Pregunta 1: En la figura, los lados QP y RQ de ΔPQR se producen en los puntos S y T respectivamente. Si ∠SPR = 135° y ∠PQT = 110°, encuentre ∠PRQ.
Solución:
Dado: ∠TQP = 110°, ∠SPR = 135°
TQR es una recta como podemos ver en la figura
Como hemos estudiado en este capítulo, TQP y PQR formarán un par lineal
⇒ ∠TQP + ∠PQR = 180° ———-(i)
Poniendo el valor de ∠TQP = 110° en la Ecuación (i) obtenemos,
⇒ 110° + ∠PQR = 180°
⇒ ∠PQR = 70°
Considere el ΔPQR,
Aquí, el lado QP se prolonga hasta S y, por lo tanto, SPR forma el ángulo exterior.
Por lo tanto, ∠SPR (∠SPR = 135°) es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos. (Propiedad del triángulo)
O, ∠PQR + ∠PRQ = 135° ———(ii)
Ahora, poniendo el valor de PQR = 70° en la ecuación (ii) obtenemos,
∠PRQ = 135° – 70°
Por lo tanto, ∠PRQ = 65°
Pregunta 2: En la figura, ∠X = 62°, ∠ XYZ = 54°. Si YO y ZO son las bisectrices de XYZ y XZY respectivamente de Δ XYZ, encuentre OZY y YOZ.
Solución:
Dado: ∠X = 62°, ∠XYZ = 54°
Como hemos estudiado en este capítulo,
Sabemos que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°.
Entonces, ∠X +∠XYZ +∠XZY = 180°
Poniendo los valores dados en la pregunta que obtenemos,
62°+54° + ∠XZY = 180°
O, ∠XZY = 64°
Ahora, sabemos que ZO es la bisectriz entonces,
∠OZY = ½ XZY
∴ ∠OZY = 32°
De manera similar, YO es una bisectriz y por lo tanto,
∠OYZ = ½ XYZ
O, ∠OYZ = 27° (Como XYZ = 54°)
Ahora, como la suma de los ángulos interiores del triángulo,
∠OZY +∠OYZ +O = 180°
Poniendo sus respectivos valores, obtenemos,
∠O = 180°-32°-27°
Por lo tanto, ∠O = 121°
Pregunta 3: En la Figura, si AB || DE, ∠BAC = 35° y ∠CDE = 53°, encuentre ∠DCE.
Solución:
Dado: AB || DE,∠BAC = 35° y ∠CDE = 53°
Como sabemos que AE es una transversal de AB y DE
Aquí, BAC y AED son ángulos interiores alternos.
Por lo tanto, ∠BAC = ∠AED
∠BAC = 35° (Dado)
∠DEA = 35°
Ahora considere el triángulo CDE. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
∴ ∠DCE + ∠CED + ∠CDE = 180°
Poniendo los valores, obtenemos
∠ECD + 35° + 53° = 180°
Por lo tanto, ∠DCE = 92°
Pregunta 4: En la figura, si las rectas PQ y RS se intersecan en el punto T, tal que ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° y ∠TSQ = 75°, encuentra ∠SQT.
Solución:
Dado: ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° y ∠TSQ = 75°
En △PRT.
∠PRT +∠RPT + ∠PTR = 180° (La suma de todos los ángulos del Triángulo es 180°)
⇒ ∠PTR = 45°
Ahora ∠PTR será igual a STQ ya que son ángulos verticalmente opuestos.
⇒ ∠PTR = ∠STQ = 45°
De nuevo, en el triángulo STQ,
⇒ ∠TSQ +∠PTR + ∠SQT = 180° (La Suma de todos los ángulos del Triángulo es 180°)
Resolviendo esto obtenemos,
⇒ ∠SQT = 60°
Pregunta 5: En la Figura, si PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°, luego encuentra los valores de x e y.
Solución:
Dado: PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°
x + SQR = QRT (Como son ángulos alternos ya que QR es transversal)
Ahora, Poniendo el valor de ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°
⇒ x + 28° = 65°
∴x = 37°
También se sabe que los ángulos interiores alternos son iguales y
⇒ QSR = x = 37°
También,
⇒ QRS + QRT = 180° (Como forman un par Lineal)
Poniendo el valor de ∠QRT = 65° obtenemos,
⇒ QRS + 65° = 180°
⇒ QRS = 115°
Como sabemos que la suma de los ángulos en un cuadrilátero es 360°.
⇒ P + Q + R + S = 360°
Poniendo sus respectivos valores, obtenemos,
⇒ S = 360° – 90° – 65° – 115° = 900
En Δ SPQ
⇒ ∠SPQ + x + y = 1800
⇒ 900 + 370 + y = 1800
⇒ y = 1800 – 1270 = 530
Por lo tanto, y = 53°
Pregunta 6: En la figura, el lado QR de ΔPQR se produce en un punto S. Si las bisectrices de ∠PQR y ∠PRS se encuentran en el punto T, entonces demuestre que ∠QTR = ½ ∠QPR.
Solución:
Dado: T es la bisectriz de ∠PQR y ∠PRS,
Para probar: ∠QTR = ½ ∠QPR
Prueba:
Considere el ΔPQR.
∠PRS es un ángulo exterior.
∠QPR y ∠PQR son ángulos interiores.
⇒ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR (Según propiedad del triángulo)
⇒ ∠PRS – ∠PQR = ∠QPR ————(i)
Ahora, considere el ΔQRT,
∠TRS = ∠TQR + ∠QTR (Dado que los ángulos exteriores son iguales)
⇒ ∠QTR = ∠TRS – ∠TQR
Sabemos que QT y RT bisecan ∠PQR y ∠PRS respectivamente.
Entonces, ∠PRS = 2 ∠TRS y ∠PQR = 2∠TQR
Ahora,
⇒ ∠QTR = ½ ∠PRS – ½ ∠PQR
⇒ ∠QTR = ½ ∠(PRS – PQR)
De la ecuación (i) sabemos que ∠PRS – ∠PQR = ∠QPR,
⇒ ∠QTR = ½ ∠QPR
Por lo tanto, Probado.