Soluciones NCERT de clase 10 – Capítulo 8 Introducción a la trigonometría – Ejercicio 8.4

Pregunta 1. Exprese las razones trigonométricas sin A, sec A y tan A en términos de cot A

Solución:

(i) pecado A

Lo sabemos

cosec 2 A = 1 + cot 2 A

1/sen 2 A = 1 + cot 2 A

sen 2 A = 1/(1 + cot 2 A)

sen A = 1/(1+cot 2 A) 1/2

(ii) segundo A 

seg 2 A = 1 + tan 2 A

Seg 2 A = 1 + 1/cuna 2 A

seg 2 A = (cuna 2 A + 1) / cuna 2 A

seg A = (cuna 2 A + 1) 1/2 / cuna A

(iii) bronceado A

bronceado A = 1 / cuna A

bronceado A = cuna -1 A

Pregunta 2. Escribe todas las demás razones trigonométricas de ∠A en términos de sec A .

Solución:

(i) porque A

cos A = 1/seg A

(ii) pecado A

Lo sabemos

sen 2 A = 1 – cos 2 A

Además, cos 2 A = 1/seg 2 A

sen 2 A = 1 – 1 / seg 2 A

sen 2 A = (seg 2 A – 1) / seg 2 A

sen A = (seg 2 A – 1) 1/2 / seg A

(iii) bronceado A

Lo sabemos

tan 2 A + 1 = seg 2 A

tan A = (seg 2 A – 1)½

(iv) cosec A

Sabemos

cosec A = 1/ sinA

cosec A = seg A / (seg 2 A – 1)½

(v) cuna A

Sabemos

cuna A = cos A / sen A

cot A = (1/seg A) / ((seg 2 A – 1) 1/2 / seg A)

cuna A = 1 / (seg 2 A – 1) 1/2

Pregunta 3. Evaluar:  

(i) (sen 2 63° + sen 2 27°)/(cos 2 17° + cos 2 73°)

(ii) sen 25° cos 65° + cos 25° sen 65°

(i) ([sen(90-27)] 2 + sen 2 27) / ([cos(90-73)] 2 + cos 2 73)

Lo sabemos 

sen(90-x) = cos x
cos(90-x) = sen x

(cos 2 (27) + sen 2 27) / (sen 2 (73) + cos 2 73)

Usando 

sen 2 A + cos 2 A = 1

1/1 = 1

(ii) [sen 25 * cos (90-25)] + [cos 25 * sin (90-25)]

Usando

sen(90-x) = cos x
cos(90-x) = sen x

= [sen 25 * sen 25] + [cos 25 * cos 25]

= sen 2 25 + cos 2 25

= 1

Pregunta 4. Elija la opción correcta. Justifique su elección.  

Solución:

(i) 9 seg 2 A – 9 tan 2 A  

( A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0 

Usando sec 2 A – tan 2 A = 1 

9 (seg 2 A – tan 2 A ) = 9(1) 

Respuesta (B) 

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) –1 

Simplificando todas las proporciones

= (1 + senθ/cosθ + 1/cosθ) (1 + cosθ/senθ – 1/senθ)

= ((cosθ + sinθ + 1)/ cosθ) ((sinθ + cosθ – 1 )/senθ)

= ((cosθ + senθ) 2 – 1) / (senθ cosθ)

= (1 + 2*cosθ*senθ – 1) / (senθ cosθ)

= 2

Respuesta (C)

(iii) (sec A + tan A) * (1 – sin A) 

(A) sec A (B) sen A (C) cosec A (D) cos A 

Simplificando sec A y tan A

= (1/cos A + sen A/cos A)*(1 – sen A)

= ((1 + sen A)/cos A)*(1 – sen A)

= (1 – sen 2 A)/cos A

= cos 2 A / cos A

= cos A

Respuesta (D)

(iv) (1 + tan 2 A) / (1 + cot 2 A)

(A) seg 2 A (B) –1 (C) cuna 2 A (D) bronceado 2 A

Simplificando tan A y cot A

= (1 + (sen 2 A / cos 2 A)) / (1 + (cos 2 A / sen 2 A))

= ((cos 2 A + sen 2 A) / cos 2 A) / ((cos 2 A + sen 2 A) / sen 2 A)

= sen 2 A / cos 2 A

= bronceado 2 A

Respuesta (D)

Pregunta 5. Demuestra las siguientes identidades, donde los ángulos involucrados son ángulos agudos para los cuales se definen las expresiones.

Solución:

(i) (cosec θ – cot θ) 2 = (1 – cosθ) / (1 + cosθ)

Resolviendo LHS

Simplificando cosec θ y cot θ

= (1-cos θ) 2 / sen 2 θ

= (1-cos θ) 2 / (1-cos 2 θ)

Usando a 2 – b 2 = (a+b)*(ab)

= (1-cos θ) 2 / [(1-cos θ)*(1+cos θ)]

= (1-cos θ) / (1+cos θ) = lado derecho

Por lo tanto probado

(ii) (cos A / (1+sen A) + ((1+sen A) / cos A) = 2 s A

Resolviendo LHS

Tomando MCM 

= (cos 2 A + (1+sen A) 2 ) / ((1+sen A) cos A)

= (cos 2 A + 1 + sen 2 A + 2 sen A ) / ((1 + sen A)*cos A)

Usando sen 2 A + cos 2 A = 1

= (2 + 2*sen A) / ((1+sen A)*cos A)

= (2*(1 + sen A)) / ((1 + sen A)*cos A)

= 2 / cos A

= 2 seg A = RHS

Por lo tanto probado

(iii) (tan θ / (1 – cot θ)) + (cot θ / (1 – tan θ)) = 1 + seg θ*cosec θ

Resolviendo LHS

Cambiando tan θ y cot θ en términos de sen θ y cos θ y simplificando

= ((sen 2 θ) / (cos θ *(sen θ-cos θ))) + ((cos 2 θ ) / (sen θ *(sen θ-cos θ)))

= (1 / (sen θ-cos θ)) * [(sen 3 θ – cos 3 θ) / (sen θ * cos θ)]

= (1 / (sen θ – cos θ)) * [ ((sen θ – cos θ) * ( sen 2 θ + cos 2 θ + sen θ * cos θ ))/(sen θ *cos θ)]

= (1+sen θ*cos θ) / (sen θ*cos θ)

= segundo θ*coseg θ + 1 = RHS

Por lo tanto probado

(iv) (1 + segundo A) / segundo A = sen 2 A / (1 – cos A)

Resolviendo LHS

= cos A + 1

Resolviendo RHS

= (1 – cos 2 A) / (1 – cos A)

= (1 – cos A) * (1 + cos A) / (1 – cos A)

= 1 + cos A = lado derecho

Por lo tanto probado

(v) (cos A – sen A + 1) / (cos A + sen A – 1) = cosec A + cot A usando la identidad cosec 2 A = 1 + cot 2 A

Resolviendo LHS

Multiplicando numerador y denominador por (cot A – 1 + cosec A)

= (cot 2 A + 1 + cosec 2 A – 2*cot A – 2*cosec A + 2*cot A*cosec A) / (cot 2 A – (1 + cosec 2 A – 2*cosec A))

= (2*cosec 2 A – 2*cot A – 2*cosec A + 2*cot A*cosec A) / (cot 2 A – 1 – cosec 2 A + 2*cosec A) 

= (2* cosec A *(cosec A + cot A) – 2*(cosec A + cot A)) / (cot 2 A – 1 – cosec 2 A + 2*cosec A)

= ((cosec A + cot A) * (2*cosec A – 2 )) / (2*cosec A – 2) 

= cosec A + cot A = RHS

Por lo tanto probado

(vi) [(1 + sin A) / (1 – sin A)] ½ = sec A + tan A

Resolviendo LHS

Multiplicar numerador y denominador por (1+sinA)

= [((1 + sen A)*(1 + sen A)) / ((1 – sen A)*(1 + sen A))] ½

= (1 + sen A) / (1 – sen 2 A) ½

= (1 + sen A) / (cos 2 A) 1/2

= (1 + sen A) / (cos A)

= seg A + tan A = RHS

Por lo tanto probado

(vii) (sen θ – 2 sen 3 θ) / (2 cos 3 θ – cos θ) = tan θ

Resolviendo LHS

= (sen θ * (1 – 2*sen 2 θ)) / (cos θ * (2*cos 2 θ – 1))

= (sen θ * (1 – 2*sen 2 θ )) / (cos θ * (2*(1 – sen 2 θ) – 1))

= (sen θ *(1 – 2*sen 2 θ)) / (cos θ * (1 – 2*sen 2 θ))

= bronceado θ = lado derecho

Por lo tanto probado 

(viii) (sen A + cosec A) 2 + (cos A + sec A) 2 = 7 + tan 2 A + cot 2 A

Resolviendo LHS

= sen 2 A + cosec 2 A + 2*sen A *cosec A + cos 2 A + sec 2 A + 2*cos A *sec A

Sabemos que cosec A = 1 / sin A

= 1 + 1 + cuna 2 A + 1 + bronceado 2 A + 2 + 2

= 7 + tan 2 A + cot 2 A = RHS

Por lo tanto probado

(ix) (cosec A – sin A)*(sec A – cos A) = 1 / (tan A + cot A)

Resolviendo LHS

= ((1/sen A) – sen A) * ((1/cos A) – cos A)

= ((1 – sen 2 A) / sen A) * ((1 – cos 2 A) / cos A)

= (cos 2 A * sen 2 A) / (sen A * cos A)

= sen A * cos A

Resolviendo RHS

Simplificando tan A y cot A

= (sen A * cos A) / ( sen 2 A + cos 2 A)

= sen A * cos A = lado derecho

Por lo tanto probado

(x) (1 + tan 2 A) / (1 + cot 2 A ) = [(1 – tan A) / (1 – cot A)] 2 = tan 2 A

Resolviendo LHS

Cambiador de cuna A = 1 / bronceado A

= (tan 2 A * (1 + tan 2 A)) / (1 + tan 2 A) = tan 2 A = RHS

= [(1 – tan A) / (1 – cot A)] 2 = (1 + tan 2 A – 2*tan A) / (1 + cot 2 A – 2*cot A)

= (seg 2 A – 2*tan A) / (cosec 2 A – 2*cot A)

Resolviendo esto obtenemos 

= bronceado 2 A

Por lo tanto probado

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por TarunYadav4 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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