Pregunta 1. Los ángulos del cuadrilátero están en la proporción 3:5:9:13. Encuentra todos los ángulos del cuadrilátero.
Solución:
Como sabemos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360° (propiedad de la suma de ángulos del cuadrilátero)
Como están en proporción 3: 5: 9: 13, podemos suponer que los ángulos son 3x, 5x, 9x y 13x.
Asi que,
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
30x = 360°
x = 360/30 = 12°
Entonces los ángulos serán los siguientes:
3x = 3×12 = 36°
5x = 5×12 = 60°
9x = 9×12 = 108°
13x = 13×12 = 156°
Por lo tanto, los ángulos del cuadrilátero son 36 ° , 60 ° , 108 ° y 156 °.
Pregunta 2. Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces demuestra que es un rectángulo.
Solución:
Como el paralelogramo mencionado, sea PQRS un paralelogramo
donde dado
PR = QS
En ∆PQR y ∆QRS,
PR = QS …………………[Dado]
PQ = RS …………………[Lados opuestos de un paralelogramo]
QR = RQ …………………[Lado común]
∴ ∆PQR ≅ ∆QRS [ Por congruencia SSS ]
entonces, ∠PQR = ∠QRS [ Por CPCT ] ………………………………………….(1)
Ahora, PQ || RS y QR es una transversal. …………………….[PQRS es un paralelogramo]
∴ ∠PQR + ∠QRS = 180° [Co-ángulos interiores del paralelogramo]…………………………………… (2)
De (1) y (2), tenemos
∠PQR = ∠QRS = 90°
es decir, PQRS es un paralelogramo que tiene un ángulo igual a 90°.
Por lo tanto, PQRS es un rectángulo. (que tiene todos los ángulos iguales a 90° y los lados opuestos son iguales)
Pregunta 3. Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan en ángulo recto, entonces es un rombo.
Solución:
Como se mencionó el cuadrilátero, sea PQRS un cuadrilátero
donde dado
PO = RO
SO = QO
En ∆POQ y ∆POS, tenemos
PO = PO [Común]
OQ = OS [O es el punto medio de QS]
∠POQ= ∠POS [Cada 90°]
∴ ∆POQ ≅ ∆POS [ Por, congruencia SAS ]
∴ PQ = PS [Por CPCT] …….. (1)
Análogamente, PQ = QR …………………..(2)
QR = RS ……………………………………..(3)
RS = ESP …………………………………………(4)
∴ De (1), (2), (3) y (4), tenemos
PQ = QR = RS = SP
Por tanto, el cuadrilátero PQRS es un rombo.
Solución alternativa:
Entonces, dado que las diagonales de un cuadrilátero PQRS se bisecan entre sí
Según el Teorema 8.7 NCERT es un paralelogramo
PQRS se puede probar primero como un paralelogramo y luego probar que un par de lados adyacentes son iguales dará como resultado un rombo.
En ∆POQ y ∆POS, tenemos
PO = PO [Común]
OQ = OS [O es el punto medio de QS]
∠POQ= ∠POS [Cada 90°]
∴ ∆POQ ≅ ∆POS [ Por congruencia SAS ]
∴ PQ = PS [Por CPCT] …….. (1)
Análogamente, PQ = QR …………………..(2)
QR = RS ……………………………………..(3)
RS = ESP …………………………………………(4)
De (1), (2), (3) y (4), tenemos
PQ = QR = RS = SP
Por lo tanto, como un paralelogramo tiene todos los lados iguales, entonces se llama rombo.
Pregunta 4. Muestre que las diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan entre sí en ángulo recto.
Solución:
Como se menciona que es un cuadrado entonces,
todos los lados son iguales. (PQ = QR = RS = SP)
todos los ángulos en las cuatro esquinas = 90°
Entonces, para probar que las diagonales son iguales, necesitamos probar PR = QS.
En ∆PQR y ∆QPS, tenemos
PQ = QP ……………….[Común]
PS = PQ ………………..[Lados de un cuadrado PQRS]
∠PQR = ∠QPS …….[Cada ángulo mide 90°]
∆PQR ≅ ∆QPS [Por congruencia SAS]
AC = BD [ Por CPCT .] …(1)
Ahora bien, como sabemos, el cuadrado también es un paralelogramo .
En ∆POQ y ∆ROS, tenemos
∠POQ = ∠ROS ……………….[Ángulos opuestos de dos líneas que se cruzan]
PQ = RS ………………..[Lados de un cuadrado PQRS]
∠PQO = ∠RSO …….[Los ángulos interiores alternos son iguales]
∆PQR ≅ ∆QPS [ Por congruencia ASA ]
OP = OQ = OR = OS (Por lo tanto, las diagonales son iguales y se bisecan entre sí)
Ahora, en ∆OQP y ∆OSP, tenemos
OQ = SO [Probado]
QP = SP [Lados de un cuadrado PQRS]
OP = OP [Común]
∆OQP ≅ ∆OSP [ Por congruencia SSS ]
∠POQ = ∠POS [Por CPCT] …(3)
∠POQ + ∠POS = 180° (∵ ∠POQ y ∠POS forman un par lineal)
∠POQ = ∠POS = 90° [Por(3)]
PR ⊥ QS …(4)
De (1), (2) y (4), obtenemos que PR y QS son iguales y se bisecan en ángulo recto (90°).
Pregunta 5. Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero son iguales y se bisecan entre sí en ángulo recto, entonces es un cuadrado.
Solución:
Como se menciona Cuadrilátero, sea PQRS un cuadrilátero
dónde,
PR = QS
OP = O = OQ = OS
∠POQ = ∠QOR = ∠ROS = ∠SOP = 90°
Ahora, en ∆POS y ∆POQ, tenemos
∠POS = ∠POQ [Cada 90°]
PO = PO [Común]
OS= OQ [ ∵ O es el punto medio de BD]
∆POS ≅ ∆POQ [Por congruencia SAS]
PS = PQ [Por CPCT] …(1)
Del mismo modo, tenemos
PQ = QR… (2)
QR = RS …(3)
RS = SP…(4)
De (1), (2), (3) y (4), tenemos
PQ = QR = RS = SP
Por lo tanto, el cuadrilátero PQRS tiene todos los lados iguales.
Ahora, en ∆POS y ∆ROQ, tenemos
PO = RO [Dado]
OS = OQ [Dado]
∠POS = ∠ROQ [Ángulos verticalmente opuestos]
Entonces, ∆POS ≅ ∆ROQ [ Por congruencia SAS ]
∠PSO = ∠RQO [Por CPCT]
Así como forman un par de ángulos interiores alternos.
PD || código QR
Del mismo modo, PQ || RS
PQRS es un paralelogramo.
El paralelogramo que tiene todos sus lados iguales es un rombo.
PQRS es un rombo.
Ahora, en ∆PQR y ∆QPS, tenemos
PR = QS [Dado]
QR = SP [Probado]
PQ = QP [Común]
∆PQR ≅ ∆QPS [ Por congruencia SSS ]
∠PQR = ∠QPS [ Por CPCT ] ……(5)
Desde, PD || QR y PQ es una transversal.
∠PQR + ∠QPS = 180° .. .(6) [ Co – ángulos interiores]
∠PQR = ∠QPS = 90° [Por(5) y (6)]
Entonces, el rombo PQRS tiene un ángulo de esquina igual a 90 °.
Por lo tanto, PQRS es un cuadrado.
Pregunta 6. La diagonal AC de un paralelogramo ABCD biseca a ∠A (ver Fig. 8.19). Muestra esa
(i) también biseca a ∠C,
(ii) ABCD es un rombo.
Solución:
(i) Como, ABCD es un paralelogramo.
∠BAC = ∠DCA ……………………………(1) [Los ángulos interiores alternos son iguales]
∠CAD = ∠BCA ………………………….(2) [Los ángulos interiores alternos son iguales]
Además, ∠CAD = ∠CAB …………………….(3) [ (Dado) como AC biseca ∠A]
De (1), (2) y (3), tenemos
∠DCA = ∠BCA
Por lo tanto, AC biseca a ∠C.
(ii) En ∆ABC,
∠BAC = ∠DCA ………………………….. [Los ángulos interiores alternos son iguales]
BC = AB …………………………….(4) [ Los lados opuestos a los ángulos iguales de un ∆ son iguales]
Análogamente, AD = DC ……..(5)
Pero, ABCD es un paralelogramo. [Dado]
AB = DC ………………….(6) (lados opuestos del paralelogramo)
De (4), (5) y (6), tenemos
AB = BC = CD = DA
Como ABCD es un paralelogramo que tiene todos los lados iguales, entonces es un rombo.
Pregunta 7. ABCD es un rombo. Demuestre que la diagonal AC biseca ∠ A y ∠ C y la diagonal BD biseca ∠ B y ∠ D.
Solución:
Como ABCD es un rombo, entonces
AB = BC = CD = DA
Ahora, como CD = AD
∠ADB= ∠ABD………………………….(1) [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales]
∠ADB = ∠CBD …………………..(2) [ ∵ Los ángulos interiores alternos son iguales] (El rombo es un paralelogramo)
De (1) y (2), tenemos
∠CBD = ∠ABD …………………..(3)
∠ABD= ∠CDB ……………………..(4) [ ∵ Los ángulos alternos interiores son iguales]
De (1) y (4),
tenemos ∠ADB = ∠CDB
Por lo tanto, BD biseca tanto a ∠B como a ∠D.
De manera similar, podemos probar que AC biseca tanto a ∠C como a ∠A..
Pregunta 8. ABCD es un rectángulo en el que la diagonal AC biseca tanto a ∠ A como a ∠ C. Demuestre que:
(i) ABCD es un cuadrado
(ii) la diagonal BD biseca tanto a ∠ B como a ∠ D.
Solución:
Hay un rectángulo ABCD tal que AC biseca tanto a ∠A como a ∠C, entonces
∠BAC = ∠DAC y,
∠DCA = ∠BCA ………………………………(1)
(i) Como sabemos que todo rectángulo es un paralelogramo.
ABCD es un paralelogramo.
∠BCA = ∠DAC …………………….(2) [ Los ángulos interiores alternos son iguales]
De (1) y (2), tenemos
∠DCA= ∠DAC………………………….(3)
En ∆ABC, ∠DCA= ∠DAC entonces,
CD = DA [Lados opuestos a ángulos iguales de un ∆ son iguales]
Del mismo modo, AB = BC
Entonces, ABCD es un rectángulo que tiene lados adyacentes iguales.
ABCD es un cuadrado.
(ii) Dado que ABCD es un cuadrado
AB = BC = CD = DA
entonces, en ∆ABD, como AB = AD
∠ABD = ∠ADB [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un ∆ son iguales]……………………..(1)
De manera similar, ∠CBD = ∠CDB……………………..(2)
∠CBD = ∠ADB [Los ángulos interiores alternos son iguales]………………(3)
De (1) y (3)
∠CBD = ∠ABD
De (2) y (3)
∠ADB = ∠CDB
Entonces, BD biseca tanto a ∠B como a ∠D.
Pregunta 9. En el paralelogramo ABCD, se toman dos puntos P y Q en la diagonal BD tales que DP = BQ (ver Fig. 8.20). Muestra esa :
(i) ∆APD ≅ ∆CQB
(ii) AP = CQ
(iii) ∆AQB ≅ ∆CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ es un paralelogramo
Solución:
ABCD es un paralelogramo
DP = BQ
(i) Como ABCD es un paralelogramo
∠ADB = ∠CBD [Los ángulos interiores alternos son iguales]……………….(1)
∠ABD = ∠CDB [Los ángulos interiores alternos son iguales]……………………(2)
Ahora, en ∆APD y ∆CQB, tenemos
AD = CB [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]
PD = QB [Dado]
∠ADP = ∠CBQ [Probado]
Por lo tanto, ∆APD ≅ ∆CQB [Por congruencia SAS]
(ii) Como, ∆APD ≅ ∆CQB [Demostrado]
AP = CQ [Por CPCT]……………………(3)
(iii) Ahora, en ∆AQB y ∆CPD, tenemos
QB = PD [Dado]
∠ABQ = ∠CDP [Probado]
AB = CD [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]
Por lo tanto, ∆AQB ≅ ∆CPD [Por congruencia SAS]
(iv) Como, ∆AQB ≅ ∆CPD [Demostrado]
AQ = CP [Por CPCT] …………………………..(4)
(v) En un cuadrilátero APCQ,
Los lados opuestos son iguales. [De (3) y (4)]
Por lo tanto, APCQ es un paralelogramo. (Teorema 8.3 del NCERT)
Pregunta 10. ABCD es un paralelogramo y AP y CQ son perpendiculares desde los vértices A y C en la diagonal BD (ver Fig. 8.21). Muestra esa
(i) ∆APB ≅ ∆CQD
(ii) AP = CQ
Solución:
ABCD es un paralelogramo
DP = BQ
(i) En ∆APB y ∆CQD, tenemos
∠APB = ∠CQD [Cada 90°]
AB = CD [Los lados opuestos de un paralelogramo ABCD son iguales]
∠ABP = ∠CDQ [Los ángulos alternos son iguales a AB || CD y BD es una transversal]
Por lo tanto, ∆APB ≅ ∆CQD [Por congruencia AAS]
(ii) Como, ∆APB ≅ ∆CQD [Demostrado]
AP = CQ [Por CPCT]
Pregunta 11. En ∆ ABC y ∆ DEF, AB = DE, AB || DE, BC = EF y BC || EF. Los vértices A, B y C están unidos a los vértices D, E y F respectivamente (ver Fig. 8.22). Muestra esa
(i) el cuadrilátero ABED es un paralelogramo
(ii) el cuadrilátero BEFC es un paralelogramo
(iii) AD || CF y AD = CF
(iv) el cuadrilátero ACFD es un paralelogramo
(v) CA = DF
(vi) ∆ABC ≅ ∆DEF.
Solución:
AB = DE, y AB || DELAWARE,
BC = EF y BC || FE
(i) Tenemos AB = DE y AB || DE [Dado]
así que aquí, ABED es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos (AB y DE) son paralelos y de igual longitud.
Por lo tanto, ABED es un paralelogramo.
(ii) BC = EF y BC || EF [Dado]
es decir, BEFC es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos (BC y EF) son paralelos y de igual longitud.
Por lo tanto, BEFC es un paralelogramo.
(iii) como, ABED es un paralelogramo [Probado]
∴ dC || BE y AD = BE …(1) [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos]
Además, BEFC es un paralelogramo. [Demostrado]
SER || CF y BE = CF …(2) [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos]
De (1) y (2), tenemos
anuncio || CF y AD = CF
(iv) Desde, dC || CF y AD = CF [Probado]
es decir, en el cuadrilátero ACFD, un par de lados opuestos (AD y CF) son paralelos y de igual longitud.
Por lo tanto, el cuadrilátero ACFD es un paralelogramo.
(v) Dado que, ACFD es un paralelogramo. [Demostrado]
Entonces, AC =DF [Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales]
(vi) En ∆ABC y ∆DEF, tenemos
AB = DE [Dado]
BC = EF [Dado]
AC = DE [Probado en la parte (v)]
∆ABC ≅ ∆DEF [Por congruencia SSS]
Pregunta 12. ABCD es un trapecio en el que AB || CD y AD = BC (ver Fig. 8.23). Muestra esa
(yo) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD
(iv) diagonal AC = diagonal BD
[Sugerencia: extienda AB y dibuje una línea a través de C paralela a DA que interseca AB producida en E.]
Solución:
así que básicamente aquí hay un trapecio ABCD en el que AB || CD y AD = BC.
Extendió AB y dibuje una línea a través de C paralela a DA que interseca AB producida en E
(i) AB || CC, AE || DC También AD || CE
entonces, AECD es un paralelogramo.
AD = CE …………………………(1) [Los lados opuestos del paralelogramo son iguales]
Pero AD = BC…(2) [Dado]
De (1) y (2),
BC = CE
Ahora, en ∆BCF, tenemos BC = CF
∠CEB = ∠CBE …(3) [Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo son iguales]
Además, ∠ABC+ ∠CBE = 180° … (4) [Par lineal]
y ∠A + ∠CEB = 180° …(5) [Ángulos co-interiores de un paralelogramo ADCE]
De (4) y (5), obtenemos
∠ABC+ ∠CBE = ∠A + ∠CEB
∠ABC = ∠A [De (3)]
∠B = ∠A …(6)
(ii) AB || CD y AD es una transversal.
∠A + ∠D = 180° …(7) [Co-ángulos interiores en paralelogramo]
De manera similar, ∠B + ∠C = 180° … (8)
De (7) y (8), obtenemos
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
∠C = ∠D [De (6)]
(iii) En ∆ABC y ∆BAD, tenemos
AB = BA [Común]
BC = AD [Dado]
∠ABC = ∠BAD [Probado]
Por lo tanto, ∆ABC ≅ ∆BAD [Por congruencia SAS]
(iv) Dado que, ∆ABC ≅ ∆BAD [Demostrado]
AC = BD [Por CPCT]
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA