos distintos sólo puede trazarse una línea. Por lo tanto, la declaración mencionada anteriormente es falsa.
(iii) Verdadero
Motivo: Una línea que se termina se puede producir indefinidamente en ambos lados como una línea se puede extender en ambos lados infinitamente. Por lo tanto, la declaración mencionada anteriormente es verdadera.
(iv) Verdadero
Razón: Los radios de dos círculos son iguales cuando los dos círculos son iguales. La circunferencia y el centro de ambos círculos coinciden; y por lo tanto, el radio de los dos círculos debe ser igual. Por lo tanto, la declaración mencionada anteriormente es verdadera.
(v) Cierto
Motivo: Según el 1er axioma de Euclides: “Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí”. Por lo tanto, la declaración mencionada anteriormente es verdadera.
Pregunta 2: Dé una definición para cada uno de los siguientes términos. ¿Hay otros términos que deben definirse primero? ¿Qué son y cómo podrías definirlos?
(i) Líneas paralelas
(ii) Líneas perpendiculares
(iii) Segmento de línea
(iv) Radio de un círculo
(v) Cuadrado
Solución:
Sí, hay otros términos que deben definirse primero, para que entendamos mejor:
- Plano: Las superficies planas en las que se pueden dibujar figuras geométricas se conocen como planas. Una superficie plana es una superficie que se encuentra uniformemente con las líneas rectas sobre sí misma.
- Punto: Un punto adimensional que se dibuja sobre una superficie plana se conoce como punto. Un punto es lo que no tiene parte.
- Línea: Una colección de puntos que solo tiene largo y no ancho se conoce como línea. Y se puede extender en ambas direcciones. Una línea es longitud sin anchura.
(i) Líneas paralelas: Se dice que dos líneas l y m en un plano son paralelas si no tienen un punto común y podemos escribirlas como l || metro.
(ii) Líneas perpendiculares: Se dice que dos líneas A y B son perpendiculares si forman un ángulo recto y podemos escribirlas como A ⊥ B.
(iii) Segmento de línea: un segmento de línea es una parte de la línea y tiene una longitud definida. Tiene dos puntos finales. En la figura, se muestra un segmento de línea que tiene puntos finales P y Q. Escríbalo como una flecha sobre PQ.
(iv) Radio del círculo: La distancia desde el centro hasta un punto del círculo se llama radio del círculo. En la figura, l es el centro y m es un punto en el círculo, luego lm es el radio del círculo.
(v) Cuadrado: Un cuadrilátero en el que los cuatro ángulos son rectos y los cuatro lados son iguales se llama Cuadrado.
En la figura dada ABCD es un cuadrado.
Pregunta 3: Considere dos ‘postulados’ dados a continuación:
(i) Dados dos puntos distintos A y B, existe un tercer punto C que está entre A y B.
(ii) Existen al menos tres puntos que no están en la misma línea.
¿Estos postulados contienen términos indefinidos? ¿Son consistentes estos postulados?
¿Se siguen de los postulados de Euclides? Explique.
Solución:
Sí, estos postulados contienen términos indefinidos como ‘Punto y Línea’. Los términos indefinidos en los postulados son:
- Hay muchos puntos que se encuentran en un plano. Pero, en los postulados que se dan aquí, no se da la posición del punto C, en cuanto a si se encuentra en el segmento de línea que une a AB o si no se une al segmento de línea.
- Además de eso, no hay información sobre si los puntos están en el mismo plano o no.
Y
Sí, estos postulados son consistentes cuando nos enfrentamos a estas dos situaciones:
- El punto C se encuentra en el segmento de línea AB entre A y B.
- El punto C no se encuentra en el segmento de línea AB.
No, no se siguen de los postulados de Euclides. Siguen los axiomas, es decir, «dados dos puntos distintos, hay una línea única que los atraviesa».
Pregunta 4: Si un punto C se encuentra entre dos puntos A y B tal que AC = BC, entonces demuestre que AC = 12 AB, explique dibujando la figura.
Solución:
AC = BC (Dado)
Como hemos estudiado en este capítulo “Si se suman iguales a iguales entonces también hay todos iguales”.
Por lo tanto, AC+ BC = BC+ AC
⇒ 2AC = BC+AC
Como hemos estudiado en este capítulo, sabemos que,
BC+AC = AB (ya que coincide con el segmento de recta AB)
∴ 2 AC = AB (Si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales).
⇒ AC = (½)AB.
Pregunta 5: En la pregunta 4, el punto C se llama punto medio del segmento de línea AB. Demostrar que todo segmento de recta tiene un solo punto medio.
Solución:
Sea AB el segmento de línea dado en la pregunta.
Suponga que los puntos C y D son los dos puntos medios diferentes del segmento de línea AB.
Por tanto, C y D son los puntos medios de AB.
Ahora, como C y D son puntos medios de Ab tenemos,
AC = CB y AD = DB
CB+AC = AB (ya que coincide con el segmento de recta AB)
Del mismo modo, DB+AD = AB.
Ahora,
Sumando AC a LHS y RHS de la ecuación AC = CB
Obtenemos, AC+AC = CB+AC (si se suman iguales a iguales, los enteros son iguales).
⇒ 2AC = AB — (i)
Similarmente,
2 AD = AB — (ii)
De la ecuación (i) y (ii), dado que los RHS son iguales, igualamos los LHS que obtenemos,
2 AC = 2 AD (Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.)
⇒ AC = AD (Las cosas que son el doble de las mismas cosas son iguales entre sí.)
Por lo tanto, concluimos que C y D son los mismos puntos.
Esto contradice nuestra suposición de que C y D son dos puntos medios diferentes de AB.
Así, se demuestra que todo segmento de recta tiene un único punto medio.
Por lo tanto, Probado.
Pregunta 6: En la figura, si AC = BD, entonces demuestre que AB = CD.
Solución:
Según la pregunta, AC = BD
De la figura dada podemos concluir que,,
CA = AB+BC
BD = BC+CD
⇒ AB+BC = BC+CD (AC = BD, dado)
Como hemos estudiado, según el axioma de Euclides, cuando se restan iguales de iguales, los residuos también son iguales.
Restando BC de LHS y RHS de la ecuación AB+BC = BC+CD, obtenemos,
AB+BC-BC = BC+CD-BC
AB = CD
Por lo tanto Probado.
Pregunta 7: ¿Por qué el Axioma 5, en la lista de axiomas de Euclides, se considera una ‘verdad universal’? (Tenga en cuenta que la pregunta no es sobre el quinto postulado).
Solución:
El quinto axioma de Euclides establece que “el todo es mayor que la parte”.
Por ejemplo: un pastel. Cuando está entero o completo, suponga que mide 2 libras pero cuando se saca y mide una parte, su peso será menor que la medida anterior. Entonces, el quinto axioma de Euclides es cierto para todos los materiales del universo. Por lo tanto, el Axioma 5, en la lista de los axiomas de Euclides, se considera una ‘verdad universal’.