Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 9 Áreas de paralelogramos y triángulos – Ejercicio 9.2

Pregunta 1: En la figura dada, ABCD es un paralelogramo, AE ⊥ DC y CF ⊥ AD. Si AB = 16 cm, AE = 8 cm y CF = 10 cm, encuentre AD?

Solución:

Como se indica en la pregunta,

AB = CD = 16 cm (Lados opuestos de un paralelogramo)

CF = 10 cm y AE = 8 cm

Ahora, como hemos estudiado en este Capítulo sabemos,

Área del paralelogramo = Base x Altitud

⇒ CD × AE = AD × CF

⇒ 16 × 8 = DA × 10

⇒ AD = 128/10 cm

⇒ DA = 12,8 cm

Pregunta 2: Si E, F, G y H son respectivamente los puntos medios de los lados de un paralelogramo ABCD, demuestre que ar (EFGH) = 1/2 ar (ABCD)?

Solución:

Como se indica en la pregunta,

E, F, G y H son los puntos medios de los lados de un paralelogramo ABCD respectivamente.

Probar,

ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)

Primero, tenemos que hacer algo de construcción.

unir H a E

Prueba:

Como la conocemos,

anuncio || BC y AD = BC (Lados opuestos de un paralelogramo)

⇒ ½ d.C. = ½ a.C.

Como H y F son los puntos medios de AD y BC

Ah || BF y DH || FC

Por lo tanto,

AH = BF y DH = CF (H y F son puntos medios)

∴ ABFH y HFCD son paralelogramos.

Como sabemos, ΔEFH y el paralelogramo ABFH, ambos se encuentran en la misma base FH y ΔEFH se encuentran entre las mismas líneas paralelas AB y HF.

Por lo tanto,

Área de EFH = ½ Área de ABFH — (i)

Y, Área de GHF = ½ Área de HFCD — (ii)

Ahora, sumando (i) y (ii) obtenemos,

Área de ΔEFH + Área de ΔGHF = ½ Área de ABFH + ½ Área de HFCD

⇒ Área de EFGH = Área de ABFH

∴ ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)

Pregunta 3: P y Q son dos puntos cualquiera que se encuentran en los lados DC y AD respectivamente de un paralelogramo ABCD. Demuestre que ar(APB) = ar(BQC)?

Solución:

ΔAPB y el paralelogramo ABCD se encuentran en la misma base AB y ΔAPB se encuentran entre los mismos paralelos AB y DC.

Ahora, como sabemos que 

ar(ΔAPB) = ½ ar(paralelogramo ABCD) — (i)

Similarmente,

ar(ΔBQC) = ½ ar(paralelogramo ABCD) — (ii)

De (i) y (ii), tenemos

ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)

Por lo tanto probado,

Pregunta 4: En la figura, P es un punto en el interior de un paralelogramo ABCD. Muestra esa

(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

[Sugerencia: a través de P, dibuje una línea paralela a AB.]

Solución:

Dado: P es un punto en el interior del paralelogramo ABCD

Para probar: Área(APB) + Área(PCD) = ½ Área(ABCD)

Construcción: 

A través de P, dibuje una línea EF paralela a AB

Prueba: 

(i) En un paralelogramo,

AB || EF (por construcción) — (i)

∴AD || BC ⇒ AE || BF-(ii)

De las ecuaciones (i) y (ii),

ABFE es un paralelogramo.

Ahora,

ΔAPB y el paralelogramo ABFE se encuentran sobre la misma base AB y ΔAPB se encuentran entre las mismas líneas paralelas AB y EF.

∴ ar(ΔAPB) = ½ ar(ABFE) — (iii)

además,

ΔPCD y el paralelogramo CDEF se encuentran en la misma base CD y ΔPCD se encuentran entre las mismas líneas paralelas CD y EF.

∴ ar(ΔPCD) = ½ ar(CDEF) — (iv)

Sumando las ecuaciones (iii) y (iv) obtenemos,

ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = ½ [ar(ABFE)+ar(CDEF)]

⇒ ar(APB)+ ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

Por lo tanto probado

(ii) Construcción: 

A través de P, trazar una línea GH paralela a AB

En el paralelogramo,

anuncio || GH (por construcción) — (i)

∴ AB || CD ⇒ AG || DH-(ii)

De las ecuaciones (i) y (ii) obtenemos,

AGDH es un paralelogramo.

Ahora,

ΔAPD y el paralelogramo AGHD se encuentran sobre la misma base AD y ΔAPD se encuentran entre las mismas líneas paralelas AD y GH.

∴ar(ΔAPD) = ½ ar(AGHD) — (iii)

además,

ΔPBC y el paralelogramo BCHG se encuentran sobre la misma base BC y ΔPBC se encuentran entre las mismas líneas paralelas BC y GH.

∴ar(ΔPBC) = ½ ar(BCHG) — (iv)

Sumando las ecuaciones (iii) y (iv) obtenemos,

ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = ½ {ar(AGHD) + ar(BCHG)}

⇒ ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

Por lo tanto probado

Pregunta 5: En la figura, PQRS y ABRS son paralelogramos y X es cualquier punto del lado BR. Muestra esa:

(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)

(ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS) 

Solución:

Dado:  PQRS y ABRS son paralelogramos y X es cualquier punto del lado BR

Para probar: (i) ar (PQRS) = ar (ABRS)

                (ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS) 

Prueba:

(i) En ΔPSA y ΔQRB,

∠ SPA = ∠ RQB — (i) (Ángulos correspondientes de PS || QR y transversal PB

∠ PAS = ∠ QBR — (ii) (Ángulos correspondientes de AS || BR y transversal PB

∠ PSA = ∠ QRB — (iii) (Propiedad de la suma de ángulos del triángulo)

Además, PS = QR — (iv) (lados opuestos del paralelogramo PQRS)

En vista de (i), (iii) y (iv),

ΔPSA ≅ ΔQRB — (v) (Por regla ASA)

∴ Área (ΔPSA) = Área (ΔQRB) — (vi)

∴ Figuras congruentes tienen igual área

Ahora, ar(PQRS) = Área(ΔPSA) + Área(AQRS)

                        = Área (ΔQRB) + Área (AQRS) —–|| Usando (vi)

                        = ar(ABRS)

∴ar (PQRS) = ar (ABRS)

Por lo tanto probado

(ii) ΔAXS y el paralelogramo ABRS están en la misma base As y entre los mismos paralelos AS y BR

∴ Área (ΔAXS) = ½ Área (Paralelogramo ABRS)

                      = ½ {Área (AQRS) + Área (ΔQRB)}

                      = ½ Área (Paralelogramo PQRS)

Por lo tanto probado

Pregunta 6: Un agricultor tenía un campo en forma de paralelogramo PQRS. Ella tomó cualquier punto A en RS y lo unió a los puntos P y Q. ¿En cuántas partes se dividen los campos? ¿Cuáles son las formas de estas partes? El agricultor quiere sembrar trigo y legumbres en partes iguales del campo por separado. ¿Cómo debería hacerlo?

Solución:

El campo está dividido en tres partes cada una en forma triangular.

Sean ΔPSA, ΔPAQ y ΔQAR los triángulos.

Área de (ΔPSA + ΔPAQ + ΔQAR) = Área de PQRS — (i)

Área de ΔPAQ = ½ área de PQRS — (ii)

Aquí, el triángulo y el paralelogramo están en la misma base y entre las mismas líneas paralelas.

De (i) y (ii) obtenemos,

Área de ΔPSA + Área de ΔQAR = ½ área de PQRS — (iii)

De (ii) y (iii), podemos concluir que,

El agricultor debe sembrar trigo o legumbres en ΔPAQ o en ΔPSA y ΔQAR.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por darshh09 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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