Pregunta 1. ABCD es un cuadrilátero en el que P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA (ver Fig. 8.29). AC es una diagonal. Muestra esa:
(i) RS || AC y SR = ½ AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS es un paralelogramo
Solución:
Dado que P, Q, R y S son los puntos medios del cuadrilátero ABCD
Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.
(i) Así que aquí, tomando ∆ACD
podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT) ……………………….(1)
(ii) Así que aquí, tomando ∆ACB
podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC ( Teorema 8.9 de NCERT )…………………………(2)
De (1) y (2) podemos decir,
PQ = RS
(iii) entonces de (i) y (ii) podemos decir que
PQ || CA y RS || C.A.
entonces, PQ || SR y PQ = SR
Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, entonces es un paralelogramo.
Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo.
Pregunta 2. ABCD es un rombo y P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero PQRS es un rectángulo.
Solución:
Dado que, P, Q, R y S son los puntos medios del rombo ABCD.
Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.
Construcción: Unir AC y BD
Aquí, tomando ∆ABD
Podemos ver que P y S son los puntos medios del lado AB y AD respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, PD || BD y PS = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )………………………….(1)
De manera similar, si tomamos ∆CBD
Podemos ver que R y Q son los puntos medios de los lados CD y CB respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, RQ || BD y RQ = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )………………………….(2)
Entonces, de (1) y (2), concluimos que
PD || RQ y PS = RQ
Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, entonces es un paralelogramo.
Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo.
Ahora en ∆ACD
Vemos que S y R son los puntos medios de los lados AD y CD respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, RS || CA y RS = ½ CA ( Teorema 8.9 de NCERT )
de (2) RQ || BD y RQ = ½ BD ( Teorema 8.9 de NCERT )
Por lo tanto, OGSH es un paralelogramo.
∠HOG = 90°(La diagonal del rombo se corta a 90° )
Entonces ∠HSG = 90° (los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
Como, PQRS es un paralelogramo que tiene ángulos de vértices iguales a 90°.
Por lo tanto, PQRS es un rectángulo.
Pregunta 3. ABCD es un rectángulo y P, Q, R y S son puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero PQRS es un rombo.
Solución:
Dado que, P, Q, R y S son los puntos medios del Rectángulo ABCD.
Construcción: Únete a AC
Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.
Aquí, tomando ∆ACD
podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)………………………….(1)
Ahora, tomando ∆ACB
podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)…………………………(2)
Entonces, de (1) y (2), concluimos que
RS || PQ y SR = PQ
Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo . (Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero es igual, entonces es un paralelogramo)
Ahora en ∆QBP y ∆QCR
QC = QB (Q es el punto medio de BC)
RC = PB (los lados opuestos son iguales, por lo tanto, la mitad de la longitud también es igual)
∠QCR = ∠QBP (Cada 90°)
∆QBP ≅ ∆QCR (Por congruencia SAS)
QR = QP ( Por CPCT )
Como PQRS es un paralelogramo y tiene lados adyacentes iguales
Por lo tanto, PQRS es un rombo.
Pregunta 4. ABCD es un trapecio en el que AB || DC, BD es una diagonal y E es el punto medio de AD. Se dibuja una línea a través de E paralela a AB que interseca a BC en F (vea la figura 8.30). Demuestre que F es el punto medio de BC.
Solución:
Sea O el punto de intersección de las rectas BD y EF
Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado.
Aquí, tomando ∆ADB
podemos ver que S es el punto medio del lado AD y ED || AB [Dado]
Por lo tanto, OD = ½ BD ………..(NCERT Teorema 8.10)
Ahora tomando ∆BCD
podemos ver que O es el punto medio del lado BD y OF || AB [Probado y Dado]
Por lo tanto, CF = ½ BC…….. (Teorema NCERT 8.10)
Por lo tanto probado!!
Pregunta 5. En un paralelogramo ABCD, E y F son los puntos medios de los lados AB y CD respectivamente (ver Fig. 8.31). Muestre que los segmentos de línea AF y EC trisecan la diagonal BD.
Solución:
Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado.
Dados, E y F son los puntos medios del lado AB y CD del paralelogramo ABCD.
como, AB || CD y AB = CD (lados opuestos del paralelogramo)…………..(1)
AE = CF (mitades de lados opuestos de un paralelogramo)…………………………(2)
de (1) y (2)
AECF es un paralelogramo
Por lo tanto, AF || CE
Ahora tomando ∆APB
podemos ver que E es el punto medio del lado AB y EF || AP [Dado y probado]
Por lo tanto, BQ = PQ………..(Teorema 8.10 del NCERT)…………………….(1)
Ahora tomando ∆CQD
podemos ver que F es el punto medio del lado CD y CQ || FP [Dado y probado]
Hene, DP = PQ………..(Teorema 8.10 del NCERT)………………..(2)
De (1) y (2) concluimos que,
BQ = PQ = DQ
Por lo tanto, podemos decir que los segmentos de línea AF y EC trisecan la diagonal BD
Pregunta 6. Muestre que los segmentos de línea que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan entre sí.
Solución:
Teorema 8.9: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado.
Aquí, tomando ∆ACD
podemos ver que S y R son los puntos medios de los lados AD y DC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, RS || AC y SR = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)………………………….(1)
Ahora, tomando ∆ACB
podemos ver que P y Q son los puntos medios del lado AB y BC respectivamente. [Dado]
Por lo tanto, PQ || AC y PQ = ½ AC (Teorema 8.9 del NCERT)…………………………(2)
Entonces, de (1) y (2), concluimos que
RS || PQ y SR = PQ
Por lo tanto, PQRS es un paralelogramo . (Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero es igual, entonces es un paralelogramo)
Y como la diagonal del paralelogramo se biseca
entonces, QS y PR se bisecan entre sí.
Pregunta 7. ABC es un triángulo rectángulo en C. Una recta que pasa por el punto medio M de la hipotenusa AB y es paralela a BC corta a AC en D. Demuestra que
(i) D es el punto medio de AC
(ii) MD ⊥ AC
(iii) CM = MA = ½ AB
Solución:
Teorema 8.10: La línea trazada por el punto medio de un lado de un triángulo, paralela a otro lado, biseca al tercer lado.
(i) mientras toma ∆ABC
podemos ver que M es el punto medio del lado AB y DM || BC [Dado]
Esto implica, DC= AD ……….. (NCERT Teorema 8.10)
Por lo tanto, D es el punto medio de AC.
(ii) Como sabemos MD || BC y AC es transversal
Esto implica, ∠ACB = ∠ADM = 90°
Por lo tanto, MD ⊥AC
(iii) Considerando ∆ADM y ∆CDM
AD = CD (D es el punto medio de AC (Probado))
∠CDM = ∠ADM (probado, MD ⊥AC)
DM = DM (común)
∆ADM ≅ ∆CDM ( Por congruencia SAS )
CM = AM (Por CPCT)
CM = AM = ½ AB (M es el punto medio de AB)
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA