En geometría, un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud y, a veces, que tiene al menos dos lados de igual longitud, esta última versión incluye el triángulo equilátero como un caso especial. Los ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles, el triángulo áureo y las caras de bipirámides y ciertos sólidos catalanes.
Declaración del teorema: Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.
Prueba:
Dado, un triángulo isósceles ABC, donde la longitud del lado AB es igual a la longitud del lado AC.
Por lo tanto, AB = AC
Construcción:
Dibujemos la bisectriz de ∠A
Sea D el punto de intersección de esta bisectriz de ∠A y BC.
Por lo tanto, por construcción ∠BAD = ∠CAD.
En ∆BAD y ∆DAC,
AB = AC (Dado)
∠BAD = ∠CAD (Por construcción)
AD = AD (Lado común en ambos triángulos)
Entonces, ∆BAD ≅ ∆CAD (Por regla SAS)
Entonces, ∠ABD = ∠ACD, ya que son ángulos correspondientes de triángulos congruentes.
Entonces, ∠B = ∠C
Por lo tanto, demostró que un ángulo opuesto a los lados iguales de un triángulo isósceles es igual.
Nota:
Lo contrario de este teorema también es cierto. Los lados opuestos a ángulos iguales de un triángulo también son iguales.
Ejemplos de problemas basados en el teorema
Problema 1: E y F son respectivamente los puntos medios de los lados iguales AB y AC de ∆ABC (ver figura adjunta). Demuestre que BF = CE.
Solución:
Dado:
Longitud del lado AB = AC
Para mostrar: BF = CE
En ∆ABF y ∆ACE,
AB = AC (Dado)
∠A = ∠A (Común)
AF = AE (Mitades de lados iguales)
Entonces, ∆ABF ≅ ∆ACE (regla SAS)
Ya que, Si dos triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales.
Por lo tanto, BF = CE (por CPCT)
Problema 2: Dado un ∆ABC cuyo perímetro es 13 cm y ∠ABC = ∠ACB y la longitud del lado BC es igual a 3 cm. Encuentre la longitud del lado AB y AC.
Solución:
Dado:
BC = 3cm, Perímetro de ∆ABC = 13cm
∠ABC = ∠ACB
Dado que ∠ABC = ∠ACB , por lo tanto, al aplicar el teorema, los lados opuestos a los ángulos iguales de un triángulo también son iguales.
Entonces, longitud del lado AB = AC.
Sea x el lado de AB.
Por lo tanto, Perímetro = AB + BC+ AC
13 = x + 3 + x ( Ya que, AB = AC )
13 = 2x + 3
13 – 3 = 2x
10/2 = x
Por lo tanto x = 5
Entonces, la longitud del lado AB y AC es de 5 cm.
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Artículo escrito por vaibhavsingh19750nit y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA