Soluciones NCERT Clase 9 – Capítulo 2 Polinomios – Ejercicio 2.4

Pregunta 1. Determina cuál de los siguientes polinomios tiene (x + 1) como factor:

(yo) x ³ + x ² + x + 1

Solución:

p(x) = x3 ⁺ x2 + x ⁺ 1 

Sea x+1 el factor de p(x)
Entonces x = -1 será el cero de p(x) el
valor de p(-1) debería ser 0
Verificando,
=> p(-1) = (-1) ³ + (-1) ² + (-1) + 1
=> -1 + 1 -1 + 1
=> 0
Como p(-1)=0 entonces (x + 1) es un factor de p(x). 

(ii) x4 +x3 +x2 ⁺ x ^{+ 1}

Solución:

p(x) = x ⁴ +x ³ +x ² +x+1
Sea x+1 el factor de p(x)
Entonces x = -1 será el cero de p(x)
valor de p(-1) debe ser 0
Comprobación,
=> p(-1) = (-1) ⁴ + (-1) ³ + (-1) ² + (-1) + 1
=> – 1 + 1 – 1 + 1 -1
= > -1
=> -1 ≠ 0
Como p(-1) ≠ 0 entonces (x + 1) no es factor de p(x).

(iii) x4 +3×3 ⁺ 3×2 ⁺ x+   ¹

Solución:

p(x) = x ⁴ +3x ³ +3x ² +x+1  
Sea x+1 el factor de p(x)
Entonces x = -1 será el cero de p(x)
valor de p(-1) debe ser 0
Comprobación,
=> p(-1) = (-1) ⁴ + 3(-1) ³ + 3(-1) ² + (-1) + 1
=> 1 – 3 + 3 – 1 + 1
=> -1
=> -1 ≠ 0
Como p(-1) ≠ 0 entonces (x + 1) no es factor de p(x).

(iv) x3 ^– x2 – ( ² +√2)x +√2

Solución:

p(x) = x ³ – x ² – (2+√2)x +√2
Sea x+1 el factor de p(x)
Entonces x = -1 será el cero de p(x)
valor de p (-1) debería ser 0
Comprobación,
=> p(-1) = (-1) ³ – (-1) ² – (2+√2)(-1) +√2
=> -1 – 1 + 2 + √2 + √2
=> 2√2
=> 2√2 ≠ 0
Como p(-1) ≠ 0 entonces (x + 1) no es factor de p(x).

Pregunta 2. Use el teorema del factor para determinar si g(x) es un factor de p(x) en cada uno de los siguientes casos:

(i) p(x) = 2x ³ +x ² –2x–1, g(x) = x+1

Solución:

p(x) = 2x ³ +x ² – 2x–1
g(x) = x + 1 
Por el teorema del factor sabemos que si x + 1 es un factor de p(x)
Entonces el valor de p(-1) debe ser 0
Comprobación,
=> p(-1) = 2(-1) ³ + (-1) ² – 2(-1) -1
=> -2 + 1 + 2 – 1
=> 0
Como p(-1) = 0 por lo tanto (x + 1) es un factor de 2x ³ + x ² – 2x – 1 

(ii) p(x) = x ³ +3x ² +3x+1, g(x) = x+2

Solución:

p(x) = x ³ +3x ² +3x+1  
g(x) = x + 2
Por el teorema del factor sabemos que si x + 2 es un factor de p(x)
entonces el valor de p(-2) debe ser 0
Comprobación,
=> p(-2) = (-2) ³ + 3(-2) ² + 3(-2) +1
=> -8 + 12 – 6 + 1
=> -1
=> -1 ≠ 0
Como p(-2) ≠ 0 entonces (x + 2) no es factor de x ³ + 3x ² +3x + 1

(iii) p(x)=x ³ – 4x ² +x+6, g(x) = x – 3

Solución:

p(x) = x ³ – 4x ² +x+6  
g(x) = x – 3
Por el teorema del factor sabemos que si x – 3 es un factor de p(x)
entonces el valor de p(3) debería ser 0
Comprobando,
=> p(3) = (3) ³ – 4(3) ² + 3 + 6
=> 27 – 36 + 3 + 6
=> 0
Como p(3)=0 entonces (x – 3) es un factor de p(x).

Pregunta 3. Encuentra el valor de k, si x–1 es un factor de p(x) en cada uno de los siguientes casos:

(i) p(x) = x2 +x ⁺ k

Solución:

p(x) = x ² + x + k 
Por el teorema del factor,
como x-1 es un factor de p(x)
entonces x = 1 es el cero de p(x)
Por lo tanto p(1) = 0
=> p( 1) = (1) ² + 1 + k
=> 1 + 1 + k = 0
=> 2 + k = 0
=> k = -2

(ii) p(x) = 2x ² +kx+√2

Solución:

p(x) = 2x ² + kx + √2
Por el teorema del factor,
como x-1 es un factor de p(x)
entonces x = 1 es el cero de p(x)
Por lo tanto p(1) = 0
=> p (1) = 2(1) ² + k(1) + √2
=> 2 + k + √2 = 0
=> 2 + √2 + k = 0
=> k = – (2 + √2) 

(iii) p(x) = kx ² –√2x+1

Solución:

p(x) = kx ² – √2x + 1
Por el teorema del factor,
como x-1 es un factor de p(x)
entonces x = 1 es el cero de p(x)
Por lo tanto p(1) = 0
=> p (1) = k(1) ² – √2(1) + 1
=> k – √2 + 1 = 0
=> k = √2 – 1

(iv) p(x) = kx ² –3x+k

Solución:

p(x) = kx ² -3x + k
Por el teorema del factor,
como x-1 es un factor de p(x)
Entonces x = 1 es el cero de p(x)
Por lo tanto, p(1) = 0
=> p (1) = k(1) ² – 3(1) + k
=> k – 3 + k = 0
=> 2k – 3 = 0
=> k = 3/2

Pregunta 4. Factoriza:

(yo) 12x ² –7x+1

Solución:

p(x) = 12x ² – 7x + 1
Usando el método de dividir el término medio,
necesitamos encontrar un par de números cuya suma sea -7x
y el producto sea 12x ²
-7x se puede escribir como la suma de -3x y -4x
12x ² se puede escribir como el producto de -3x y -4x
=> 12x ² – 7x + 1
=> 12x ² -3x -4x +1
=> 3x(4x -1) -1(4x -1)
=> ( 3x – 1)(4x – 1) son los factores de 12x ² – 7x + 1

(ii) 2x ² +7x+3

Solución:

p(x) = 2x ² + 7x + 3
Usando el método de dividir el término medio,
necesitamos encontrar un par de números cuya suma sea 7x
y el producto sea 6x ²
7x puede escribirse como la suma de 1x y 6x
6x ² puede ser escrito como el producto de 1x y 6x
=> 2x ² + 7x + 3
=> 2x ² + 1x + 6x + 3
=> 2x(x + 3) + 1(x + 3)
=> (2x + 1)(x + 3) son los factores de 2x ² + 7x + 3

(iii) 6x ² +5x-6

Solución:

p(x) = 6x ² + 5x – 6
Usando el método de dividir el término medio,
necesitamos encontrar un par de números cuya suma sea 5x
y el producto sea -36x ²
5x se puede escribir como la suma de 9x y -4x
-36x ² se puede escribir como el producto de 9x y -4x
=> 6x ² + 5x – 6
=> 6x ² + 9x – 4x – 6
=> 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
=> (3x – 2)(2x + 3) son los factores de 6x ² + 5x – 6

(iv) 3x ² –x–4

Solución:

p(x) = 3x ² – x – 4
Usando el método de dividir el término medio,
necesitamos encontrar un par de números cuya suma sea -x
y el producto sea -12x ²
-x puede escribirse como la suma de -4x y 3x
-12x ² se puede escribir como el producto de -4x y 3x
=> 3x ² – x – 4
=> 3x ² – 4x + 3x – 4
=> 3x(x + 1) – 4(x + 1)
=> ( 3x – 4)(x + 1) son los factores de 3x ² – x – 4

Pregunta 5. Factoriza:

(i) x ³ –2x ² –x+2

Solución:

p(x) = x ³ – 2x ² – x + 2
Los factores de 2 son ±1 y ± 2 
Usando el método Hit and Trial
p(1) = (1) ³ – 2(1) ² – (1) + 2
p (1) = 1 – 2 – 1 + 2
p(1) = 0
Por lo tanto, (x – 1) es un factor de x ³ – 2x ² – x + 2
Realizando una división larga:

Dividendo = Divisor × Cociente + Resto
=>p(x) = (x – 1)(x ² – x – 2)
=> resolver (x ² – x -2) 
=> usando el método de dividir el término medio
=> x ² – 2x + x – 2
=> x(x – 2) + 1(x – 2)
=> (x + 1)(x – 2)
=> (x – 1)(x + 1)(x – 2) son los factores de p(x)

(ii) x ³ –3x ² –9x–5

Solución:

p(x) = x ³ –3x ² –9x–5
Los factores de -5 son ±1 y ± 5
Usando el método Hit and Trial
sea x = 1
p(1) = (1) ³ – 3(1) ² – 9 (1) – 5
p(1) = 1 – 3 – 9 -5
p(1) = -16
p(1) ≠ 0
sea x = -1
p(-1) = (-1) ³ – 3(- 1) ² – 9(-1) – 5
p(-1) = -1 – 3 + 9 – 5
p(-1) = -9 + 9
p(-1) = 0
Por lo tanto, (x + 1) es un factor de p(x)
Realización de división larga:

Dividendo = Divisor × Cociente + Resto
=>p(x) = (x + 1)(x ² – 4x – 5)
=> resolver (x ² – 4x – 5)
=> usando el método de dividir el término medio
=> x ² -5x + x – 5
=> x(x – 5) + 1(x – 5)
=> (x + 1)(x – 5)
=> (x + 1)(x + 1)(x – 5) son los factores de p(x)

(iii) x ³ +13x ² +32x+20

Solución:

p(x) = x ³ +13x ² +32x+20
=> Los factores de 20 son ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 y ±20
Usando el método Hit and Trial
sea x = 1
p(1) = (1) ³ + 13(1) ² + 32(1) + 20
p(1) = 1 + 13 + 32 + 20
p(1) = 66
p(1) ≠ 0
sea x = -1
p(- 1) = (-1) ³ + 13(-1) ² + 32(-1) + 20
p(-1) = -1 + 13 – 32 + 20
p(-1) = -33 + 33
p(- 1) = 0
Por lo tanto, (x + 1) es un factor de p(x)
Realizando una división larga:

Dividendo = Divisor × Cociente + Resto
=> p(x) = (x + 1)(x ² + 12x + 20)
=> resolver x ² + 12x + 20
=> usando el método de dividir el término medio
=> x ² + 10x + 2x + 20
=> x(x + 10) + 2(x + 10)
=> (x + 2)(x + 10) son los factores de x ² + 12x + 20
=> (x + 1)(x + 2)(x + 10) son los factores de p(x) 

(iv) 2y ³ +y ² –2y–1

Solución:

p(y) = 2y ³ +y ² –2y–1
=> Los factores de -1 son ±1
Usando el método Hit and Trial
sea x = 1
p(1) = 2(1) ³ + (1) ² – 2( 1) – 1
p(1) = 2 + 1 -2 – 1
p(1) = 0
Por lo tanto, (y – 1) es un factor de p(y)
Realizando una división larga:

Dividendo = Divisor × Cociente + Resto
=> p(y) = (y – 1)(2y ² + 3y + 1) 
=> resolver 2y ² + 3y +1
=> usando el método de dividir el término medio
=> 2y ² + 2y +y +1
=> 2y(y + 1)+1(2y + 1)
=>(2y + 1)(2y + 1) son los factores de 2y ² + 3y + 1
=> (y – 1)(2y + 1)(2y + 1) son los factores de p(y)