Pregunta 1. En el cuadrilátero ACBD AC = AD y AB biseca ∠ A (ver Fig. 7.16). Demuestra que ∆ ABC ≅ ∆ ABD ¿Qué puedes decir sobre BC y BD?
Solución:
Dado que AC y AD son iguales
es decir, AC = AD y la línea AB biseca a ∠A.
Considerando los dos triángulos ΔABC y ΔABD,
Dónde,
AC = AD { Tal como se indica}………………………………………… (i)
∠CAB = ∠DAB (Como AB biseca a ∠A)……………. (ii)
AB { Lado común de ambos triángulos} …….. …(iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»
Entonces, ΔABC ≅ ΔABD.
También,
BC y BD tendrán la misma longitud ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces BC = BD.
Pregunta 2. ABCD es un cuadrilátero en el que AD = BC y ∠ DAB = ∠ CBA (ver Fig. 7.17). Pruebalo
(i) ∆ ABD ≅ ∆ BAC
(ii) BD = CA
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC.
Solución:
(i) Dado que AD = BC,
Y ∠ DAB = ∠ CBA.
Considerando dos triángulos ΔABD y ΔBAC.
Dónde,
AD = BC { Tal como se indica }………………………………………….. (i)
∠ DAB = ∠ CBA { Como se indica también}………………………….. (ii)
AB {Lado común de ambos triángulos)…………. (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, dos triángulos ABD y BAC satisfacen el criterio de congruencia «SAS»
Entonces, ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) Además,
BD y AC serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces BD = AC
(iii) Del mismo modo,
∠ABD y ∠BAC serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Asi que,
∠ABD = ∠BAC.
Pregunta 3. AD y BC son perpendiculares iguales a un segmento de línea AB (ver Fig. 7.18). Demuestre que CD biseca a AB.
Solución:
Dado que AD y BC son dos perpendiculares iguales a un segmento de recta AB
Considerando dos triángulos ΔAOD y ΔBOC
Dónde,
∠ AOD = ∠ BOC {Ángulos verticalmente opuestos}………………. (i)
∠ OAD = ∠ OBC {Dado que son perpendiculares}…. (ii)
AD = BC {Como se indica}…………………………………………………… (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «AAS»
Entonces, ΔAOD ≅ ΔBOC
AO y BO serán iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces, AO = BO
Por lo tanto, CD biseca a AB en O.
Pregunta 4. l y m son dos rectas paralelas intersecadas por otro par de rectas paralelas p y q (ver Fig. 7.19). Demuestre que ∆ ABC ≅ ∆ CDA.
Solución:
Dado que l y m son dos rectas paralelas p y q son otro par de rectas paralelas
Considerando dos triángulos ΔABC y ΔCDA
Dónde,
∠ BCA = ∠DAC {Ángulos interiores alternos}…. (i)
∠ BAC = ∠ DCA {Ángulos interiores alternos}…. (ii)
AC {Lado común de dos triángulos}………….(iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «ASA»
Entonces, ΔABC ≅ ΔCDA
Pregunta 5. La línea l es la bisectriz de un ángulo ∠ A y B es cualquier punto en l. BP y BQ son perpendiculares desde B a los brazos de ∠A (ver Fig. 7.20). Muestra esa:
(i) ∆ APB ≅ ∆ AQB
(ii) BP = BQ o B es equidistante de los brazos de ∠ A.
Solución:
Dado que, la Línea l es la bisectriz de un ángulo ∠ A y B
BP y BQ son perpendiculares desde el ángulo A.
Considerando dos triángulos ΔAPB y ΔAQB
Dónde,
∠ APB = ∠ AQB { Dos ángulos rectos dados }…… (i)
∠BAP = ∠BAQ (Como la línea l biseca el ángulo A }……… (ii)
AB { Lados comunes de ambos triángulos }……… (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «AAS»
Entonces, ΔAPB≅ ΔAQB.
(ii) También podemos decir que BP y BQ son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces, BP = BQ
Pregunta 6. En la figura 7.21, AC = AE, AB = AD y ∠ BAD = ∠ EAC. Demuestre que BC = DE.
Solución:
Dado que AC = AE, AB = AD
Y ∠MALO = ∠EAC
Dado que ∠BAD = ∠EAC
Agregar ∠DAC en ambos lados
Obtenemos,
∠MALO + ∠DAC = ∠EAC+ ∠ DAC
∠BAC = ∠EAD
Considerando dos triángulos ΔABC y ΔADE
Dónde,
AC = AE { Tal como se indica }…………………… (i)
∠BAC = ∠EAD { Por lo tanto probado }…….. (ii)
AB = AD {Como también se indica}……………….. (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»
Entonces, ΔABC ≅ ΔADE
(ii) También podemos decir que BC y DE son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces BC = DE.
Pregunta 7. AB es un segmento de línea y P es su punto medio. D y E son puntos del mismo lado de AB tales que ∠ BAD = ∠ ABE y ∠ EPA = ∠ DPB (ver Fig. 7.22). Muestra esa:
(i) ∆ DAP ≅ ∆ EBP
(ii) AD = BE
Solución:
Dado que P es el punto medio de la recta AB, entonces AP = BP
Además, ∠ BAD = ∠ ABE y ∠ EPA = ∠ DPB
Ahora agregando ∠DPE en ambos lados de dos ángulos iguales ∠ EPA = ∠ DPB
∠ EPA + ∠ DPE = ∠ DPB + ∠ DPE
Lo que implica que dos ángulos ∠ DPA = ∠ EPB
Considerando dos triángulos ∆ DAP y ∆ EBP
∠ DPA = ∠ EPB { Por lo tanto probado }…… (i)
AP = BP { Por lo tanto Dado }……………… (ii)
∠ MALO = ∠ ABE { Como se indica }…………..(iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «ASA»
Entonces, ΔDAP ≅ ΔEBP
(ii) También podemos decir que AD y BE son iguales ya que son partes correspondientes de triángulos congruentes (CPCT).
Entonces, AD = BE
Pregunta 8. En el triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, M es el punto medio de la hipotenusa AB. C se une a M y se produce en un punto D tal que DM = CM. El punto D está unido al punto B (ver Fig. 7.23). Muestra esa:
(i) ∆ AMC ≅ ∆ DMO
(ii) ∠ DBC es un ángulo recto.
(iii) ∆ DBC ≅ ∆ ACB
(iv) CM = 1/2 AB
Solución:
Dado que M es el punto medio de AB
Entonces AM = BM
∠ ACB = 90°
y DM = CM
(i) Considerando dos triángulos ΔAMC y ΔBMD:
AM = BM { Según lo dado }…………………………………………. (i)
∠ CMA = ∠ DMB { Ángulos verticalmente opuestos }…. (ii)
CM = DM { Como se indica también}……………………………….. (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»
Entonces, ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) De la congruencia anterior podemos decir
∠ CDA = ∠ BDC
También alternan los ángulos interiores de dos rectas paralelas AC y DB.
Ya que la suma de dos ángulos co-interiores da como resultado 180°.
Entonces, ∠ ACB + ∠ DBC = 180°
∠ DBC = 180° – ∠ ACB
∠ DBC = 90° { Como ∠ACB =90° }
(iii) En ΔDBC y ΔACB,
BC { Lado común de ambos triángulos }……. (i)
∠ ACB = ∠ DBC { Como ambos son ángulos rectos }….(ii)
DB = AC (por CPCT)…………………………………….. (iii)
De las tres ecuaciones anteriores, ambos triángulos satisfacen el criterio de congruencia «SAS»
Entonces, ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) Como M es el punto medio, podemos decir
DM = CM = AM = BM
También podemos decir que AB = CD (Por CPCT)
Como M es el punto medio de CD podemos escribir
CM + DM = AB
Por lo tanto, CM + CM = AB (como DM = CM)
Por lo tanto, CM = (½) AB
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Artículo escrito por deyuttamkumar786 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA