Pregunta 1: En la figura dada, ABCD es un paralelogramo, AE ⊥ DC y CF ⊥ AD. Si AB = 16 cm, AE = 8 cm y CF = 10 cm, encuentre AD?
Solución:
Como se indica en la pregunta,
AB = CD = 16 cm (Lados opuestos de un paralelogramo)
CF = 10 cm y AE = 8 cm
Ahora, como hemos estudiado en este Capítulo sabemos,
Área del paralelogramo = Base x Altitud
⇒ CD × AE = AD × CF
⇒ 16 × 8 = DA × 10
⇒ AD = 128/10 cm
⇒ DA = 12,8 cm
Pregunta 2: Si E, F, G y H son respectivamente los puntos medios de los lados de un paralelogramo ABCD, demuestre que ar (EFGH) = 1/2 ar (ABCD)?
Solución:
Como se indica en la pregunta,
E, F, G y H son los puntos medios de los lados de un paralelogramo ABCD respectivamente.
Probar,
ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)
Primero, tenemos que hacer algo de construcción.
unir H a E
Prueba:
Como la conocemos,
anuncio || BC y AD = BC (Lados opuestos de un paralelogramo)
⇒ ½ d.C. = ½ a.C.
Como H y F son los puntos medios de AD y BC
Ah || BF y DH || FC
Por lo tanto,
AH = BF y DH = CF (H y F son puntos medios)
∴ ABFH y HFCD son paralelogramos.
Como sabemos, ΔEFH y el paralelogramo ABFH, ambos se encuentran en la misma base FH y ΔEFH se encuentran entre las mismas líneas paralelas AB y HF.
Por lo tanto,
Área de EFH = ½ Área de ABFH — (i)
Y, Área de GHF = ½ Área de HFCD — (ii)
Ahora, sumando (i) y (ii) obtenemos,
Área de ΔEFH + Área de ΔGHF = ½ Área de ABFH + ½ Área de HFCD
⇒ Área de EFGH = Área de ABFH
∴ ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)
Pregunta 3: P y Q son dos puntos cualquiera que se encuentran en los lados DC y AD respectivamente de un paralelogramo ABCD. Demuestre que ar(APB) = ar(BQC)?
Solución:
ΔAPB y el paralelogramo ABCD se encuentran en la misma base AB y ΔAPB se encuentran entre los mismos paralelos AB y DC.
Ahora, como sabemos que
ar(ΔAPB) = ½ ar(paralelogramo ABCD) — (i)
Similarmente,
ar(ΔBQC) = ½ ar(paralelogramo ABCD) — (ii)
De (i) y (ii), tenemos
ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)
Por lo tanto probado,
Pregunta 4: En la figura, P es un punto en el interior de un paralelogramo ABCD. Muestra esa
(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)
(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
[Sugerencia: a través de P, dibuje una línea paralela a AB.]
Solución:
Dado: P es un punto en el interior del paralelogramo ABCD
Para probar: Área(APB) + Área(PCD) = ½ Área(ABCD)
Construcción:
A través de P, dibuje una línea EF paralela a AB
Prueba:
(i) En un paralelogramo,
AB || EF (por construcción) — (i)
∴AD || BC ⇒ AE || BF-(ii)
De las ecuaciones (i) y (ii),
ABFE es un paralelogramo.
Ahora,
ΔAPB y el paralelogramo ABFE se encuentran sobre la misma base AB y ΔAPB se encuentran entre las mismas líneas paralelas AB y EF.
∴ ar(ΔAPB) = ½ ar(ABFE) — (iii)
además,
ΔPCD y el paralelogramo CDEF se encuentran en la misma base CD y ΔPCD se encuentran entre las mismas líneas paralelas CD y EF.
∴ ar(ΔPCD) = ½ ar(CDEF) — (iv)
Sumando las ecuaciones (iii) y (iv) obtenemos,
ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = ½ [ar(ABFE)+ar(CDEF)]
⇒ ar(APB)+ ar(PCD) = ½ ar(ABCD)
Por lo tanto probado
(ii) Construcción:
A través de P, trazar una línea GH paralela a AB
En el paralelogramo,
anuncio || GH (por construcción) — (i)
∴ AB || CD ⇒ AG || DH-(ii)
De las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,
AGDH es un paralelogramo.
Ahora,
ΔAPD y el paralelogramo AGHD se encuentran sobre la misma base AD y ΔAPD se encuentran entre las mismas líneas paralelas AD y GH.
∴ar(ΔAPD) = ½ ar(AGHD) — (iii)
además,
ΔPBC y el paralelogramo BCHG se encuentran sobre la misma base BC y ΔPBC se encuentran entre las mismas líneas paralelas BC y GH.
∴ar(ΔPBC) = ½ ar(BCHG) — (iv)
Sumando las ecuaciones (iii) y (iv) obtenemos,
ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = ½ {ar(AGHD) + ar(BCHG)}
⇒ ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
Por lo tanto probado
Pregunta 5: En la figura, PQRS y ABRS son paralelogramos y X es cualquier punto del lado BR. Muestra esa:
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS)
Solución:
Dado: PQRS y ABRS son paralelogramos y X es cualquier punto del lado BR
Para probar: (i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS)
Prueba:
(i) En ΔPSA y ΔQRB,
∠ SPA = ∠ RQB — (i) (Ángulos correspondientes de PS || QR y transversal PB
∠ PAS = ∠ QBR — (ii) (Ángulos correspondientes de AS || BR y transversal PB
∠ PSA = ∠ QRB — (iii) (Propiedad de la suma de ángulos del triángulo)
Además, PS = QR — (iv) (lados opuestos del paralelogramo PQRS)
En vista de (i), (iii) y (iv),
ΔPSA ≅ ΔQRB — (v) (Por regla ASA)
∴ Área (ΔPSA) = Área (ΔQRB) — (vi)
∴ Figuras congruentes tienen igual área
Ahora, ar(PQRS) = Área(ΔPSA) + Área(AQRS)
= Área (ΔQRB) + Área (AQRS) —–|| Usando (vi)
= ar(ABRS)
∴ar (PQRS) = ar (ABRS)
Por lo tanto probado
(ii) ΔAXS y el paralelogramo ABRS están en la misma base As y entre los mismos paralelos AS y BR
∴ Área (ΔAXS) = ½ Área (Paralelogramo ABRS)
= ½ {Área (AQRS) + Área (ΔQRB)}
= ½ Área (Paralelogramo PQRS)
Por lo tanto probado
Pregunta 6: Un agricultor tenía un campo en forma de paralelogramo PQRS. Ella tomó cualquier punto A en RS y lo unió a los puntos P y Q. ¿En cuántas partes se dividen los campos? ¿Cuáles son las formas de estas partes? El agricultor quiere sembrar trigo y legumbres en partes iguales del campo por separado. ¿Cómo debería hacerlo?
Solución:
El campo está dividido en tres partes cada una en forma triangular.
Sean ΔPSA, ΔPAQ y ΔQAR los triángulos.
Área de (ΔPSA + ΔPAQ + ΔQAR) = Área de PQRS — (i)
Área de ΔPAQ = ½ área de PQRS — (ii)
Aquí, el triángulo y el paralelogramo están en la misma base y entre las mismas líneas paralelas.
De (i) y (ii) obtenemos,
Área de ΔPSA + Área de ΔQAR = ½ área de PQRS — (iii)
De (ii) y (iii), podemos concluir que,
El agricultor debe sembrar trigo o legumbres en ΔPAQ o en ΔPSA y ΔQAR.