Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 7 Triángulos – Ejercicio 7.1

Pregunta 1. En el cuadrilátero ACBD AC = AD y AB biseca ∠ A (ver Fig. 7.16). Demuestra que ∆ ABC ≅ ∆ ABD ¿Qué puedes decir sobre BC y BD?

Solución:

Dado que AC y AD son iguales 

es decir, AC = AD y la línea AB biseca a ∠A.

Considerando los dos triángulos ΔABC y ΔABD,

Dónde, 

AC = AD { Tal como se indica}………………………………………… (i) 

∠CAB = ∠DAB (Como AB biseca a ∠A)……………. (ii) 

AB { Lado común de ambos triángulos} …….. …(iii)

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»

Entonces, ΔABC ≅ ΔABD.

También, 

BC y BD tendrán la misma longitud ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT). 

Entonces BC = BD. 

Pregunta 2. ABCD es un cuadrilátero en el que AD = BC y ∠ DAB = ∠ CBA (ver Fig. 7.17). Pruebalo

(i) ∆ ABD ≅ ∆ BAC

(ii) BD = CA

(iii) ∠ ABD = ∠ BAC.

Solución:

(i) Dado que AD = BC, 

Y ∠ DAB = ∠ CBA. 

Considerando dos triángulos ΔABD y ΔBAC. 

Dónde, 

AD = BC { Tal como se indica }………………………………………….. (i) 

∠ DAB = ∠ CBA { Como se indica también}………………………….. (ii) 

AB {Lado común de ambos triángulos)…………. (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, dos triángulos ABD y BAC satisfacen el criterio de congruencia «SAS»

Entonces, ΔABD ≅ ΔBAC

(ii) Además, 

BD y AC serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT). 

Entonces BD = AC

(iii) Del mismo modo,

∠ABD y ∠BAC serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT). 

Asi que,

 ∠ABD = ∠BAC. 

Pregunta 3. AD y BC son perpendiculares iguales a un segmento de línea AB (ver Fig. 7.18). Demuestre que CD biseca a AB. 

Solución:

Dado que AD y BC son dos perpendiculares iguales a un segmento de recta AB

Considerando dos triángulos ΔAOD y ΔBOC

Dónde, 

∠ AOD = ∠ BOC {Ángulos verticalmente opuestos}………………. (i) 

∠ OAD = ∠ OBC {Dado que son perpendiculares}…. (ii) 

AD = BC {Como se indica}…………………………………………………… (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «AAS»

Entonces, ΔAOD ≅ ΔBOC

AO y BO serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT). 

Entonces, AO = BO

Por lo tanto, CD biseca a AB en O. 

Pregunta 4. l y m son dos rectas paralelas intersecadas por otro par de rectas paralelas p y q (ver Fig. 7.19). Demuestre que ∆ ABC ≅ ∆ CDA.

Solución:

Dado que l y m son dos rectas paralelas p y q son otro par de rectas paralelas

Considerando dos triángulos ΔABC y ΔCDA

Dónde, 

∠ BCA = ∠DAC {Ángulos interiores alternos}…. (i) 

∠ BAC = ∠ DCA {Ángulos interiores alternos}…. (ii) 

 AC {Lado común de dos triángulos}………….(iii)

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «ASA»

Entonces, ΔABC ≅ ΔCDA

Pregunta 5. La línea l es la bisectriz de un ángulo ∠ A y B es cualquier punto en l. BP y BQ son perpendiculares desde B a los brazos de ∠A (ver Fig. 7.20). Muestra esa:

(i) ∆ APB ≅ ∆ AQB

(ii) BP = BQ o B es equidistante de los brazos de ∠ A.

Solución:

Dado que, la Línea l es la bisectriz de un ángulo ∠ A y B

BP y BQ son perpendiculares desde el ángulo A. 

Considerando dos triángulos ΔAPB y ΔAQB

Dónde, 

∠ APB = ∠ AQB { Dos ángulos rectos dados }…… (i) 

∠BAP = ∠BAQ (Como la línea l biseca el ángulo A }……… (ii) 

AB { Lados comunes de ambos triángulos }……… (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «AAS»

Entonces, ΔAPB≅ ΔAQB.

(ii) También podemos decir que BP y BQ son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).

Entonces, BP = BQ

Pregunta 6. En la figura 7.21, AC = AE, AB = AD y ∠ BAD = ∠ EAC. Demuestre que BC = DE.

Solución:

Dado que AC = AE, AB = AD 

Y ∠MALO = ∠EAC

Dado que ∠BAD = ∠EAC

Agregar ∠DAC en ambos lados 

Obtenemos,

∠MALO + ∠DAC = ∠EAC+ ∠ DAC

 ∠BAC = ∠EAD

Considerando dos triángulos ΔABC y ΔADE 

Dónde, 

 AC = AE { Tal como se indica }…………………… (i) 

∠BAC = ∠EAD { Por lo tanto probado }…….. (ii) 

AB = AD {Como también se indica}……………….. (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»

Entonces, ΔABC ≅ ΔADE

(ii) También podemos decir que BC y DE son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).

Entonces BC = DE.

Pregunta 7. AB es un segmento de línea y P es su punto medio. D y E son puntos del mismo lado de AB tales que ∠ BAD = ∠ ABE y ∠ EPA = ∠ DPB (ver Fig. 7.22). Muestra esa:

(i) ∆ DAP ≅ ∆ EBP

(ii) AD = BE

Solución:

Dado que P es el punto medio de la recta AB, entonces AP = BP

Además, ∠ BAD = ∠ ABE y ∠ EPA = ∠ DPB

Ahora agregando ∠DPE en ambos lados de dos ángulos iguales ∠ EPA = ∠ DPB

∠ EPA + ∠ DPE = ∠ DPB + ∠ DPE

Lo que implica que dos ángulos ∠ DPA = ∠ EPB

Considerando dos triángulos ∆ DAP y ∆ EBP

∠ DPA = ∠ EPB { Por lo tanto probado }…… (i) 

AP = BP { Por lo tanto Dado }……………… (ii) 

∠ MALO = ∠ ABE { Como se indica }…………..(iii)

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «ASA»

Entonces, ΔDAP ≅ ΔEBP

(ii) También podemos decir que AD y BE son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).

Entonces, AD = BE

Pregunta 8. En el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, M es el punto medio de la hipotenusa AB. C se une a M y se produce en un punto D tal que DM = CM. El punto D está unido al punto B (ver Fig. 7.23). Muestra esa:

(i) ∆ AMC ≅ ∆ DMO

(ii) ∠ DBC es un ángulo recto.

(iii) ∆ DBC ≅ ∆ ACB

(iv) CM = 1/2 AB

Solución:

Dado que M es el punto medio de AB 

Entonces AM = BM

∠ ACB = 90°

y DM = CM

(i) Considerando dos triángulos ΔAMC y ΔBMD:

AM = BM { Según lo dado }…………………………………………. (i) 

∠ CMA = ∠ DMB { Ángulos verticalmente opuestos }…. (ii) 

CM = DM { Como se indica también}……………………………….. (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»

Entonces, ΔAMC ≅ ΔBMD

(ii) De la congruencia anterior podemos decir 

∠ CDA = ∠ BDC 

También alternan los ángulos interiores de dos rectas paralelas AC y DB. 

Ya que la suma de dos ángulos co-interiores da como resultado 180°.

Entonces, ∠ ACB + ∠ DBC = 180°

∠ DBC = 180° – ∠ ACB

∠ DBC = 90° { Como ∠ACB =90° }

(iii) En ΔDBC y ΔACB,

BC { Lado común de ambos triángulos }……. (i) 

∠ ACB = ∠ DBC { Como ambos son ángulos rectos }….(ii) 

DB = AC (por CPCT)…………………………………….. (iii) 

De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»

Entonces, ΔDBC ≅ ΔACB

(iv) Como M es el punto medio, podemos decir

 DM = CM = AM = BM 

También podemos decir que AB = CD (Por CPCT) 

Como M es el punto medio de CD podemos escribir

CM + DM = AB

Por lo tanto, CM + CM = AB (como DM = CM) 

Por lo tanto, CM = (½) AB

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por deyuttamkumar786 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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