Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 7 Triángulos – Ejercicio 7.2

Pregunta 1. En un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, las bisectrices de ∠B y ∠C se intersecan en O. Une A con O. Demuestra que:

(i) OB = OC (ii) AO biseca ∠A

Solución:

Dado: (i) Un ∆ABC isósceles en el que AB=AC

            (ii) se bisecan ∠B y ∠C entre sí en O.

Mostrar: (i) OB=OC

          (ii) AO biseca ∠A (∠1=∠2)

(i) En ∆ABC,

AB = CA

∠B =∠C [los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales]

1/2∠B = 1/2∠C 

∠OBC=∠OCB

∴OB = OC [lados opuestos iguales ∠ son iguales]

(ii) En ∆AOB y ADC 

AB = AC [lado dado] 
1/2 ∠B = 1/2∠C 
∠ABO = ∠ACO [Ángulo]
BO = OC [lado superior demostrado]
∴∆AOB ≅ AOC 
Así ∠1 = ∠2
Por lo tanto, AO biseca ∠ A

Pregunta 2. En ΔABC, AD es la bisectriz perpendicular de BC (ver fig.). Demuestre que ΔABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC.

Solución:

Dado: AD es ⊥ bisectriz de BC

Mostrar: AB=BC

En ∆ABD y ∆ACD

BD=DC [AD es ⊥ lado de la bisectriz] 

∠ADB=∠ADC [Cada ángulo de 90°] 

AD=AD [lado común] 

∴∆ABD≅∆ACD [SAS]

AB=AC [CPCT]

Pregunta 3. ABC es un triángulo isósceles en el que las alturas BE y CF se dibujan a los lados iguales AC y AB respectivamente (ver Fig.). Demuestra que estas altitudes son iguales.

Solución:

Dado: AB=AC,BE y CF son altitudes 

Mostrar: BE=CF

En ∆AEB y ∆AFC,

∠E=∠F [Cada ángulo de 90°] 

∠A=∠A [ángulo común] 

AB=AC [lado dado] 

∴∆AEB≅∆AFC [AAS]

BE=CF [CPCT]

Pregunta 4. ABC es un triángulo en el que las alturas BE y CF a los lados AC y AB son iguales (ver fig. ). Muestra esa

(i) ΔABE ≅ ΔACF

(ii) AB = AC, es decir, ABC es un triángulo isósceles.

Solución:

Dado: Las altitudes BE y CF a los lados AC y AB son iguales

Mostrar: (i) ΔABE ≅ ΔACF

             (ii) AB = CA

(i) En ∆ABF y ∆ACF,

∠E=∠F [Cada ángulo de 90°] 

∠A=∠A [ángulo común] 

AB=AC [dado] S

∴∆AEB≅∆AFC [AAS]

(ii) AB=AC [CPCT]

Pregunta 5. ABC y DBC son dos triángulos isósceles en la misma base BC (ver Fig.). Demuestra que ∠ABD = ∠ACD.

Solución:

Dado: AB=AC,BD=DC

Mostrar: ∠ABD = ∠ACD

En ∆ABD,

AD=AC

∴∠1=∠2 [ángulo opuesto a lados iguales son iguales] [1]

En ∆BDC,

BD=CC

∴∠3=∠4 [ángulo opuesto a lados iguales son iguales] [2]

sumando 1 y 2

∠1+∠2= ∠2+∠4

∠ABD=∠ACD

Pregunta 6. ΔABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC. El lado BA se produce a D tal que AD = AB (ver Fig.). Demuestra que ∠BCD es un ángulo recto.

Solución:

En ∆ABC,

AB=CA

∠ACB=∠ABC [1]

En ∆ACD,

CA=AD

∠ACD=∠ACD [2]

sumando 1 y 2

∠ACB+∠ACD=∠ABC+∠ADC 

∠BCD=∠ABC+∠BDC

Sumar ∠BCD en ambos lados

∠BCD+∠BCD=∠ABC+∠BDC+∠BCD

2∠BCD=180°

∠BCD=(180°)/2=90°

Pregunta 7. ABC es un triángulo rectángulo en el que ∠A = 90° y AB = AC. Encuentra ∠B y ∠C.

Solución:

Encuentre: ∠B=? y ∠C?

En ∆ABC,

AB=CA

∴∠B=∠C [el ángulo opuesto al lado igual son iguales]

∠A+∠B+∠C=180° [propiedad de la suma de ángulos del triángulo]

90°+∠B+∠B=180°

2∠B=180°-90°

∠B=(90°)/2=45°

Por lo tanto, ∠B=45° y ∠C =45°

Pregunta 8. Demuestra que los ángulos de un triángulo equilátero miden 60° cada uno.

Solución:

Dado: Sea ∆ABC un equilátero ∆ 

Mostrar: ∠A=∠B=∠C=60°

En ∆ABC,

AB=CA

∠B=∠C [1]

También

CA = BC

∠B=∠A [2]

De 1,2 y 2

∠A=∠B=∠C

En ∆ABC,

∠A+∠B+∠C=180° [propiedad de la suma de ángulos del triángulo]

∠A+∠A+∠A=180°

3∠A=180°

∠A=(180°)/3=60°

∠A=60° 

∴∠B=60° y ∠C=60°

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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