Soluciones NCERT Clase 9 – Capítulo 8 Cuadriláteros – Ejercicio 8.1

Pregunta 1. Los ángulos del cuadrilátero están en la proporción 3:5:9:13. Encuentra todos los ángulos del cuadrilátero.

Solución:

Como sabemos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° (propiedad de la suma de ángulos del cuadrilátero)

Como están en proporción 3: 5: 9: 13, podemos suponer que los ángulos son 3x, 5x, 9x y 13x.

Asi que,

3x + 5x + 9x + 13x = 360°

30x = 360°

x = 360/30 = 12°

Entonces los ángulos serán los siguientes:

3x = 3×12 = 36°

5x = 5×12 = 60°

9x = 9×12 = 108°

13x = 13×12 = 156°

Por lo tanto, los ángulos del cuadrilátero son 36 ° , 60 ° , 108 ° y 156 °.

Pregunta 2. Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces demuestra que es un rectángulo.

Solución:

Como el paralelogramo mencionado, sea PQRS un paralelogramo

donde dado 

PR = QS

En ∆PQR y ∆QRS,

PR = QS …………………[Dado]

PQ = RS …………………[Lados opuestos de un paralelogramo]

QR = RQ …………………[Lado común]

∴ ∆PQR ≅ ∆QRS [ Por congruencia SSS ]

entonces, ∠PQR = ∠QRS [ Por CPCT ] ………………………………………….(1)

Ahora, PQ || RS y QR es una transversal. …………………….[PQRS es un paralelogramo]

∴ ∠PQR + ∠QRS = 180° [Co-ángulos interiores del paralelogramo]…………………………………… (2)

De (1) y (2), tenemos

∠PQR = ∠QRS = 90°

es decir, PQRS es un paralelogramo que tiene un ángulo igual a 90°.

Por lo tanto, PQRS es un rectángulo. (que tiene todos los ángulos iguales a 90° y los lados opuestos son iguales)

Pregunta 3. Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan en ángulo recto, entonces es un rombo.

Solución:

Como se mencionó el cuadrilátero, sea PQRS un cuadrilátero

donde dado

PO = RO

SO = QO

En ∆POQ y ∆POS, tenemos

PO = PO [Común]

OQ = OS [O es el punto medio de QS]

∠POQ= ∠POS [Cada 90°]

∴ ∆POQ ≅ ∆POS [ Por, congruencia SAS ]

∴ PQ = PS [Por CPCT] …….. (1)

Análogamente, PQ = QR …………………..(2)

QR = RS ……………………………………..(3)

RS = ESP …………………………………………(4)

∴ De (1), (2), (3) y (4), tenemos

PQ = QR = RS = SP

Por tanto, el cuadrilátero PQRS es un rombo.

Solución alternativa:

Entonces, dado que las diagonales de un cuadrilátero PQRS se bisecan entre sí

Según el Teorema 8.7 NCERT es un paralelogramo

PQRS se puede probar primero como un paralelogramo y luego probar que un par de lados adyacentes son iguales dará como resultado un rombo.

 En ∆POQ y ∆POS, tenemos

PO = PO [Común]

OQ = OS [O es el punto medio de QS]

∠POQ= ∠POS [Cada 90°]

∴ ∆POQ ≅ ∆POS [ Por congruencia SAS ]

∴ PQ = PS [Por CPCT] …….. (1)

Análogamente, PQ = QR …………………..(2)

QR = RS ……………………………………..(3)

RS = ESP …………………………………………(4)

De (1), (2), (3) y (4), tenemos

PQ = QR = RS = SP

Por lo tanto, como un paralelogramo tiene todos los lados iguales, entonces se llama rombo. 

Pregunta 4. Muestre que las diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan entre sí en ángulo recto.

Solución:

Como se menciona que es un cuadrado entonces,

todos los lados son iguales. (PQ = QR = RS = SP)

todos los ángulos en las cuatro esquinas = 90°

Entonces, para probar que las diagonales son iguales, necesitamos probar PR = QS.

En ∆PQR y ∆QPS, tenemos

PQ = QP ……………….[Común]

PS = PQ ………………..[Lados de un cuadrado PQRS]

∠PQR = ∠QPS …….[Cada ángulo mide 90°]

∆PQR ≅ ∆QPS [Por congruencia SAS]

AC = BD [ Por CPCT .] …(1)

Ahora bien, como sabemos, el cuadrado también es un paralelogramo .

En ∆POQ y ∆ROS, tenemos

∠POQ = ∠ROS ……………….[Ángulos opuestos de dos líneas que se cruzan]

PQ = RS ………………..[Lados de un cuadrado PQRS]

∠PQO = ∠RSO …….[Los ángulos interiores alternos son iguales]

 ∆PQR ≅ ∆QPS [ Por congruencia ASA ]

OP = OQ = OR = OS (Por lo tanto, las diagonales son iguales y se bisecan entre sí)

Ahora, en ∆OQP y ∆OSP, tenemos

OQ = SO [Probado]

QP = SP [Lados de un cuadrado PQRS]

OP = OP [Común]

∆OQP ≅ ∆OSP [ Por congruencia SSS ]

∠POQ = ∠POS [Por CPCT] …(3)

∠POQ + ∠POS = 180° (∵ ∠POQ y ∠POS forman un par lineal)

∠POQ = ∠POS = 90° [Por(3)]

 PR ⊥ QS …(4)

De (1), (2) y (4), obtenemos que PR y QS son iguales y se bisecan en ángulo recto (90°).

Pregunta 5. Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero son iguales y se bisecan entre sí en ángulo recto, entonces es un cuadrado.

Solución:

Como se menciona Cuadrilátero, sea PQRS un cuadrilátero

dónde,

PR = QS

OP = O = OQ = OS

∠POQ = ∠QOR = ∠ROS = ∠SOP = 90°

Ahora, en ∆POS y ∆POQ, tenemos

∠POS = ∠POQ [Cada 90°]

PO = PO [Común]

OS= OQ [ ∵ O es el punto medio de BD]

∆POS ≅ ∆POQ [Por congruencia SAS]

PS = PQ [Por CPCT] …(1)

Del mismo modo, tenemos

PQ = QR… (2)

QR = RS …(3)

RS = SP…(4)

De (1), (2), (3) y (4), tenemos

PQ = QR = RS = SP

Por lo tanto, el cuadrilátero PQRS tiene todos los lados iguales.

Ahora, en ∆POS y ∆ROQ, tenemos

PO = RO [Dado]

OS = OQ [Dado]

∠POS = ∠ROQ [Ángulos verticalmente opuestos]

Entonces, ∆POS ≅ ∆ROQ [ Por congruencia SAS ]

∠PSO = ∠RQO [Por CPCT]

Así como forman un par de ángulos interiores alternos.

PD || código QR

Del mismo modo, PQ || RS

PQRS es un paralelogramo.

El paralelogramo que tiene todos sus lados iguales es un rombo.

PQRS es un rombo.

Ahora, en ∆PQR y ∆QPS, tenemos

PR = QS [Dado]

QR = SP [Probado]

PQ = QP [Común]

∆PQR ≅ ∆QPS [ Por congruencia SSS ]

∠PQR = ∠QPS [ Por CPCT ] ……(5)

Desde, PD || QR y PQ es una transversal.

∠PQR + ∠QPS = 180° .. .(6) [ Co – ángulos interiores]

∠PQR = ∠QPS = 90° [Por(5) y (6)]

Entonces, el rombo PQRS tiene un ángulo de esquina igual a 90 °.

Por lo tanto, PQRS es un cuadrado.

Pregunta 6. La diagonal AC de un paralelogramo ABCD biseca a ∠A (ver Fig. 8.19). Muestra esa

(i) también biseca a ∠C,

(ii) ABCD es un rombo.

Solución:

(i) Como, ABCD es un paralelogramo.

∠BAC = ∠DCA ……………………………(1) [Los ángulos interiores alternos son iguales]

∠CAD = ∠BCA ………………………….(2) [Los ángulos interiores alternos son iguales]

Además, ∠CAD = ∠CAB …………………….(3) [ (Dado) como AC biseca ∠A]

De (1), (2) y (3), tenemos

∠DCA = ∠BCA

Por lo tanto, AC biseca a ∠C.

(ii) En ∆ABC, 

∠BAC = ∠DCA ………………………….. [Los ángulos interiores alternos son iguales]

BC = AB …………………………….(4) [ Los lados opuestos a los ángulos iguales de un ∆ son iguales]

Análogamente, AD = DC ……..(5)

Pero, ABCD es un paralelogramo. [Dado]

AB = DC ………………….(6) (lados opuestos del paralelogramo)

De (4), (5) y (6), tenemos

AB = BC = CD = DA

Como ABCD es un paralelogramo que tiene todos los lados iguales, entonces es un rombo.

Pregunta 7. ABCD es un rombo. Demuestre que la diagonal AC biseca ∠ A y ∠ C y la diagonal BD biseca ∠ B y ∠ D. 

Solución:

Como ABCD es un rombo, entonces

AB = BC = CD = DA

Ahora, como CD = AD

∠ADB= ∠ABD………………………….(1) [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales]

∠ADB = ∠CBD …………………..(2) [ ∵ Los ángulos interiores alternos son iguales] (El rombo es un paralelogramo)

De (1) y (2), tenemos

∠CBD = ∠ABD …………………..(3)

∠ABD= ∠CDB ……………………..(4) [ ∵ Los ángulos alternos interiores son iguales] 

De (1) y (4),

tenemos ∠ADB = ∠CDB

Por lo tanto, BD biseca tanto a ∠B como a ∠D.

De manera similar, podemos probar que AC biseca tanto a ∠C como a ∠A..

Pregunta 8. ABCD es un rectángulo en el que la diagonal AC biseca tanto a ∠ A como a ∠ C. Demuestre que:

(i) ABCD es un cuadrado 

(ii) la diagonal BD biseca tanto a ∠ B como a ∠ D. 

Solución:

Hay un rectángulo ABCD tal que AC biseca tanto a ∠A como a ∠C, entonces

∠BAC = ∠DAC y,

∠DCA = ∠BCA ………………………………(1)

(i) Como sabemos que todo rectángulo es un paralelogramo.

 ABCD es un paralelogramo.

∠BCA = ∠DAC …………………….(2) [ Los ángulos interiores alternos son iguales]

De (1) y (2), tenemos

∠DCA= ∠DAC………………………….(3)

En ∆ABC, ∠DCA= ∠DAC entonces, 

 CD = DA [Lados opuestos a ángulos iguales de un ∆ son iguales]

Del mismo modo, AB = BC

Entonces, ABCD es un rectángulo que tiene lados adyacentes iguales.

ABCD es un cuadrado.

(ii) Dado que ABCD es un cuadrado 

AB = BC = CD = DA

entonces, en ∆ABD, como AB = AD 

 ∠ABD = ∠ADB [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un ∆ son iguales]……………………..(1)

De manera similar, ∠CBD = ∠CDB……………………..(2)

∠CBD = ∠ADB [Los ángulos interiores alternos son iguales]………………(3)

De (1) y (3)

∠CBD = ∠ABD

De (2) y (3)

∠ADB = ∠CDB

Entonces, BD biseca tanto a ∠B como a ∠D.

Pregunta 9. En el paralelogramo ABCD, se toman dos puntos P y Q en la diagonal BD tales que DP = BQ (ver Fig. 8.20). Muestra esa :

(i) ∆APD ≅ ∆CQB

(ii) AP = CQ

(iii) ∆AQB ≅ ∆CPD

(iv) AQ = CP

(v) APCQ es un paralelogramo

Solución:

ABCD es un paralelogramo

DP = BQ

(i) Como ABCD es un paralelogramo

∠ADB = ∠CBD [Los ángulos interiores alternos son iguales]……………….(1)

∠ABD = ∠CDB [Los ángulos interiores alternos son iguales]……………………(2)

Ahora, en ∆APD y ∆CQB, tenemos

AD = CB [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]

PD = QB [Dado]

∠ADP = ∠CBQ [Probado]

Por lo tanto, ∆APD ≅ ∆CQB [Por congruencia SAS]

(ii) Como, ∆APD ≅ ∆CQB [Demostrado]

AP = CQ [Por CPCT]……………………(3)

(iii) Ahora, en ∆AQB y ∆CPD, tenemos

QB = PD [Dado]

∠ABQ = ∠CDP [Probado]

AB = CD [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]

Por lo tanto, ∆AQB∆CPD [Por congruencia SAS]

(iv) Como, ∆AQB ≅ ∆CPD [Demostrado]

 AQ = CP [Por CPCT] …………………………..(4)

(v) En un cuadrilátero APCQ,

Los lados opuestos son iguales. [De (3) y (4)]

Por lo tanto, APCQ es un paralelogramo. (Teorema 8.3 del NCERT)

Pregunta 10. ABCD es un paralelogramo y AP y CQ son perpendiculares desde los vértices A y C en la diagonal BD (ver Fig. 8.21). Muestra esa

(i) ∆APB ≅ ∆CQD

(ii) AP = CQ

Solución:

ABCD es un paralelogramo

DP = BQ

(i) En ∆APB y ∆CQD, tenemos

∠APB = ∠CQD [Cada 90°]

AB = CD [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]

∠ABP = ∠CDQ [Los ángulos alternos son iguales a AB || CD y BD es una transversal]

Por lo tanto, ∆APB ≅ ∆CQD [Por congruencia AAS]

(ii) Como, ∆APB ≅ ∆CQD [Demostrado]

AP = CQ [Por CPCT]

Pregunta 11. En ∆ ABC y ∆ DEF, AB = DE, AB || DE, BC = EF y BC || EF. Los vértices A, B y C están unidos a los vértices D, E y F respectivamente (ver Fig. 8.22). Muestra esa

(i) el cuadrilátero ABED es un paralelogramo

(ii) el cuadrilátero BEFC es un paralelogramo

(iii) AD || CF y AD = CF

(iv) el cuadrilátero ACFD es un paralelogramo

(v) CA = DF

(vi) ∆ABC ≅ ∆DEF. 

Solución:

AB = DE, y AB || DELAWARE, 

BC = EF y BC || FE

(i) Tenemos AB = DE y AB || DE [Dado]

así que aquí, ABED es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos (AB y DE) son paralelos y de igual longitud.

Por lo tanto, ABED es un paralelogramo.

(ii) BC = EF y BC || EF [Dado]

es decir, BEFC es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos (BC y EF) son paralelos y de igual longitud.

Por lo tanto, BEFC es un paralelogramo.

(iii) como, ABED es un paralelogramo [Probado]

∴ dC || BE y AD = BE …(1) [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos] 

Además, BEFC es un paralelogramo. [Demostrado]

SER || CF y BE = CF …(2) [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos]

De (1) y (2), tenemos

anuncio || CF y AD = CF

(iv) Desde, dC || CF y AD = CF [Probado]

es decir, en el cuadrilátero ACFD, un par de lados opuestos (AD y CF) son paralelos y de igual longitud.

Por lo tanto, el cuadrilátero ACFD es un paralelogramo.

(v) Dado que, ACFD es un paralelogramo. [Demostrado]

Entonces, AC =DF [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]

(vi) En ∆ABC y ∆DEF, tenemos

AB = DE [Dado]

BC = EF [Dado]

AC = DE [Probado en la parte (v)]

∆ABC ≅ ∆DEF [Por congruencia SSS]

Pregunta 12. ABCD es un trapecio en el que AB || CD y AD = BC (ver Fig. 8.23). Muestra esa

(yo) ∠A = ∠B

(ii) ∠C = ∠D

(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD

(iv) diagonal AC = diagonal BD

[Sugerencia: extienda AB y dibuje una línea a través de C paralela a DA que interseca AB producida en E.]

Solución:

así que básicamente aquí hay un trapecio ABCD en el que AB || CD y AD = BC.

Extendió AB y dibuje una línea a través de C paralela a DA que interseca AB producida en E

(i) AB || CC, AE || DC También AD || CE

entonces, AECD es un paralelogramo.

AD = CE …………………………(1) [Los lados opuestos del paralelogramo son iguales]

Pero AD = BC…(2) [Dado]

De (1) y (2), 

BC = CE

Ahora, en ∆BCF, tenemos BC = CF

∠CEB = ∠CBE …(3) [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales]

Además, ∠ABC+ ∠CBE = 180° … (4) [Par lineal]

y ∠A + ∠CEB = 180° …(5) [Ángulos co-interiores de un paralelogramo ADCE]

De (4) y (5), obtenemos

∠ABC+ ∠CBE = ∠A + ∠CEB

∠ABC = ∠A [De (3)]

∠B = ∠A …(6)

(ii) AB || CD y AD es una transversal.

∠A + ∠D = 180° …(7) [Co-ángulos interiores en paralelogramo]

De manera similar, ∠B + ∠C = 180° … (8)

De (7) y (8), obtenemos

∠A + ∠D = ∠B + ∠C

∠C = ∠D [De (6)]

(iii) En ∆ABC y ∆BAD, tenemos

AB = BA [Común]

BC = AD [Dado]

∠ABC = ∠BAD [Probado]

Por lo tanto, ∆ABC ≅ ∆BAD [Por congruencia SAS]

(iv) Dado que, ∆ABC ≅ ∆BAD [Demostrado]

AC = BD [Por CPCT]

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *