Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 6 Líneas y ángulos – Ejercicio 6.3

Pregunta 1: En la figura, los lados QP y RQ de ΔPQR se producen en los puntos S y T respectivamente. Si ∠SPR = 135° y ∠PQT = 110°, encuentre ∠PRQ.

Solución:

Dado: ∠TQP = 110°, ∠SPR = 135°

TQR es una recta como podemos ver en la figura

Como hemos estudiado en este capítulo, TQP y PQR formarán un par lineal 

⇒ ∠TQP + ∠PQR = 180° ———-(i)

Poniendo el valor de ∠TQP = 110° en la Ecuación (i) obtenemos,

⇒ 110° + ∠PQR = 180° 

⇒ ∠PQR = 70°

Considere el ΔPQR,

Aquí, el lado QP se prolonga hasta S y, por lo tanto, SPR forma el ángulo exterior.

Por lo tanto, ∠SPR (∠SPR = 135°) es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos. (Propiedad del triángulo)

O, ∠PQR + ∠PRQ = 135° ———(ii)

Ahora, poniendo el valor de PQR = 70° en la ecuación (ii) obtenemos,

∠PRQ = 135° – 70°

Por lo tanto, ∠PRQ = 65°

Pregunta 2: En la figura, ∠X = 62°, ∠ XYZ = 54°. Si YO y ZO son las bisectrices de XYZ y XZY respectivamente de Δ XYZ, encuentre OZY y YOZ.

Solución:

Dado: ∠X = 62°, ∠XYZ = 54°

Como hemos estudiado en este capítulo,

Sabemos que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

Entonces, ∠X +∠XYZ +∠XZY = 180°

Poniendo los valores dados en la pregunta que obtenemos,

62°+54° + ∠XZY = 180°

O, ∠XZY = 64°

Ahora, sabemos que ZO es la bisectriz entonces,

∠OZY = ½ XZY

∴ ∠OZY = 32°

De manera similar, YO es una bisectriz y por lo tanto,

∠OYZ = ½ XYZ

O, ∠OYZ = 27° (Como XYZ = 54°)

Ahora, como la suma de los ángulos interiores del triángulo,

∠OZY +∠OYZ +O = 180°

Poniendo sus respectivos valores, obtenemos,

∠O = 180°-32°-27°

Por lo tanto, ∠O = 121°

Pregunta 3: En la Figura, si AB || DE, ∠BAC = 35° y ∠CDE = 53°, encuentre ∠DCE.

Solución:

Dado: AB || DE,∠BAC = 35° y ∠CDE = 53°

Como sabemos que AE es una transversal de AB y DE

Aquí, BAC y AED son ángulos interiores alternos.

Por lo tanto, ∠BAC = ∠AED

 ∠BAC = 35° (Dado)

∠DEA = 35°

Ahora considere el triángulo CDE. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

∴ ∠DCE + ∠CED + ∠CDE = 180°

Poniendo los valores, obtenemos

∠ECD + 35° + 53° = 180°

Por lo tanto, ∠DCE = 92°

Pregunta 4: En la figura, si las rectas PQ y RS se intersecan en el punto T, tal que ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° y ∠TSQ = 75°, encuentra ∠SQT.

Solución:

Dado: ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° y ∠TSQ = 75°

En △PRT.

∠PRT +∠RPT + ∠PTR = 180° (La suma de todos los ángulos del Triángulo es 180°)

⇒ ∠PTR = 45°

Ahora ∠PTR será igual a STQ ya que son ángulos verticalmente opuestos.

⇒ ∠PTR = ∠STQ = 45°

De nuevo, en el triángulo STQ,

⇒ ∠TSQ +∠PTR + ∠SQT = 180° (La Suma de todos los ángulos del Triángulo es 180°)

Resolviendo esto obtenemos,

⇒ ∠SQT = 60°

Pregunta 5: En la Figura, si PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°, luego encuentra los valores de x e y.

Solución:

Dado: PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°

x + SQR = QRT (Como son ángulos alternos ya que QR es transversal)

Ahora, Poniendo el valor de ∠SQR = 28° y ∠QRT = 65°

⇒ x + 28° = 65°

∴x = 37°

También se sabe que los ángulos interiores alternos son iguales y 

⇒ QSR = x = 37°

También, 

⇒ QRS + QRT = 180° (Como forman un par Lineal)

Poniendo el valor de ∠QRT = 65° obtenemos,

⇒ QRS + 65° = 180°

⇒ QRS = 115°

Como sabemos que la suma de los ángulos en un cuadrilátero es 360°. 

⇒ P + Q + R + S = 360°

Poniendo sus respectivos valores, obtenemos,

⇒ S = 360° – 90° – 65° – 115° = 900

En Δ SPQ

⇒ ∠SPQ + x + y = 1800

⇒ 900 + 370 + y = 1800

⇒ y = 1800 – 1270 = 530

Por lo tanto, y = 53°

Pregunta 6: En la figura, el lado QR de ΔPQR se produce en un punto S. Si las bisectrices de ∠PQR y ∠PRS se encuentran en el punto T, entonces demuestre que ∠QTR = ½ ∠QPR.

Solución:

Dado: T es la bisectriz de ∠PQR y ∠PRS, 

Para probar: ∠QTR = ½ ∠QPR

Prueba:

Considere el ΔPQR. 

∠PRS es un ángulo exterior.

∠QPR y ∠PQR son ángulos interiores.

⇒ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR (Según propiedad del triángulo)

⇒ ∠PRS – ∠PQR = ∠QPR ————(i)

Ahora, considere el ΔQRT,

∠TRS = ∠TQR + ∠QTR (Dado que los ángulos exteriores son iguales)

⇒ ∠QTR = ∠TRS – ∠TQR

Sabemos que QT y RT bisecan ∠PQR y ∠PRS respectivamente.

Entonces, ∠PRS = 2 ∠TRS y ∠PQR = 2∠TQR

Ahora,

⇒ ∠QTR = ½ ∠PRS – ½ ∠PQR

⇒ ∠QTR = ½ ∠(PRS – PQR)

De la ecuación (i) sabemos que ∠PRS – ∠PQR = ∠QPR,

⇒ ∠QTR = ½ ∠QPR 

Por lo tanto, Probado.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por darshh09 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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