Soluciones NCERT Clase 10 – Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.2

Pregunta 1. Encuentra los ceros de los siguientes polinomios cuadráticos y verifica la relación entre los ceros y los coeficientes.

(i) x ² – 2x – 8

x2 – ^2x – 8 = x2 – 4x ⁺ 2x – 8 

= x (x – 4) + 2 (x – 4) 

= (x – 4) (x + 2)

Por lo tanto, los ceros de la ecuación x ² – 2x – 8 son (4, -2)

La suma de ceros es igual a [4 – 2]= 2 = -(-2)/1 

es decir = -(Coeficiente de x) / (Coeficiente de x ² )

Producto de ceros es igual a 4 × (-2) = -8 =-(8)/1  

ie= (Término constante) / (Coeficiente de x ² )

(ii) 4s2 – 4s + 1

4s ² – 4s + 1 = 4s ² – 2s – 2s +1 

= 2s(2s – 1) – 1(2s – 1) 

= (2s – 1) (2s – 1)

Por lo tanto, los ceros de la ecuación 4s ² – 4s +1 son (1/2, 1/2)

La suma de ceros es igual a [(1/2) + (1/2)] = 1 = -4/4 

ie= -(Coeficiente de s) / (Coeficiente de s ² )

El producto de ceros es igual a [(1/2) × (1/2)] = 1/4 

ie= (Término constante) / (Coeficiente de s ² )

(iii) 6x ² – 3 – 7x

6x ² – 3 – 7x = 6x ² – 7x – 3 

= 6x ² – 9x + 2x – 3 

= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3) 

= (3x + 1) (2x – 3)

Por lo tanto, los ceros de la ecuación 6x ² – 3 – 7x son (-1/3, 3/2)

La suma de ceros es igual a -(1/3) + (3/2) = (7/6) 

es decir = -(Coeficiente de x) / (Coeficiente de x ² )

Producto de ceros es igual a -(1/3) × (3/2) = -(3/6) 

ie= (Término constante) / (Coeficiente de x ² )

(iv) 4u ² + 8u

4u ² + 8u = 4u(u + 2)

Por lo tanto, los ceros de la ecuación 4u ² + 8u son (0, -2).

La suma de ceros es igual a [0 + (-2)] = -2 = -(8/4)

es decir = -(Coeficiente de u) / (Coeficiente de u ² )

Producto de ceros es igual a 0 × -2 = 0 = 0/4 

es decir = (Término constante) / (Coeficiente de u ² )

(v) t ² – 15

 t ² – 15

⇒ t2 ⁼ 15 o t = ±√15

Por lo tanto, los ceros de la ecuación t ² – 15 son (√15, -√15)

La suma de ceros es igual a [√15 + (-√15)] = 0 = -(0/1) 

es decir = -(Coeficiente de t) / (Coeficiente de t2)

Producto de ceros es igual a √15 × (-√15) = -15 = -15/1 

es decir = (Término constante) / (Coeficiente de t2 )

(vi) 3x ² – x – 4

3x ² – x – 4 = 3x ² – 4x + 3x – 4

= x(3x – 4) + 1(3x – 4) 

= (3x – 4) (x + 1)

Por lo tanto, los ceros de la ecuación 3x ² – x – 4 son (4/3, -1)

La suma de ceros es igual a (4/3) + (-1) = (1/3) = -(-1/3) 

es decir = -(Coeficiente de x) / (Coeficiente de x ² )

Producto de ceros es igual a (4/3) × (-1) = (-4/3) 

es decir = (Término constante) / (Coeficiente de x ² )

Pregunta 2. Encuentra un polinomio cuadrático cada uno con los números dados como la suma y el producto de sus ceros respectivamente.

(yo) 1/4, -1

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado, Suma de ceros = α + β = 1/4

Producto de ceros = α β = -1

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:-

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (1/4)x ⁺ (-1) = 0

4x ² – x – 4 = 0

∴ 4x ² – x – 4 es el polinomio cuadrático.

(ii) √2, 1/3

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado Suma de ceros = α + β =√2

Producto de ceros = αβ = 1/3

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (√2)x ⁺ (1/3) = 0

3x ² – 3√2x + 1 = 0

∴ 3x ² – 3√2x + 1 es el polinomio cuadrático.

(iii) 0, √5

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado, Suma de ceros = α + β = 0

Producto de ceros = αβ = √5

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:-

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x2 – ( ⁰ )x + √5 = 0

∴ x ² + √5 es el polinomio cuadrático.

(iv) 1, 1

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado, Suma de ceros = α + β = 1

Producto de ceros = αβ = 1

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:-

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x ² – x + 1 = 0

∴ x ² – x + 1 es el polinomio cuadrático.

(v) -1/4, 1/4

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado, Suma de ceros = α + β = -1/4

Producto de ceros = α β = 1/4

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:-

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (-1/4)x + (1/4) = ⁰

4x ² + x + 1 = 0

∴ 4x ² + x + 1 es el polinomio cuadrático.

(vi) 4, 1

Sean dos ceros α, β

∴ Suma de ceros = α + β

∴ Producto de ceros = αβ

Dado, Suma de ceros = α + β = 4

Producto de ceros = αβ = 1

∴ Si α y β son ceros de cualquier polinomio cuadrático, entonces la ecuación del polinomio cuadrático se puede escribir directamente como:

x ² – (α + β)x + αβ = 0

x ² – 4x + 1 = 0

∴ x ² – 4x + 1 es el polinomio cuadrático.