Soluciones NCERT Clase 8 – Capítulo 14 Factorización – Ejercicio 14.2

Pregunta 1:   Factoriza las siguientes expresiones.

(yo) un ² +8a+16

(ii) p ² –10p+25

(iii) 25m ² +30m+9

(iv) 49y ² +84yz+36z ²

(v) 4x ² –8x+4

(vi) 121b ² –88bc+16c ²

(vii) (l+m) ² –4lm 

(Sugerencia: Expanda (l+m) ² primero)

(viii) a ⁴ +2a ² b ² +b ⁴

Solución:

(yo) un ² +8a+16

Respuesta:

Dado: a ² +8a+16         

Como 8a y 16 se pueden sustituir por 2×4×a y 4 ²  respectivamente, obtenemos,

= un ² +2×4×a+4 ²

Por lo tanto, usando la identidad: (x+y) ² = x ² +2xy+y ²

un ² +8a+16 = (a+4) ²

(ii) p ² –10p+25

Respuesta:

Dado: p ² –10p+25          

Como 10p y 25 se pueden sustituir por 2×5×p y 5 ² respectivamente, obtenemos, 

= p ² -2×5×p+5 ²

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

p ² –10p+25 = (p-5) ²

(iii) 25m ² +30m+9

Respuesta:

Dado: 25m ² +30m+9         

Como 25m ² , 30m y 9 pueden ser sustituidos por (5m) ² , 2×5m×3 y 3 ² respectivamente obtenemos,  

= (5m) ² + 2×5m×3 + 3 ²

Por lo tanto, usando la identidad: (x+y) ² = x ² +2xy+y ²

25m2 ⁺ 30m+9 = (5m+3) ²

(iv) 49y ² +84yz+36z ²

Respuesta:

Dado: 49y ² +84yz+36z ²         

Como 49y ² , 84yz y 36z ² pueden ser sustituidos por (7y) ² , 2×7y×6z y (6z) ²  respectivamente obtenemos,

=(7y) ² +2×7y×6z+(6z) ²

Por lo tanto, usando la identidad: (x+y) ² = x ² +2xy+y ²

49y ² +84yz+36z ² = (7y+6z) ²

(v) 4x ² –8x+4

Respuesta:

Dado: 4x ² –8x+4         

Como 4x ² , 8x y 4 se pueden sustituir por (2x) ² , 2×4x y 2 ² respectivamente, obtenemos,

= (2x) ² -2×4x+2 ²

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

4x ² –8x+4 = (2x-2) ²

(vi) 121b ² -88bc+16c ²

Respuesta:

Dado: 121b ² -88bc+16c ²          

Como 121b ² , 88bc y 16c ² pueden sustituirse por (11b) ² , 2×11b×4c y (4c) ² respectivamente obtenemos,

= (11b) ² -2×11b×4c+(4c) ²

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

121b ² -88bc+16c ² = (11b-4c) ²

(vii) (l+m) ² -4lm (Sugerencia: Expanda (l+m) ² primero)

Respuesta:

Dado: (l+m) ² -4lm         

Al expandir (l+m) ² usando identidad: (x+y) ² = x ² +2xy+y ² , obtenemos,

(l+m) ² -4lm = l ² +m ² +2lm-4lm

(l+m) ² -4lm = l ² +m ² -2lm = l ² -2lm+m ² 

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

(l+m) ² -4lm = (lm) ²

(viii) a ⁴ +2a ² b ² +b ⁴

Respuesta:

Dado: a ⁴ +2a ² b ² +b ⁴         

Ya que a ⁴ y b ⁴ pueden ser sustituidos por (a ² ) ² y (b ² ) ² respectivamente obtenemos,

= (a ² ) ² +2×a ² ×b ² +(b ² ) ²

Por lo tanto, usando la identidad: (x+y) ² = x ² +2xy+y ²

a ⁴ +2a ² b ² +b ⁴ = (a ² +b ² ) ²

Pregunta 2: factorizar.

(i) 4p ² –9q ²

(ii) 63a ² –112b ²

(iii) 49x ² –36

(iv) 16x ⁵ –144x ³ 

(v) (l+m) ² -(lm) ²

(vi) 9x ² y ² –16

(vii) (x ² –2xy+y ² )–z ²

(viii) 25a ² –4b ² +28bc–49c ²

Solución:

(i) 4p ² –9q ²

Respuesta: 

Dado: 4p ² –9q ²          

Como 4p ² y 9q ² se pueden sustituir por (2p) ² y (3q) ² respectivamente, obtenemos,

= (2p) ² -(3q) ²

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

4p ² –9q ² = (2p-3q)(2p+3q)

(ii) 63a ² –112b ²

Respuesta:

Dado: 63a ² –112b ²          

63a ² –112b ² = 7(9a ² –16b ² )

Como 9a ² y 16b ² pueden sustituirse por (3a) ² y (4b) ² respectivamente, obtenemos,

= 7((3a) ² –(4b) ² )

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

= 7(3a+4b)(3a-4b)

(iii) 49x ² –36

Respuesta:

Dado: 49x ² –36         

Como 49x ² y 36 se pueden sustituir por (7x) ² y 6 ² respectivamente, obtenemos,

= (7x) ² – 6 ²

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

49x ² –36 = (7x+6)(7x–6)

(iv) 16x ⁵ –144x ³

Respuesta:

Dado: 16x ⁵ – 144x ³        

16x ⁵ – 144x ³ = 16x ³ (x ² –9)

Como 9 se puede sustituir por 3 ²  respectivamente, obtenemos,

= 16x ³ (x ² –3 ² )

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

16x ⁵ –144x ³ = 16x ³ (x–3)(x+3)

(v) (l+m) ² – (lm) ²

Respuesta:

Dado: (l+m) ² – (lm) ²         

Expandiendo (l+m) ² – (lm) ² usando identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos,

= {(l+m)-(l–m)}{(l +m)+(l–m)}

= (l+m–l+m)(l+m+l–m)

= (2m)(2l)

(l+m) ² – (lm) ² = 4 ml

(vi) 9x ² y ² –16

Respuesta:

Dado: 9x ² y ² –16        

Como 9x ² y ² y 16 pueden ser sustituidos por (3xy) ² y 4 ² respectivamente obtenemos,

= (3xy) ² -4 ²

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

9x ² y ² –16 = (3xy–4)(3xy+4)

(vii) (x ² –2xy+y ² )–z ²

Respuesta:

Dado: (x ² –2xy+y ² )–z ²          

Al comprimir x ² –2xy+y ² usando identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ² , obtenemos,

(x ² –2xy+y ² )–z ² = (x–y) ² –z ²

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy)

= {(x–y)–z}{(x–y)+z}

(x ² –2xy+y ² )–z ² = (x–y–z)(x–y+z)

(viii) 25a ² –4b ² +28bc–49c ²

Respuesta:

Dado: 25a ² –4b ² +28bc–49c ²

25a ² –4b ² +28bc–49c ² = 25a ² –(4b ² -28bc+49c ² )  

Dado que 25a ² , 4b ² , 28bc y 49c ² pueden sustituirse por (5a) ² , (2b) ² , 2(2b)(7c) y (7c) ² respectivamente, obtenemos,

= (5a) ² -{(2b) ² -2(2b)(7c)+(7c) ² }

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

= (5a) ² -(2b-7c) ²

y usando Identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

25a ² –4b ² +28bc–49c ² = (5a+2b-7c)(5a-2b+7c)

Pregunta 3: Factoriza las expresiones.

(i) ax ² + bx

(ii) 7p ² +21q ²

(iii) 2x ³ +2xy ² +2xz ²

(iv) am ² +bm ² +bn ² +an ²

(v) (lm+l)+m+1

(vi) y(y+z)+9(y+z)

(vii) 5y ² –20y–8z+2yz

(viii) 10ab+4a+5b+2

(ix)6xy–4y+6–9x

Solución:

(i) ax ² + bx

Respuesta:

Dado: ax ² +bx

Tomando x como común, obtenemos 

ax2 +bx = x(ax+ b ⁾

(ii) 7p ² +21q ² 

Respuesta:

Dado: 7p ² +21q ² 

Tomando 7 como común, obtenemos, 

7p2 ⁺ 21q2 ⁼ 7( ^{p2 +} 3q2 )

(iii) 2x ³ +2xy ² +2xz ² 

Respuesta:

Dado: 2x ³ +2xy ² +2xz ² 

Tomando 2x como común, obtenemos,

2×3 ^{+ 2xy2 +} 2xz2 ⁼ 2x  (x2 + ^{y2 +} z2 )

(iv) am ² +bm ² +bn ² +an ² 

Respuesta:

Dado: am ² +bm ² +bn ² +an ²

Tomando m2 y n2 como comunes, obtenemos,

= metro ² (a+b)+n ² (a+b) 

Tomando (a+b) como común, obtenemos,

am ² +bm ² +bn ² +an ² = (a+b)(m ² +n ² )

(v) (lm+l)+m+1

Respuesta:

Dado: (lm+l)+m+1 

= lm+m+l+1

Tomando m como común, obtenemos,

= m(l+1)+(l+1) 

(lm+l)+m+1 = (m+1)(l+1)

(vi) y(y+z)+9(y+z) 

Respuesta:

Dado: y(y+z)+9(y+z) 

Tomando (y+z) como común, obtenemos,

y(y+z)+9(y+z) = (y+9)(y+z)

(vii) 5y ² –20y–8z+2yz 

Respuesta:

Dado: 5y ² –20y–8z+2yz

Tomando 5y y 2z como comunes, obtenemos,

= 5y(y–4)+2z(y–4) 

Tomando (y-4) como común, obtenemos,

5y ² –20y–8z+2yz = (y–4)(5y+2z)

(viii) 10ab+4a+5b+2 

Respuesta:

Dado: 10ab+4a+5b+2 

Tomando 5b y 2 como comunes, obtenemos,

= 5b(2a+1)+2(2a+1) 

Tomando (2a+1) como común, obtenemos,

10ab+4a+5b+2 = (2a+1)(5b+2)

(ix) 6xy–4y+6–9x 

Respuesta:

Dado: 6xy–4y+6–9x

= 6xy–9x–4y+6

Tomando 3x y 2 como comunes, obtenemos,

= 3x(2y–3)–2(2y–3) 

Tomando (2y-3) como común, obtenemos,

6xy–4y+6–9x = (2y–3)(3x–2)

Pregunta 4: Factorizar.

(i) a ⁴ –b ⁴

(ii) pág. ⁴ –81

(iii) x ⁴ –(y+z) ⁴

(iv) x ⁴ –(x–z) ⁴

(v) a ⁴ –2a ² b ² +b ⁴

Solución:

(i) a ⁴ –b ⁴

Respuesta:

Dado: a ⁴ –b ⁴

Ya que a ⁴ y b ⁴ pueden ser sustituidos por (a ² ) ² y (b ² ) ² respectivamente obtenemos,

= (a ² ) ² – (b ² ) ²

Por lo tanto, usando Identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

= (a ² -b ² ) (a ² +b ² )

a ⁴ –b ⁴ = (a – b)(a + b)(a ² +b ² )

(ii) pág. ⁴ –81

Respuesta:

Dado: p ⁴ –81

Como p ⁴ y 81 se pueden sustituir por (p ² ) ² y (9) ² respectivamente, obtenemos,

= (p ² ) ² -(9) ²

Por lo tanto, usando Identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

= (p ² -9) (p ² + 9)

= (pag ² -3 ² )(pag ² +9)

p ⁴ –81 =(p-3)(p+3)(p ² +9)

(iii) x ⁴ –(y+z) ⁴ 

Respuesta:

Dado: x ⁴ –(y+z) ⁴

Dado que x ⁴ y (y+z) ⁴ pueden sustituirse por (x ² ) ² y [(y+z) ² ] ² respectivamente, obtenemos,

= (x ² ) ² -[(y+z) ² ] ²

Por lo tanto, usando la identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

= {x ² -(y+z) ² }{ x ² +(y+z) ² }

= {(x –(y+z)(x+(y+z)}{x ² +(y+z) ² }

x ⁴ –(y+z) ⁴  = (x–y–z)(x+y+z) {x ² +(y+z) ² }

(iv) x ⁴ –(x–z) ⁴ 

Respuesta:  

Dado: x ⁴ –(x–z) ⁴ 

Como x ⁴ y (xz) ⁴ pueden sustituirse por (x ² ) ² y [(xz) ² ] ² respectivamente, obtenemos,

= (x ² ) ² – {(xz) ² } ²

Usando Identidad: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

= {x ² -(xz) ² }{x ² +(xz) ² }

= {x-(xz)}{x+(xz)} {x ² +(xz) ² }

= z(2x-z)( x ² +x ² -2xz+z ² )

x ⁴ –(x–z) ⁴ = z(2x-z)( 2x ² -2xz+z ² )

(v) a ⁴ –2a ² b ² +b ⁴ 

Respuesta:

Dado: a ⁴ –2a ² b ² +b ⁴

Ya que a ⁴ y b ⁴ pueden ser sustituidos por (a ² ) ² y (b ² ) ² respectivamente obtenemos,

= (a ² ) ² -2a ² b ² +(b ² ) ²

Por lo tanto, usando la identidad: (xy) ² = x ² -2xy+y ²

= (a ² -b ² ) ²

Y usando Identity: x ² -y ² = (x+y)(xy) , obtenemos

a ⁴ –2a ² b ² +b ⁴  = ((a–b)(a+b)) ²

Pregunta 5. Factoriza las siguientes expresiones.

(i) p ² +6p+8

(ii) q ² –10q+21

(iii) p ² +6p–16

Solución:

(i) p ² +6p+8

Respuesta:

Dado: p ² +6p+8 

Como 6p y 8 se pueden sustituir por 2p+4p y 4×2 respectivamente, obtenemos,

= p ² +2p+4p+8

Tomando p y 4 términos comunes, obtenemos

= p(p+2)+4(p+2)

Nuevamente tomando (p+2) como común, obtenemos

= (p+2)(p+4)

p2+6p+8 = ( p +2)(p+4 ⁾

(ii) q ² –10q+21

Respuesta:

Dado: q ² –10q+21

Dado que 10q y 21 pueden sustituirse por (-3q)+(-7q) y (-3)×(-7) respectivamente, obtenemos,

= q ² –3q-7q+21

Tomando q y 7 términos comunes, obtenemos

= q(q–3)–7(q–3)

Nuevamente tomando (q–3) como común, obtenemos

= (q–7)(q–3)

q ² –10q+21 = (q–7)(q–3)

(iii) p ² +6p–16

Respuesta:

Dado: p ² +6p+16

Como 6p y 16 se pueden sustituir por 8p +(-2p) y (-2)×8 respectivamente, obtenemos,

= p ² –2p+8p–16

Tomando p y 8 términos comunes, obtenemos

= p(p–2)+8(p–2)

Nuevamente tomando (p-2) como común, obtenemos

= (p+8)(p–2)

p ² +6p–16 = (p+8)(p–2)