Las figuras geométricas que tienen la misma forma pero diferente tamaño se conocen como figuras semejantes . Dos figuras congruentes siempre son similares, pero dos figuras similares no necesitan ser congruentes.
Ejemplos
(i) Cualesquiera dos segmentos de línea son similares.
(ii) Cualesquiera dos triángulos equivalentes son semejantes.
(iii) Cualesquiera dos rectángulos son semejantes.
(iv) Cualesquiera dos cuadrados son semejantes.
(v) Cualesquiera dos círculos son semejantes.
Triángulos similares
Se dice que dos triángulos son semejantes entre sí si
- sus ángulos correspondientes son iguales, y
- sus lados correspondientes son proporcionales.
Triángulos similares
En △ABC y △DEF si (i) ∠A = ∠D , ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
y (ii) AB/DE = BC/EF = CA/FD
Entonces, los dos triángulos anteriores son semejantes, es decir, △ABC ∼ △DEF.
Resultados en Triángulos Similares
Teorema básico de proporcionalidad o teorema de Thales
Teorema: Si se traza una línea paralela a un lado de un triángulo para cortar los otros dos lados en puntos distintos, entonces los otros dos lados se dividen en la misma proporción.
Prueba:
Dado: A △ABC en el que DE || BC y DE intersecan a AB y AC en D y E respectivamente.
Para probar: AD/DB = AE/EC
Construcción: Unir BE y CD. Dibuja EL ⟂ AB y DM ⟂ AC.
Tenemos: área (△ADE) =1/2 (AD x EL)
área (△DBE) = 1/2(DB x EL)
∴ área(△ADE)/área(△DBE) =(1/2x AD x EL)/(1/2x DB x EL) = AD/DB …………(i)
De nuevo, área(△ADE) = área(△AED) = (1/2x AE x DM)
área(△ECD) = (1/2x EC x DM)
∴ área(△ADE)/área(△ECD) = (1/2 x AE x DM)/(1/2 x EC x DM) = AE/EC ……….(ii)
Ahora △DBE y △ECD estando en la misma base DE y entre los mismos paralelos DE y BC , tenemos:
área(△DBE)/área(△ECD) ……….(iii)
De eqn(i) y eqn(ii)
AD/DB = AE/EC
Ejemplos basados en el teorema de Tales
Figura 1
Ejemplo 1: En la figura 1 dada, DE || ANTES DE CRISTO. Si AD = 2,5 cm, DB = 3 cm y AE = 3,75 cm, ¿Encuentre AC?
Solución:
En △ABC, DE || antes de Cristo
AD/DB = AE/EC (Por el Teorema de Thales)
⇒ 2,5/3 = 3,75/x, donde CE = x cm
⇒ (3 * 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5
⇒ CE = 4,5 cm
Por lo tanto, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.
Ejemplo 2: En la figura 1 DE || BC.AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm y AC = 9 cm, ¿encontrar AE?
Solución:
Sea AE = x cm.
En △ABC, DE || antes de Cristo
Por el teorema de Tales tenemos,
AD/AB = AE/AC
⇒ 1,7/6,8 = x/9
⇒ x = (1,7*9)/6,8 = 2,25
⇒ AE = 2,25 cm
Por lo tanto AE = 2,25 cm
Ejemplo 3: Demuestre que una línea trazada a través del punto medio de un lado de un triángulo (figura 1) paralela a otro lado biseca el tercer lado.
Solución:
Dado un ΔΑΒC en el que D es el punto medio de AB y DE || BC, encontrándose con AC en E.
DEMOSTRAR AE = EC.
Prueba: Desde DE || BC, por el teorema de Tales, tenemos:
AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dado)
AE/CE = 1
⇒ AE = CE.
El recíproco del teorema de Tales
Teorema: (Converso del teorema de Thales) Si una línea divide dos lados de un triángulo en la misma proporción, entonces la línea debe ser paralela al tercer lado.
Prueba:
Dado: A △ABC y una recta r que corta a AB en D y AC en E, tal que AD/DB = AE/EC
Para probar: DE || antes de Cristo
Prueba: Si es posible, que DE no sea paralelo a BC. Entonces, debe haber otra línea a través de D, que es paralela a BC.
Sea DF || antes de Cristo
Entonces por el teorema de Tales,
AD/DB = AF/FC ……….(i)
Pero, AD/DB = AE/EC (dado) ……..(ii)
De eqn(i) y eqn(ii)
AF/FC = AE/EC ⇒ AF/FC+ 1 = AE/EC+ 1
(AF + FC)/FC = (AE + EC)/EC
CA/FC = CA/CE ⇒ 1/FC = 1/CE
⇒ FC = CE.
Esto es posible solo cuando E y F coinciden.
Por lo tanto, DE || ANTES DE CRISTO.
Ejemplos basados en el recíproco del teorema de Tales
Figura 2
Ejemplo 1: En la figura 2 dada, AD/DB = AE/EC y ∠ADE = ∠ACB. Demostrar que ABC es un triángulo isósceles.
Solución:
Tenemos AD/DB = AE/EC ⇒ DE || BC [por el inverso del teorema de Tales]
∠ADE = ∠ABC (∠s correspondientes)
Pero, ∠ADE = ∠ACB (dado).
Por lo tanto, ∠ABC = ∠ACB.
Entonces, AB = AC [lados opuestos a ángulos iguales].
Por lo tanto, △ABC es un triángulo isósceles.
Ejemplo 2: si D y E son puntos en los lados AB y AC respectivamente de △ABC (figura 2) tales que AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm, demuestre que DE | | ANTES DE CRISTO.
Solución:
Dado, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm y AE = 1,8 cm
AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 y AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4
⇒ AD/AB = AE/AC
Por lo tanto, por el contrario del teorema de Tales, DE || ANTES DE CRISTO.
Ejemplo 3: Demostrar que el segmento de línea que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo (figura 2) es paralelo al tercer lado.
Solución:
En △ABC en donde D y E son los puntos medios de AB y AC respectivamente.
Como D y E son los puntos medios de AB y AC respectivamente, tenemos:
AD = DB y AE = CE.
AD/DB = AE/EC (cada uno igual a 1)
Por lo tanto, por el contrario del teorema de Tales, DE || antes de Cristo
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Artículo escrito por portalpirate y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA