Clase 9 Soluciones NCERT – Capítulo 12 Fórmula de Heron – Ejercicio 12.2

Pregunta 1. Un parque, en forma de cuadrilátero ABCD, tiene ∠ C = 90º, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m y AD = 8 m. ¿Cuánta área ocupa?

Solución:

Dado, un cuadrilátero ABCD donde ∠C = 90º.

Construcción: Unión diagonal BD.

Como podemos ver, △DCB tiene un ángulo recto en C

Por lo tanto, BC es la base y CD es la altura de △DCB, entonces

ar(△DCB) = $\mathbf{\frac{1}{2}}$ × Base × Altura

= $\frac{1}{2}$ × 12 × 5

= 30 m2 ………………………………………(1 ⁾

Como △DCB es un triángulo rectángulo, podemos calcular el tercer lado por el teorema de Pitágoras

BD ² = CB ² + CD ²

DB ² = 12 ² + 5 ²

DB = √(144+25)

BD = √169

BD = 13 m

Ahora, el área de △DAB se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

AB = a = 9 m

AD = b = 8 m

BD = c = 13 m

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{9+8+13}{2}$

s = 15 metros

ar(△DAB) = √s(sa)(sb)(sc)

= √15(15-9)(15-8)(15-13)

= √15×(6)×(7)×(2)

= 6√35 m ² ……………………………………..(2)

De (1) y (2), podemos concluir que,

ar(ABCD) = ar(△DCB)+ar(△DAB)

= (30 + 6√35)

= (30 + 35,5)

≈ 65,5 m ² (aprox.)

Pregunta 2. Encuentra el área de un cuadrilátero ABCD en el que AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm y AC = 5 cm.

Solución:

Aquí, podemos notar que en △ABC

CA ² = AB ² + BC ²

5 ² = 3 ² + 4 ²

25 = 25

LHS = RHS

Como este triángulo satisface el teorema de Pitágoras, por lo tanto, △ABC es un triángulo rectángulo de 90° en B.

Por lo tanto, BC es la base y AB es la altura de △ABC. asi que

Entonces, ar(△ABC) = $\mathbf{\frac{1}{2}}$ × Base × Altura

= $\frac{1}{2}$ × 4 × 3

^{= 6} cm2 ……………………………….(1)

Ahora, el área de △DAC se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

DA = a = 5 cm

CC = b = 4 cm

CA = c = 5 cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(5+4+5)}{2}$

m = 7 cm

ar(△DAC) = √s(sa)(sb)(sc)

= √7(7-5)(7-4)(7-5)

= √7×(2)×(3)×(2)

= 2√21 cm2 ^{……………………………………} ..(2)

De (1) y (2), podemos concluir que,

ar(ABCD) = ar(△ABC)+ar(△DAC)

= (6 + 2√21)

= (6 + 9,2 (aprox.))

≈ 15,2 cm ² (aprox.)

Pregunta 3. Radha hizo una imagen de un avión con papel de colores como se muestra en la (Fig). Encuentre el área total del papel usado.

Solución:

Área total del papel utilizado = (Área I + Área II + Área III + Área IV + Área V)

Área I: Triángulo

Ahora, el área del triángulo se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

= 5cm

b = 5cm

c = 1 cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(5+5+1)}{2}$

m = 5,5 cm

ar(△) = √s(sa)(sb)(sc)

= √5.5(5.5-5)(5.5-5)(5.5-1)

= √5,5×(0,5)×(0,5)×(4,5)

= 0,5×0,5×3√11

= 0.75√11

≈ 2,5 cm2 ^{……………………………………} ..(1)

Área II: Rectángulo

Área del rectángulo = largo × ancho

= 1 × 6,5 = 6,5 cm2 ……………………………….(2 ⁾

Área III: Trapecio = Área del paralelogramo EFAO + △ AFD

DE = 2 cm

AD = OD-OA = 2-1 = 1 cm

Por lo tanto, △ AFD es equilátero.

PD = $\frac{1}{2}$ DA = $\frac{1}{2}$ cm

△ PFD tiene un ángulo recto en P, se aplica el teorema de Pitágoras

1 ² =h ² +( $\frac{1}{2}$ ) ²

h = √(1- $\frac{1}{4}$ )

h = √ $\frac{3}{2}$ cm

Área III:

= (Base × Altura) + ( $\frac{1}{2}$ × Base × Altura)

= (1 × $\frac{√3}{2}$ ) + ( $\frac{1}{2}$ × 1 × $\frac{√3}{2}$ )

= $\frac{√3}{2}×\frac{3}{2}$

= $\mathbf{\frac{3√3}{4}}$ = 1,29 cm2 ……………………………………(3 ⁾

Área IV y V: 2 veces Triángulo

ar(△) = $\mathbf{\frac{1}{2}}$ × Base × Altura

= $\frac{1}{2}$ × 6 × 1,5

= 4,5 ^cm2

Área IV + Área V = 2×ar(△)

= 2×4.5

= 9 cm ² ……………………………………(4)

Por lo tanto, Área total del papel utilizado = (Área I + Área II + Área III + Área IV + Área V)

= (1) + (2) + (3) + (4)

= 2,5 + 6,5 + 1,29 +9

= 19,29 ^cm2

Pregunta 4. Un triángulo y un paralelogramo tienen la misma base y la misma área. Si los lados del triángulo miden 26 cm, 28 cm y 30 cm, y el paralelogramo mide 28 cm sobre la base, encuentra la altura del paralelogramo.

Solución:

Ahora, el área de △AEB se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

AE = a = 28 cm

EB = b = 30 cm

AB = c = 26 cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = (28+30+26)/2

m = 42 cm

ar(△AEB) = √s(sa)(sb)(sc)

= √42(42-28)(42-30)(42-26)

= √42×(14)×(12)×(16)

⁼ 336cm2

Tal como está dado, ar(△AEB) = ar(paralelogramo ABCD)

336 = Base × Altura

336 = 28 × h

h = $\frac{336}{28}$

alto = 12 cm

Por lo tanto, la altura del paralelogramo = 12 cm

Pregunta 5. Un campo en forma de rombo tiene pasto verde para que pacen 18 vacas. Si cada lado del rombo mide 30 m y su diagonal más larga mide 48 m, ¿cuánta área de pasto tendrá cada vaca?

Solución:

ABCD es un rombo que tiene una diagonal AC = 48 cm

lado AB=BC=CD=AD=30 cm

La diagonal del rombo divide el área en dos partes iguales.

Ahora, ar(△ABC) se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

AB = a = 30 m

BC = b = 30 m

CA = c = 48 m

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(30+30+48)}{2}$

s = 54 metros

ar(△ABC) = √s(sa)(sb)(sc)

= √54(54-30)(54-30)(54-48)

= √54×(24)×(24)×(6)

= 432 m ²

Por lo tanto, Área del rombo = 2 × (ar(△))

= 2 × 432 = 864 m ²

Área para 18 vacas = 864 m ²

Área por cada vaca = 864 / 18 = 48 m ²

Pregunta 6. Se hace un paraguas cosiendo 10 piezas triangulares de tela de dos colores diferentes (ver Fig. 12.16), cada pieza mide 20 cm, 50 cm y 50 cm. ¿Cuánta tela de cada color se requiere para el paraguas?

Solución:

Consideremos para cada triángulo.

Ahora, para cada ar(△)puede calcularse mediante la fórmula de Heron, donde

= 50cm

b = 50 cm

c = 20 cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(50+50+20)}{2}$

m = 60 cm

ar(△) = √s(sa)(sb)(sc)

= √60(60-50)(60-50)(60-20)

= √60×(10)×(10)×(40)

⁼ 200√6cm2

Por lo tanto, el Área total = 5×200√6

⁼ 1000√6cm2

Pregunta 7. Una cometa en forma de cuadrado con una diagonal de 32 cm y un triángulo isósceles de base 8 cm y lados de 6 cm cada uno debe estar hecha de tres tonos diferentes como se muestra en la figura. ¿Cuánto papel de cada tono se ha usado? usado en eso?

Solución:

Como el área de la cometa está en el cuadrado, su área será

Área de la cometa = $\mathbf{\frac{1}{2}}$ ×(diagonal) ²

= $\frac{1}{2}$ ×32×32

= 512 cm ²

La diagonal divide el área en áreas iguales.

Área de la cometa = Área I + Área II

512 = 2 × Área I

Área I = Área II = 256 cm ² ……………………………..(1)

Área III: Área del triángulo

Ahora, para cada ar(△)puede calcularse mediante la fórmula de Heron, donde

a = 6cm

b = 6cm

c = 8cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(6+6+8)}{2}$

m = 10 cm

ar(△) = √s(sa)(sb)(sc)

= √10(10-6)(10-6)(10-8)

= √10×(4)×(4)×(2)

= 8√5 cm2 ^{……………………………………} (2)

Pregunta 8. Un diseño floral en un piso se compone de 16 mosaicos que son triangulares, los lados del triángulo son de 9 cm, 28 cm y 35 cm (ver Fig). Encuentre el costo de pulir las baldosas a razón de 50 peniques por cm ² .

Solución:

El área de cada triángulo será:

Ahora, para cada ar(△)puede calcularse mediante la fórmula de Heron, donde

a = 9cm

b = 28 cm

c = 35cm

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(9+28+35)}{2}$

m = 36 cm

ar(△) = √s(sa)(sb)(sc)

= √36(36-9)(36-28)(36-35)

= √36×(27)×(8)×(1)

⁼ 36√6cm2

Como hay 16 mosaicos, el área total = 16 × 36√6

= 1410,906 ^cm2

Como 1 cm ² = 50 p = ₹ 0,5

1410,906 cm2 ⁼ ₹ 0,5 × 1410,906

= $705.45

Pregunta 9. Un campo tiene forma de trapecio cuyos lados paralelos miden 25 my 10 m. Los lados no paralelos miden 14 m y 13 m. Encuentra el área del campo.

Solución:

AB = 25m

EB = AB-AE = 25-10 = 15 m

Ahora, para ar(△ECB) se puede calcular mediante la fórmula de Heron, donde

a = 13 metros

b = 14 metros

c = 15 metros

Semiperímetro(s) = $\mathbf{\frac{a+b+c}{2}}$

s = $\frac{(13+14+15)}{2}$

s = 21 metros

ar(△BCE) = √s(sa)(sb)(sc)

= √21(21-3)(21-14)(21-15)

= √21×(18)×(7)×(6)

= 84 m ² ………………………….(1)

ar(△ECB) = $\mathbf{\frac{1}{2}}$ × Base × Altura

84 m ² = $\frac{1}{2}$ × 15 × altura

h = $\frac{(84 × 2)}{15}$ metro

h = 11,2 metros

Área total = Área del paralelogramo AECD + ar(△ECB)

= (Base × Altura) + 84m ²

= 10 × 11,2 + 84

Área Total = 196 m ²

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. Un parque, en forma de cuadrilátero ABCD, tiene ∠ C = 90º, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m y AD = 8 m. ¿Cuánta área ocupa?

Pregunta 2. Encuentra el área de un cuadrilátero ABCD en el que AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm y AC = 5 cm.

Pregunta 3. Radha hizo una imagen de un avión con papel de colores como se muestra en la (Fig). Encuentre el área total del papel usado.

Pregunta 4. Un triángulo y un paralelogramo tienen la misma base y la misma área. Si los lados del triángulo miden 26 cm, 28 cm y 30 cm, y el paralelogramo mide 28 cm sobre la base, encuentra la altura del paralelogramo.

Pregunta 5. Un campo en forma de rombo tiene pasto verde para que pacen 18 vacas. Si cada lado del rombo mide 30 m y su diagonal más larga mide 48 m, ¿cuánta área de pasto tendrá cada vaca?

Pregunta 6. Se hace un paraguas cosiendo 10 piezas triangulares de tela de dos colores diferentes (ver Fig. 12.16), cada pieza mide 20 cm, 50 cm y 50 cm. ¿Cuánta tela de cada color se requiere para el paraguas?

Pregunta 7. Una cometa en forma de cuadrado con una diagonal de 32 cm y un triángulo isósceles de base 8 cm y lados de 6 cm cada uno debe estar hecha de tres tonos diferentes como se muestra en la figura. ¿Cuánto papel de cada tono se ha usado? usado en eso?

Pregunta 8. Un diseño floral en un piso se compone de 16 mosaicos que son triangulares, los lados del triángulo son de 9 cm, 28 cm y 35 cm (ver Fig). Encuentre el costo de pulir las baldosas a razón de 50 peniques por cm 2 .

Pregunta 9. Un campo tiene forma de trapecio cuyos lados paralelos miden 25 my 10 m. Los lados no paralelos miden 14 m y 13 m. Encuentra el área del campo.

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Pregunta 8. Un diseño floral en un piso se compone de 16 mosaicos que son triangulares, los lados del triángulo son de 9 cm, 28 cm y 35 cm (ver Fig). Encuentre el costo de pulir las baldosas a razón de 50 peniques por cm ² .