Teorema – La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180° | Clase 9 Matemáticas

En geometría euclidiana, un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en un solo círculo. Este círculo se llama circuncírculo o círculo circunscrito, y se dice que los vértices son concíclicos. El centro del círculo y su radio se llaman circuncentro y circunradio respectivamente. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal, este último ya que los lados del cuadrilátero son cuerdas del circuncírculo.

Declaración del teorema: La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180°. 

Entonces, de acuerdo con el enunciado del teorema, en la siguiente figura, tenemos que probar que

∠MALO + ∠BCD = 180 o

∠ABC+ ∠ADC = 180 o

Prueba:

Dado:

Un cuadrilátero cíclico ABCD donde O es el centro de un círculo.

Construcción:

Unir el segmento de línea OB y ​​OD

Ya que, El ángulo subtendido por un arco en el centro es el doble del ángulo en el círculo.

Por lo tanto,

∠BAD = 1/2 (∠BOD) – ecuación 1

Similarmente,

∠BCD = 1/2 (reflejo de ∠BOD) – ecuación 2

Sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos

∠BAD + ∠BCD = 1/2 (∠BOD + reflejo de ∠BOD)

∠BAD + ∠BCD = 1/2 ( 360 o ) {Ya que , ∠BOD + reflejo de ∠BOD forman un ángulo completo, es decir, 360 grados}

∠MALO + ∠BCD = 180 o

Similarmente,

∠ABC+ ∠ADC = 180 o

Por lo tanto, se demostró que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180° 

Ejemplos de problemas sobre el teorema dado

Pregunta 1: En la figura que se muestra a continuación, ABCD es un cuadrilátero cíclico en el que ∠CBA = 91,64° y ∠DAB = 102,51° ¿Encuentra ∠ADC y ∠DCB?

Solución:

Aplicando el teorema, 

La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180° 

Obtenemos,

∠ADC+ ∠ABC = 180 o

∠CAD + 91,64 o =180 o

∠ADC =180 o – 91,64 o = 88,36 grados

Y,

∠DCB + ∠BAD =180 o

∠DCB + 102,51 o = 180 o

∠DCB = 180 o – 102,51 o

∠DCB = 77.49 o

Por lo tanto ∠ADC = 88.36 o y ∠DCB = 77.49 o

Pregunta 2: En la figura que se muestra a continuación, ABCD es un cuadrilátero cíclico en el que ∠BAD = 100° y ∠BDC = 50° ¿Encuentra ∠DBC? 

Solución:

Dado :

∠BAD = 100° y ∠CDB = 50 o

∠BAD + ∠BCD = 180  (Desde el ángulo opuesto del cuadrilátero cíclico)

∠BCD = 180 o – 100 o = 80 0

En ∆BCD ,

∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180 o

80o + 50o  + ∠DBC = 180o

∠DBC = 180 o  – 130 o

∠DBC = 50 o

Por lo tanto ∠DBC = 50

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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