Soluciones NCERT Clase 9 – Capítulo 8 Cuadriláteros – Ejercicio 8.2

Pregunta 1. ABCD es un cuadrilátero en el que P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA (ver Fig. 8.29). AC es una diagonal. Muestra esa:

(i) RS || AC y SR = ½ AC

(ii) PQ = SR

(iii) PQRS es un paralelogramo

Solución: 

Dado que P, Q, R y S son los puntos medios del cuadrilátero ABCD

Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

(i) Así que aquí, tomando ∆ACD

podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT) ……………………….(1)

(ii) Así que aquí, tomando ∆ACB

podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC ( Teorema 8.9 de NCERT )…………………………(2)

De (1) y (2) podemos decir,

PQ = RS

(iii) entonces de (i) y (ii) podemos decir que

PQ || CA y RS || C.A.

entonces, PQ || SR y PQ = SR 

Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, entonces es un paralelogramo.

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo.

Pregunta 2. ABCD es un rombo y P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero PQRS es un rectángulo.

Solución: 

Dado que, P, Q, R y S son los puntos medios del rombo ABCD.

Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

Construcción: Unir AC y BD

Aquí, tomando ∆ABD

Podemos ver que P y S son los puntos medios del lado AB y AD respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, PD || BD y PS = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )………………………….(1)

De manera similar, si tomamos ∆CBD

Podemos ver que R y Q son los puntos medios de los lados CD y CB respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, RQ || BD y RQ = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )………………………….(2)

Entonces, de (1) y (2), concluimos que

PD || RQ y PS = RQ

Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, entonces es un paralelogramo.

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo.

Ahora en ∆ACD

Vemos que S y R son los puntos medios de los lados AD y CD respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, RS || CA y RS = ½ CA ( Teorema 8.9 de NCERT )

de (2) RQ || BD y RQ = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )

Por lo tanto, OGSH es un paralelogramo.

∠HOG = 90°(La diagonal del rombo se corta a 90° )

Entonces ∠HSG = 90° (los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)

Como, PQRS es un paralelogramo que tiene ángulos de vértices iguales a 90°.

Por lo tanto, PQRS es un rectángulo.

Pregunta 3. ABCD es un rectángulo y P, Q, R y S son puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero PQRS es un rombo.

Solución: 

Dado que, P, Q, R y S son los puntos medios del Rectángulo ABCD.

Construcción: Únete a AC

Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

Aquí, tomando ∆ACD

podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)………………………….(1)

Ahora, tomando ∆ACB

podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)…………………………(2)

Entonces, de (1) y (2), concluimos que

RS || PQ y SR = PQ

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo . (Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero es igual, entonces es un paralelogramo)

Ahora en ∆QBP y ∆QCR

QC = QB (Q es el punto medio de BC)

RC = PB (los lados opuestos son iguales, por lo tanto, la mitad de la longitud también es igual)

∠QCR = ∠QBP (Cada 90°)

∆QBP ≅ ∆QCR (Por congruencia SAS)

QR = QP ( Por CPCT )

Como PQRS es un paralelogramo y tiene lados adyacentes iguales

Por lo tanto, PQRS es un rombo.

Pregunta 4. ABCD es un trapecio en el que AB || DC, BD es una diagonal y E es el punto medio de AD. Se dibuja una línea a través de E paralela a AB que interseca a BC en F (vea la figura 8.30). Demuestre que F es el punto medio de BC.

Solución: 

Sea O el punto de intersección de las rectas BD y EF

Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado. 

Aquí, tomando ∆ADB

podemos ver que S es el punto medio del lado AD y ED || AB [Dado]

Por lo tanto, OD = ½ BD ………..(NCERT Teorema 8.10)

Ahora tomando ∆BCD

podemos ver que O es el punto medio del lado BD y OF || AB [Probado y Dado]

Por lo tanto, CF = ½ BC…….. (Teorema NCERT 8.10)

Por lo tanto probado!!

Pregunta 5. En un paralelogramo ABCD, E y F son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente (ver Fig. 8.31). Muestre que los segmentos de línea AF y EC trisecan la diagonal BD.

Solución:

Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado. 

Dados, E y F son los puntos medios del lado AB y CD del paralelogramo ABCD.

como, AB || CD y AB = CD (lados opuestos del paralelogramo)…………..(1)

AE = CF (mitades de lados opuestos de un paralelogramo)…………………………(2)

de (1) y (2)

AECF es un paralelogramo

Por lo tanto, AF || CE

Ahora tomando ∆APB

podemos ver que E es el punto medio del lado AB y EF || AP [Dado y probado]

Por lo tanto, BQ = PQ………..(Teorema 8.10 del NCERT)…………………….(1)

Ahora tomando ∆CQD

podemos ver que F es el punto medio del lado CD y CQ || FP [Dado y probado]

Hene, DP = PQ………..(Teorema 8.10 del NCERT)………………..(2)

De (1) y (2) concluimos que,

BQ = PQ = DQ

Por lo tanto, podemos decir que los segmentos de línea AF y EC trisecan la diagonal BD

Pregunta 6. Muestre que los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.

Solución:

Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.

Aquí, tomando ∆ACD

podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)………………………….(1)

Ahora, tomando ∆ACB

podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]

Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)…………………………(2)

Entonces, de (1) y (2), concluimos que

RS || PQ y SR = PQ

Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo . (Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero es igual, entonces es un paralelogramo)

Y como la diagonal del paralelogramo se biseca

entonces, QS y PR se bisecan entre sí.

Pregunta 7. ABC es un triángulo rectángulo en C. Una recta que pasa por el punto medio M de la hipotenusa AB y es paralela a BC corta a AC en D. Demuestra que

(i) D es el punto medio de AC 

(ii) MD ⊥ AC

(iii) CM = MA = ½ AB

Solución:

Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado. 

(i) mientras toma ∆ABC

podemos ver que M es el punto medio del lado AB y DM || BC [Dado]

Esto implica, DC= AD ……….. (NCERT Teorema 8.10)

Por lo tanto, D es el punto medio de AC.

(ii) Como sabemos MD || BC y AC es transversal

Esto implica, ∠ACB = ∠ADM = 90°

Por lo tanto, MD ⊥AC

(iii) Considerando ∆ADM y ∆CDM

AD = CD (D es el punto medio de AC (Probado))

∠CDM = ∠ADM (probado, MD ⊥AC)

DM = DM (común)

∆ADM ≅ ∆CDM ( Por congruencia SAS )

CM = AM (Por CPCT)

CM = AM = ½ AB (M es el punto medio de AB)

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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