Soluciones NCERT Clase 8 – Capítulo 14 Factorización – Ejercicio 14.1

Pregunta 1: Encuentra los factores comunes de los términos dados. 
(i) 12x, 36
(ii) 2y, 22xy
(iii) 14pq, 28p ² q ²
(iv) 2x, 3x ² , 4
(v) 6abc, 24ab ² , 12a ² b
(vi) 16x ³ , -4x ² , 32x
(vii) 10pq, 20qr, 30rp
(viii) 3x ² y ³ , 10x ³ y ² , 6x ² y ² z

Solución: 

(i)12x, 36

Los factores de 12x y 36 son
⇒ 12x = 2 × 2 × 2 × 3 × x
⇒ 36 = 2 × 2 × 3 × 3
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × 2 × 3 × 3 = 12

(ii) 2y, 22xy

Factores de 2y, 22xy
⇒ 2y = 2 × y
⇒ 22xy = 2 × 11 × x × y
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × y = 2y

(iii) 14pq, 28p ² q ²

Factores de 14pq, 28p ² q ²
⇒ 14pq = 2 × 7 × p × q
⇒ 28p ² q ² = 2 × 2 × 7 × p × p × q × q
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × 7 × p × q = 14pq

(iv) 2x, 3x ² , 4

Factores de 2x, 3x ² , 4
⇒ 2x = 2 × x
⇒ 3x ² = 3 × x × x
⇒ 4 = 2 × 2
Entonces, el factor común es 1 (∵ 1 es un factor de cada número)

(v) 6abc, 24ab ² , 12a ² b

Factores de 6abc, 24ab ² , 12a ² b
⇒ 6abc = 2 × 3 × a × b × c
⇒ 24ab ² = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b
⇒ 12a ² b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × 3 × a × b = 6ab

(vi) 16x ³ , -4x ² , 32x

Factores de 16x ³ , -4x ² , 32x
⇒ 16x ³ = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x
⇒ -4x ² = -1 × 2 × 2 × x × x
⇒ 32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × 2 × x = 4x

(vii) 10pq, 20qr, 30rp

Factores de 10pq, 20qr, 30rp
⇒ 10pq = 2 × 5 × p × q + 
⇒ 20qr = 2 × 2 × 5 × q × r
⇒ 30rp = 2 × 3 × 5 × r × p
Entonces, los factores comunes son
⇒ 2 × 5 = 10

(viii) 3x ² y ³ , 10x ³ y ² , 6x ² y ² z

Factores de 3x ² y ³ , 10x ³ y ² , 6x ² y ² z
⇒ 3x ² y ³ = 3 × x × x × y × y × y
⇒ 10x ³ y ² = 2 × 5 × x × x × x × y × y
⇒ 6x ² y ² z = 2 × 3 × x × x × y × y
Entonces, los factores comunes son
⇒ x × x × y × y = x ² y ²

Pregunta 2: Factoriza las siguientes expresiones.
(i) 7x − 42
(ii) 6p − 12q
(iii) 7a ² + 14a
(iv) − 16z + 20z ³
(v) 20l ² m + 30alm
(vi) 5x ² y − 15xy ²
(vii) 10a ² − 15b ² + 20c ²
(viii) − 4a ² + 4ab − 4ca
(ix) x ² yz + xy ² z + xyz ²
(x) ax ² y + bxy ² + cxyz

Solución: 

(yo) 7x − 42

⇒ 7x = 7 × x
⇒ 42 = 2× 3 × 7
Entonces, el factor común es 7
Por lo tanto, 7x − 42 = 7(x − 6)

(ii) 6p − 12q

⇒ 6p = 2 × 3 × p
⇒ 12q = 2 × 2 × 3 × q
Entonces, los factores comunes son 2 × 3
Por lo tanto, 6p − 12q = 2 × 3[p − (2 × q)]
⇒ 6(p − 2q )

(iii) 7a ² + 14a

⇒ 7a ² = 7 × a × a
⇒ 14a = 2 × 7 × a
Entonces, los factores comunes son 7 × a
Por lo tanto, 7a ² + 14a = 7 × a(a + 2)
⇒ 7a(a + 2)

(iv) −16z + 20z ³ 

⇒ 16z = 2 × 2 × 2 × 2 × z
⇒ 20z ² = 2 × 2 × 5 × z × z × z
Entonces, los factores comunes son 2 × 2 × z
Por lo tanto, −16z + 20z ³ = −(2 × 2 × 2 × 2 × z) + (2 × 2 × 5 × z × z × z)
⇒ 2 × 2 × z[−(2 × 2) + (5 × z × z)
⇒ 4z(−4 + 5z ² )

(v) 20l ^2m + 30alm

⇒ 20l ² m = 2 × 2 × 5 × l × l × m
⇒ 30alm = 2 × 3 × 5 × a × l × m
Entonces, los factores comunes son 2 × 5 × l × m
Por lo tanto, 20l ² m + 30alm = 2 × 5 × l × m[(2 × l) + (3 × a)]
⇒ 10lm(2l + 3a)

(vi) 5x ² y − 15xy ²

⇒ 5x ² y = 5×x×x×y
⇒ 15xy ² = 3×5×x×y×y
Entonces, los factores comunes son 5×x×y
Por lo tanto, 5x ² y − 15xy ² = 5×x×y[ (x) − (3×y)]
⇒ 5xy(x − 3y)

(vii) 10a ² − 15b ² + 20c ²

⇒ 10a ² = 2×5×a×a
⇒ 15b ² = 3×5×b×b
⇒ 20c ² = 2×2×5×c×c
Entonces, el factor común es 5
Por lo tanto, 10a ² − 15b ² +20c ² = 5[(2×a×a) − (3×b×b) + (2×2×c×c)]
⇒ 5(2a ² − 3b ² + 4c ² )

(viii) −4a ² + 4ab − 4ca

⇒ 4a ² = 2×2×a×a
⇒ 4ab = 2×2×a×b
⇒ 4ca = 2×2×c×a
Entonces, los factores comunes son 2×2×a = 4a
Por lo tanto, −4a ² + 4ab − 4ca = 4a(−a + b − c)

(ix) x ² yz + xy ² z + xyz ²

⇒ x ² yz = x×x×y×z
⇒ xy ² z = x×y×y×z
⇒ xyz ² = x×y×z×z
Entonces, los factores comunes son x×y×z = xyz
Por lo tanto, x ² yz + xy ² z + xyz ² = xyz(x +y + z)

(x) ax ² y + bxy ² + cxyz

⇒ ax ² y = a×x×x×y
⇒ bxy ² = b×x×y×y
⇒ cxyz = c×x×y×z
Entonces, los factores comunes son x×y = xy
Por lo tanto, ax ² y + bxy ² + cxyz = xy(ax +by +cz)

Pregunta 3: factorizar.
(i) x ² + xy + 8x + 8y
(ii) 15xy − 6x + 5y − 2
(iii) ax + bx − ay − por
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
(v) z − 7 + 7xy − xyz

Solución: 

(i) x2 + xy ⁺ 8x + 8y 

⇒ x×x + x×y + 8×x + 8×y
Combinando los términos,
⇒ x(x + y) + 8(x + y)
Por lo tanto, los factores son
⇒ (x + y)(x + 8)

(ii) 15xy − 6x + 5y − 2

⇒ 3×5×x×y − 2×3×x + 5×y − 2
Reunir los términos
⇒ 3x(5y − 2) + 1(5y − 2)
Por lo tanto, los factores son
⇒ (5y − 2)(3x + 1)

(iii) ax + bx − ay − por

⇒ a×x + b×x − a×y − b×y
Reunir los términos
⇒ x(a + b) − y(a + b)
Por lo tanto, los factores son
⇒ (a + b)(x − y)

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p

⇒ 3×5×p×q + 3×5 + 3×3×q + 5×5×p Reunir
los términos
⇒ 3q(5p + 3) + 5(5p + 3)
Por lo tanto, los factores son
⇒ (5p + 3)(3q + 5)

(v) z − 7 + 7xy − xyz

⇒ z − 7 + 7×x×y − x×y×z
Reunir los términos
⇒ z(1 − xy) − 7(1 − xy)
Por lo tanto, los factores son
⇒ (1 − xy)(z − 7)