Pregunta 1. En un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, las bisectrices de ∠B y ∠C se intersecan en O. Une A con O. Demuestra que:
(i) OB = OC (ii) AO biseca ∠A
Solución:
Dado: (i) Un ∆ABC isósceles en el que AB=AC
(ii) se bisecan ∠B y ∠C entre sí en O.
Mostrar: (i) OB=OC
(ii) AO biseca ∠A (∠1=∠2)
(i) En ∆ABC,
AB = CA
∠B =∠C [los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales]
1/2∠B = 1/2∠C
∠OBC=∠OCB
∴OB = OC [lados opuestos iguales ∠ son iguales]
(ii) En ∆AOB y ADC
AB = AC [lado dado]
1/2 ∠B = 1/2∠C
∠ABO = ∠ACO [Ángulo]
BO = OC [lado superior demostrado]
∴∆AOB ≅ AOC
Así ∠1 = ∠2
Por lo tanto, AO biseca ∠ A
Pregunta 2. En ΔABC, AD es la bisectriz perpendicular de BC (ver fig.). Demuestre que ΔABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC.
Solución:
Dado: AD es ⊥ bisectriz de BC
Mostrar: AB=BC
En ∆ABD y ∆ACD
BD=DC [AD es ⊥ lado de la bisectriz]
∠ADB=∠ADC [Cada ángulo de 90°]
AD=AD [lado común]
∴∆ABD≅∆ACD [SAS]
AB=AC [CPCT]
Pregunta 3. ABC es un triángulo isósceles en el que las alturas BE y CF se dibujan a los lados iguales AC y AB respectivamente (ver Fig.). Demuestra que estas altitudes son iguales.
Solución:
Dado: AB=AC,BE y CF son altitudes
Mostrar: BE=CF
En ∆AEB y ∆AFC,
∠E=∠F [Cada ángulo de 90°]
∠A=∠A [ángulo común]
AB=AC [lado dado]
∴∆AEB≅∆AFC [AAS]
BE=CF [CPCT]
Pregunta 4. ABC es un triángulo en el que las alturas BE y CF a los lados AC y AB son iguales (ver fig. ). Muestra esa
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC, es decir, ABC es un triángulo isósceles.
Solución:
Dado: Las altitudes BE y CF a los lados AC y AB son iguales
Mostrar: (i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = CA
(i) En ∆ABF y ∆ACF,
∠E=∠F [Cada ángulo de 90°]
∠A=∠A [ángulo común]
AB=AC [dado] S
∴∆AEB≅∆AFC [AAS]
(ii) AB=AC [CPCT]
Pregunta 5. ABC y DBC son dos triángulos isósceles en la misma base BC (ver Fig.). Demuestra que ∠ABD = ∠ACD.
Solución:
Dado: AB=AC,BD=DC
Mostrar: ∠ABD = ∠ACD
En ∆ABD,
AD=AC
∴∠1=∠2 [ángulo opuesto a lados iguales son iguales] [1]
En ∆BDC,
BD=CC
∴∠3=∠4 [ángulo opuesto a lados iguales son iguales] [2]
sumando 1 y 2
∠1+∠2= ∠2+∠4
∠ABD=∠ACD
Pregunta 6. ΔABC es un triángulo isósceles en el que AB = AC. El lado BA se produce a D tal que AD = AB (ver Fig.). Demuestra que ∠BCD es un ángulo recto.
Solución:
En ∆ABC,
AB=CA
∠ACB=∠ABC [1]
En ∆ACD,
CA=AD
∠ACD=∠ACD [2]
sumando 1 y 2
∠ACB+∠ACD=∠ABC+∠ADC
∠BCD=∠ABC+∠BDC
Sumar ∠BCD en ambos lados
∠BCD+∠BCD=∠ABC+∠BDC+∠BCD
2∠BCD=180°
∠BCD=(180°)/2=90°
Pregunta 7. ABC es un triángulo rectángulo en el que ∠A = 90° y AB = AC. Encuentra ∠B y ∠C.
Solución:
Encuentre: ∠B=? y ∠C?
En ∆ABC,
AB=CA
∴∠B=∠C [el ángulo opuesto al lado igual son iguales]
∠A+∠B+∠C=180° [propiedad de la suma de ángulos del triángulo]
90°+∠B+∠B=180°
2∠B=180°-90°
∠B=(90°)/2=45°
Por lo tanto, ∠B=45° y ∠C =45°
Pregunta 8. Demuestra que los ángulos de un triángulo equilátero miden 60° cada uno.
Solución:
Dado: Sea ∆ABC un equilátero ∆
Mostrar: ∠A=∠B=∠C=60°
En ∆ABC,
AB=CA
∠B=∠C [1]
También
CA = BC
∠B=∠A [2]
De 1,2 y 2
∠A=∠B=∠C
En ∆ABC,
∠A+∠B+∠C=180° [propiedad de la suma de ángulos del triángulo]
∠A+∠A+∠A=180°
3∠A=180°
∠A=(180°)/3=60°
∠A=60°
∴∠B=60° y ∠C=60°
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Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA