En geometría euclidiana, un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en un solo círculo. Este círculo se llama circuncírculo o círculo circunscrito, y se dice que los vértices son concíclicos. El centro del círculo y su radio se llaman circuncentro y circunradio respectivamente. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal, este último ya que los lados del cuadrilátero son cuerdas del circuncírculo.
Declaración del teorema: La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180°.
Entonces, de acuerdo con el enunciado del teorema, en la siguiente figura, tenemos que probar que
∠MALO + ∠BCD = 180 o
∠ABC+ ∠ADC = 180 o
Prueba:
Dado:
Un cuadrilátero cíclico ABCD donde O es el centro de un círculo.
Construcción:
Unir el segmento de línea OB y OD
Ya que, El ángulo subtendido por un arco en el centro es el doble del ángulo en el círculo.
Por lo tanto,
∠BAD = 1/2 (∠BOD) – ecuación 1
Similarmente,
∠BCD = 1/2 (reflejo de ∠BOD) – ecuación 2
Sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos
∠BAD + ∠BCD = 1/2 (∠BOD + reflejo de ∠BOD)
∠BAD + ∠BCD = 1/2 ( 360 o ) {Ya que , ∠BOD + reflejo de ∠BOD forman un ángulo completo, es decir, 360 grados}
∠MALO + ∠BCD = 180 o
Similarmente,
∠ABC+ ∠ADC = 180 o
Por lo tanto, se demostró que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180°
Ejemplos de problemas sobre el teorema dado
Pregunta 1: En la figura que se muestra a continuación, ABCD es un cuadrilátero cíclico en el que ∠CBA = 91,64° y ∠DAB = 102,51° ¿Encuentra ∠ADC y ∠DCB?
Solución:
Aplicando el teorema,
La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es 180°
Obtenemos,
∠ADC+ ∠ABC = 180 o
∠CAD + 91,64 o =180 o
∠ADC =180 o – 91,64 o = 88,36 grados
Y,
∠DCB + ∠BAD =180 o
∠DCB + 102,51 o = 180 o
∠DCB = 180 o – 102,51 o
∠DCB = 77.49 o
Por lo tanto ∠ADC = 88.36 o y ∠DCB = 77.49 o
Pregunta 2: En la figura que se muestra a continuación, ABCD es un cuadrilátero cíclico en el que ∠BAD = 100° y ∠BDC = 50° ¿Encuentra ∠DBC?
Solución:
Dado :
∠BAD = 100° y ∠CDB = 50 o
∠BAD + ∠BCD = 180 o (Desde el ángulo opuesto del cuadrilátero cíclico)
∠BCD = 180 o – 100 o = 80 0
En ∆BCD ,
∠BCD + ∠CDB + ∠DBC = 180 o
80o + 50o + ∠DBC = 180o
∠DBC = 180 o – 130 o
∠DBC = 50 o
Por lo tanto ∠DBC = 50 o
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA