Pregunta 1. El paralelogramo ABCD y el rectángulo ABEF están en la misma base AB y tienen áreas iguales. Demuestre que el perímetro del paralelogramo es mayor que el del rectángulo.
Solución:
Dado: ||gm ABCD y el rectángulo ABEF se encuentran en la misma base AB.
ar(ABCD)=a(ABEF)
probar: Perímetro de ||gm ABCD> perímetro del rectángulo ABEF
AB+BC+CD+DA>AB+BE+EF+FA
Prueba:
AB=CD —-[los lados opuestos de ||gm y el rectángulo son iguales]
AB=EF —-[los lados opuestos de ||gm y el rectángulo son iguales]
→CD=EF
Sumando AB a ambos lados
CD+AB=EF+AB ———1
Aquí BC>BF ———[la hipotenusa siempre es mayor que los otros lados]
AD>AF ———[la hipotenusa siempre es mayor que los otros lados]
Agregándolos:
BC+AD>BE+AF —————2
sumando 1 y 2
CD+AB+BC+AD > EF+AB+BE+AF
BC+AD>BE+AF
Pregunta 2. En la Fig., D y E son dos puntos en BC tales que BD = DE = EC. Demuestre que ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC).
Solución:
Dado: En ∆ABC,D y F son dos puntos en BC tales que BD=DE=EC
Probar:
Construcción: Dibujar AM ⊥ BC
ar.(ABD)=1/2BD*AM ———1
ar.(ADE)=1/2*DE*AM
=1/2*BD*AM ——-2
Ar.(AEC)=1/2*EC*MA
=1/2*BD*AM ————3
De 1, 2 y 3
ar.(ABD)=ar.(ADE)=ar.(AEC)
Pregunta 3. En la figura, ABCD, DCFE y ABFE son paralelogramos. Demostrar que ar (ADE) = ar (BCF)
Solución:
Dado: ||gm ABCD, DCFE y ABFE
Para probar: ar.(ADE)=ar.(BCF)
Prueba: En ∆ADE y ∆BCF
AD = BC ——[lados opuestos de ||gm ABCD]
DE = CF ——[lados opuestos de ||gm DCFE]
AE = BF ——[lados opuestos de ||gm ABFE]
∴∆ADE ≅ ∆BCF (congruencia SSS)
→ar.(ADE) = ar.(BCF) ——-[triángulos congruentes tienen igual área]
Pregunta 4. En la figura, ABCD es un paralelogramo y BC se produce hasta un punto Q tal que AD = CQ. Si AQ corta a DC en P, demuestre que ar (BPC) = ar (DPQ). [Sugerencia: Únase a AC.]
Solución:
Dado: En la fig. ABCD es un ||gm AD=CQ
Para probar: ar.(BPC)=ar.()
Construcción: Ingreso AC.
Prueba: ACQD será ||gm (∴AD=CQ, AD ||gm CQ)
En ∆APC y ∆QPD
AC=QD [lados opuestos de ||gm]
∠ 3=∠ 4 [ángulos interiores de altura]
∴∆APC≅∆QPD [congruencia ASA]
→ar.(APC)=ar.(BPC) [porque ambos se encuentran en la misma PC base y entre las mismas ||líneas PC y AB]
De 1 y 2
ar.(BPC)=ar.(DPQ)
Pregunta 5. En la figura, ABC y BDE son dos triángulos equiláteros tales que D es el punto medio de BC. Si AE interseca a BC en F, demuestre que
(i) ar (BDE) = 14 ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = 12 ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = 18 ar (AFC)
[Sugerencia: Únase a EC y AD. Demuestra que SER || CA y DE || AB, etc]
Solución:
i) Dado: ABC y BDE son triángulos equiláteros D es el punto medio de BC, es decir, BD=DC
Probar:
Prueba: Sea AB=x=AC=BC
Entonces BD=x/2=BE=DE
ar.(ABC)=√3/4×2
ar.(BDE)=√3/4*(2/2)2
=√3/4*x2/4
=1/4*√3/4*x2
ar.(BDE)=1/4 ar.(ABC)
ii) probar; ar.(BDE)=1/2 ar.(BAE)
Construcción: Únase a la CE
ED es la mediana de ∆BFC
ar.(BDE)=1/2 ar.(BEC) ———–1
∠1=∠2=60° [ángulos interiores de altitud]
→BE||AC
AR.(BEC)=ar.(BEA) ————2[ambos están en la misma base BE y AC entre las mismas||líneas BE y AC]
tomando 1
ar.(BDE)=1/2 ar.(BAE) [de 2]
iii) Demostrar: ar.(ABC)=2ar.(BEC)
de mi
ar.(BDE)=1/4 ar.(ABC)
de ii
ar.(BDE)=1/2 ar.(BAE)
De I y II
¼ ar(ABC)=1/2ar.(BAE)
Ar.(ABC)=1/24 ar.(BAE)
=2ar.(BAE)
Ar.(ABC)=2ar.(BFC) [ar.(BAE)=ar.(BEC) de ii]
iv) Mostrar ar (BFE) = ar (AFD)
Construcción: Únase a AD.
Prueba: ∠3= ∠4=60° ——–[ángulos de triángulos equiláteros]
También son ángulo interior alterno
∴AE||ED
ar(EDB)=ar(EDA) ——-[ambos se encuentran en la misma base ED y entre el mismo || líneas ED y AB]
Restar ar(EDF) de ambos lados
ar(EDB)-ar(EDF)=ar.(EDF)-ar.(EDF)
v) Para mostrar :ar.(BFE)=2ar.(FED)
Solución: En ∆ADB
AD 2 = AB 2 + BD 2
=x 2 -(x/2) 2
=x 2 -(x 2 /4)
=3x 2 /4
DA=√3x 2 /4
=√3x/4
ar.(AFD)=1/2*ED*AD
=1/2*ED*(√3X)/2 ————-1
Construcción: Dibujar EL⊥ BD
→el ángulo es el punto medio de BD
en ∆ELD
EL 2 =ED 2 -LD 2
=(x/2) 2 -(x/4) 2
=x 2 /4-x 2 /16
=4x 2 -x 2 /16
=3x 2 /16
EL= √3 /10X2
=√3/4x
en ∆ADB
ar(FED)=1/2*FD*EL
=1/2*FD*√3/4 x
=1/2*FD*√3/xx *1/2
ar.(FED)=ar.(AFD)
2ar.(FED)=ar.(BFE) ——–[en la parte (iv) demostramos ar(AFD=ar.(BFE)]
(vi) ar.(FED=1/8ar.(AFC))
Solución: ar(BDE)=1/4ar.(ABC)
ar.(BFE)+ar.(FED)=1/4ar.2*(ADC)
2ar.(FED)+ar(FED)=1/2ar.(AFC-1/2ar.(AFD))
3ar.(FED)=1/2ar.(AFC-AFD)
3ar.(FED)=1/2ar(AFC)-1/2ar.(AED)
3ar.(FED)=1/2ar.(AFC)-1/2 ar.*2(FED) ————[DE (iv) y (v)]
3ar(FED)=1/2 ar.(AFC)-ar.(FED)
3ar.(FED)+ar.(FED)=1/2ar.(AFC)
4ar.(FED)=1/2ar.(AFC)
ar.(FED)=1/2*4 ar.(AFC)
ar.(FED)=1/8 ar.(AFC)
Pregunta 6. Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero ABCD se intersecan en P. Demuestre que ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC). [Sugerencia: De A y C, dibuje ⊥s a BD.]
Solución:
Dado: ABCD es un cuadrilátero. Las diagonales AC y BD se cortan en P.
Para mostrar: ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC)
Construcción: Dibujar AM ⊥BD &CN ⊥BD
LHS ar.(APB)*(LPD)
½*PB*AM*1/2*DP*CN ————-1
¼*PB*AM*DP*LN
RHS ar.(APD)*ar.(BPC)
½*DP*AM*1/2*BP*CN
¼*DP*AM*BP*CN
¼*PB*AM*DP*CN ————-2
De 1 y 2
IZQ=DERECHA
∴ar.(APB)*ar.(CPD)=ar.(APD)*ar.(BPC)
Pregunta 7. P y Q son respectivamente los puntos medios de los lados AB y BC de un triángulo ABC y R es el punto medio de AP, demuestre que
(i) ar (PRQ) = 12 ar (ARC)
(ii) ar (RQC) = 38 ar (ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
Solución:
i) Dado: En ∆ABC, P es el punto medio de AB, Q es el punto medio de BC, R es el punto medio de AP
Para mostrar: ar (PRQ) = 12 ar (ARC)
Construcción: Une AQ y PC
Solución: ar.(APQ) ———[∴QR es la mediana de ∆APQ]
=½*1/2ar.(ABQ) ———[∴QP es la mediana de ∆ABQ]
=1/2*1/2*1/2ar.(ABC) ———[∴AQ es la mediana de ∆ABC]
=1/8ar.(ABC) ———-1
ar.(ARC)=1/2(APC) ——–[∴CR es la mediana de ∆APC]
=1/2*1/2ar.(ABC) ———-[∴CP es la mediana de ∆ABC]
=1/4ar.(ABC) ————2
tomando 1
ar.(PRQ)=1/8ar.(ABC)
=1/2*1/4ar.(ABC) ———-[de 2]
ii) ar.(RQC)=3/8ar.(ABC)
solución: ar(ABC)+ar.(ARQ)-ar(ARC) ——-1
ar(AQC)=1/2(ABC) [∴AQ es la mediana de ∆ABC]
ar.(ABC)=1/2ar.(APQ) [∴QR es la mediana de ∆APQ]
=1/2ar.(ABQ) [∴QP es la mediana de ∆ABQ]
=1/2*1/2*1/2ar.(ABC) [∴AQ es la mediana de ∆ABC]
=1/8ar.(ABC)
ar.(ARC)=1/2ar.(APC) [∴CR es la mediana de ∆APC]
=1/2ar.(ABC) [∴CP es la mediana de ∆ABC]
ar.(RQC)=ar.(AQC)+ar.(ARQ)+ar.(ARC)
=1/2ar.(ABC)+1/8ar.(ABC)-1/4ar.(ABC)
=(1/2+1/8-1/4)ar.(ABC)
=(4+1-2/8)ar.(ABC)
=(5-2/8)ar.(ABC)
=3/8ar.(ABC)
iii) Para mostrar: ar.(PBQ)=ar.(ARC)
ar(PBQ)=1/2ar.(ABQ) [∴∆ABQ , QP es mediana]
=1/2*1/2ar.(ABC) [∴∆ABC , AQ es la mediana]
=1/4ar.(ABC) ———1
ar.(ARC)=1/2ar.(APC) [∴∆APC , CR es mediana]
=1/2*1/2ar.(ABC) [∴∆ABC, CP es la mediana]
=1/4ar.(ABC) ——–2
Formulario I y 2
ar.(PBQ)=ar.(ARC)
Pregunta 8. En la figura 9.34, ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A. BCED, ACFG y ABMN son cuadrados en los lados BC, CA y AB respectivamente. El segmento de línea AX⊥DE se encuentra con BC en Y.
Muestra esa:
∆MBC ≅∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)(iv)∆FCB ≅∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi)ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
Nota: El resultado (vii) es el famoso Teorema de Pitágoras. Aprenderás una demostración más simple de este teorema en la Clase X.
Solución:
Dado: ∆ABC, en ángulo recto en A. BCED,ACFG,ABMN son cuadrados en Y.
i). para probar: ∆MBC ≅∆ABD
solución : En ∆MBC y ∆ABD
MB=AB [∴ABMN es un cuadrado]
BC=BD [∴BCED es un cuadrado]
∠MBC=∠ABD [∠MBA=∠CBO=90°
∠MBA= +∠CDB+∠ABC
∴∠MBC=∠ABD]
∆MBC≅∆ABD [regla de congruencia SAS]
ii) Para mostrar: ar.(BYXD)=2ar.(MBC)
ar.(ABD)=1/2ar.(BYXD) [Ambos en la misma base BD y entre los mismos || líneas BD y AX]
ar.(MBC)=1/2ar.(BYXD) [en (i) ∆MBC≅∆ABD ∴ar.(MBC)=ar.(ABD) ]
2ar.(ABC)=ar.(BYXD)
ar.(MBC)=1/2ar.(ABMN)[ ∆MBC y ||gm ABMN se encuentran en el mismo MB base y entre los mismos || líneas MB y NC.]
2ar.(MBC)=ar.(ABMN) ————–1
También,
2ar.(MBC)=ar.(BYXD) [de ii] —————2
De 1 y 2
ar.(BYXD)-ar.(ABMN)
(iv) Para mostrar: ∆FCB≅∆ACE
En ∆FCB y ∆ACE
FC=AC [lados del cuadrado ACFG]
BC=CE [lados del cuadrado BCED]
∠FCB=∠ACE [∠ACE=∠BCE=90°
∠ACF+∠ACB=∠BCE+∠ACB
∴∠FCB=∠ACE]
∴∆FCB≅∆ACE [por congruencia SAS]
(v) Para mostrar: ar.(YXE)=2ar.(FCB)
ar.(ACE)=1/2ar.(CYXE) [∆ ACE y ||gm CYXE ambos se encuentran en la misma base CE y entre los mismos|| líneas CE y AX]
Arkansas. (FCB)=1/2(CYXE) [en (iv) ∆FCB≅∆ACE ∴ar.(FCB=ar.(ACE)]
2ar.(FCB)=ar.(CYXE)
(vi) Para mostrar: ar.(CYXE)=ar.(ACFG)[∆FCB y ||gm ACEFG ambos se encuentran en la misma base CF y BG Entre CF y BG]
2 ar.(FCB)=ar.(ACFG) ———1
2ar.(FCB)=ar.(CYXE)
De 1 y 2
ar.(CYXE)=ar.(ACFG)
ar.(ABMN)+ar.(ACEFG)
ar.(BYXD)=ar.(ABMN) [formulario (iii)] ———1
ar.(CYXE)=ar.(ACFG) [De (iv)] ———–2
sumando 1 y 2
ar.(BYXD)+ar. (CYXE)=ar.(ABMN)+ar.(ACEFG)
(vii) ar.(ABMN)+ar.(ACEFG)
ar.(BYXD)=ar.(ABMN) [formulario (iii)] ———1
ar.(CYXE)=ar.(ACFG) [De (iv)] ———–2
sumando 1 y 2
ar.(BYXD)+ar(CYXE)=ar.(ABMN)+ar.(ACEFG)
ar.(BCED)=ar.(ABMN)+ar.(ACFG)
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Artículo escrito por ysachin2314 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA