Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Principio de inducción matemática – Ejercicio 4.1

Pregunta 14: $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})$ = (n+1)

Solución:

Tenemos,

P(n) = $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})$ = (n+1)

Para n=1 , obtenemos

P(1) = (1+ $\frac{1}{1}$ ) = 2 = (1+1) = 2

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})$ = (k+1) ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})$ $(1+ \frac{1}{k+1})$

= ( $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})$ ) $(1+ \frac{1}{k+1})$

De la ecuación (1), obtenemos

= (k+1) (1+ $\frac{1}{k+1}$ )

= (k+1) $(\frac{(k+1)+1}{k+1})$

= {(k+1)+1}

Por eso,

P(k+1) = {(k+1)+1}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 15: 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2n-1) ² = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2n-1) ² = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 ² = 1 = $\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3} = \frac{3}{3}$ = 1

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2k-1) ² = $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2k-1) ² + (2(k+1)-1) ²

= (1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2k-1) ² ) + (2k+1) ²

De la ecuación (1), obtenemos

= $\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ + (2k+1) ²

= (2k+1) $(\frac{k(2k-1 + 3(2k+1))}{3})$

= (2k+1) $(\frac{2k^2-k + 6k+3}{3})$

= (2k+1) $(\frac{2k^2+5k+3}{3})$

= (2k+1) $(\frac{(2k+3)(k+1)}{3})$

= $(\frac{(k+1)(2k+3)(2k+1)}{3})$

= $(\frac{(k+1) (2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3})$

Por eso,

P(k+1) = $(\frac{(k+1) (2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3})$

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 16: $\frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}$

Solución:

Tenemos,

P(n) = $\frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}$

Para n=1 , obtenemos

P(1) = $\frac{1}{1.4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{(3(1)+1)} = \frac{1}{4}$

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = $\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{(3k+1)}$ ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = $\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}$

= ( $\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ ) $\frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$

De la ecuación (1), obtenemos

= $\frac{k}{(3k+1)} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$

= $\frac{1}{3k+1} (k + \frac{1}{(3k+4)})$

= $\frac{1}{3k+1} (\frac{k(3k+4) +1}{(3k+4)})$

= $\frac{1}{3k+1} (\frac{3k^2+4k+1)}{(3k+4)})$

= $\frac{1}{3k+1} (\frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+4)})$

= $\frac{(k+1)}{(3(k+1)+1)}$

Por eso,

P(k+1) = $\frac{(k+1)}{(3(k+1)+1)}$

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 17: $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

Solución:

Tenemos,

P(n) = $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

Para n=1 , obtenemos

P(1) = $\frac{1}{3.5} = \frac{1}{15} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{15}$

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}$ ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}$

= ( $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ ) $\frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$

De la ecuación (1), obtenemos

= $\frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$

= $\frac{1}{(2k+3)} (\frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5})$

= $\frac{1}{(2k+3)} (\frac{k(2k+5)+3)}{3(2k+5)})$

= $\frac{1}{(2k+3)} (\frac{2k^2+5k+3}{3(2k+5)})$

= $\frac{1}{(2k+3)} (\frac{(2k+3)(k+1)}{3(2k+5)})$

= $\frac{k+1}{3(2k+5)}$

= $\frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$

Por eso,

P(k+1) = $\frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 18: 1 + 2 + 3 + ….. + n < $\frac{1}{8}$ (2n+1) ²

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 + 2 + 3 + ….. + n < $\frac{1}{8}$ (2n+1) ²

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 < $\frac{1}{8}$ (2(1)+1) ²

1 < $\frac{9}{8}$

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 + 2 + 3 + ….. + k < $\frac{1}{8}$ (2k+1) ² ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 + 2 + 3 + ….. + k + (k+1)

= (1 + 2 + 3 + ….. + k) + k+1 < $\frac{1}{8}$ (2k+1) ² + (k+1)

< $\frac{1}{8}$ ((2k+1) ² + 8(k+1))

< $\frac{1}{8}$ ((4k ² +4k+1) + 8k+8))

< $\frac{1}{8}$ (4k ² +12k+9)

< $\frac{1}{8}$ (2k+3) ²

P(k+1) < $\frac{1}{8}$ (2(k+1)+1) ²

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 19: n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3.

Solución:

Tenemos,

P (n) = n (n + 1) (n + 5), que es múltiplo de 3

Para n=1 , obtenemos

p(1) = 1 (1 + 1) (1 + 5) = 12, que es múltiplo de 3

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = k (k + 1) (k + 5) es múltiplo de 3

P(k) = k (k + 1) (k + 5) = 3m, donde m ∈ N ………… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = (k + 1) {(k + 1) + 1} {(k + 1) + 5}

= (k + 1) (k + 2) {(k + 5) + 1}

Multiplicando los términos

= (k + 1) (k + 2) (k + 5) + (k + 1) (k + 2)

= {k (k + 1) (k + 5) + 2 (k + 1) (k + 5)} + (k + 1) (k + 2)

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 3m + (k + 1) {2 (k + 5) + (k + 2)}

= 3m + (k + 1) {2k + 10 + k + 2}

= 3m + (k + 1) (3k + 12)

= 3m + 3 (k + 1) (k + 4)

= 3 {m + (k + 1) (k + 4)}

= 3 × q (donde q = {m + (k + 1) (k + 4)} es un número natural)

(k + 1) {(k + 1) + 1} {(k + 1) + 5} es múltiplo de 3

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 20: 10 ^{2n – 1} + 1 es divisible por 11.

Solución:

Tenemos,

P (n): 10 ^{2n – 1} + 1 es divisible por 11

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 10 ^{2.1 – 1} + 1 = 11, que es divisible por 11

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

10 ^{2k – 1} + 1 es divisible por 11

10 ^{2k – 1} + 1 = 11m, donde m ∈ N …………… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k + 1) = 10 ^{2(k + 1) – 1} + 1

= 10 ^{2k + 2 – 1} + 1

= 10 ^{2k + 1} + 1

= 10 ² (10 ^2k-1 + 1 – 1) + 1

= 10 ² (10 ^2k-1 + 1) – 10 ² + 1

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 10 ² . 11m – 100 + 1

= 100 × 11m – 99

Sacando los términos comunes

= 11 (100m – 9)

= 11r, donde r = (100m – 9) es un número natural

10 2 ^{(k + 1) – 1} + 1 es divisible por 11

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 21: x ²ⁿ – y ²ⁿ es divisible por x + y.

Solución:

Tenemos,

P (n) = x ²ⁿ – y ²ⁿ es divisible por x + y

Para n=1 , obtenemos

P (1) = x ² × 1 – y ² × 1 = x ² – y ² = (x + y) (x – y), que es divisible por (x + y)

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

x ^2k – y ^2k es divisible por x + y

x ^2k – y ^2k = m (x + y), donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

x2 ^{(k + 1)} – y2 ^{(k + 1)}

= x ^2k . x ² – y ^2k . 2 ^años

Sumando y restando y ^2k obtenemos

= x ² (x ^2k – y ^2k + y ^2k ) – y ^2k . 2 ^años

Usando la ecuación (1), obtenemos

= x ² {m (x + y) + y ^2k } – y ^2k . 2 ^años

= metro (x + y) x ² + y ^2k . x ² – y ^2k . 2 ^años

Sacando los términos comunes

⁼ metro (x + y) x2 ⁺ y2k ⁽ x2 – ^y2 )

= m (x + y) x ² + y ^2k (x + y) (x – y)

Entonces obtenemos

= (x + y) {mx ² + y ^2k (x – y)}, que es un factor de (x + y)

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 22: 3 ²ⁿ⁺² – 8n – 9 es divisible por 8.

Solución:

Tenemos,

P (n) = 3 ^{2n + 2} – 8n – 9 es divisible por 8

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 3 ^{2 × 1 + 2} – 8 × 1 – 9 = 64, que es divisible por 8

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

3 ^{2k + 2} – 8k – 9 es divisible por 8

3 ^{2k + 2} – 8k – 9 = 8m, donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

3 ^{2(k + 1) + 2} – 8 (k + 1) – 9

= 3 ^{2k + 2} . 3 ² – 8k – 8 – 9

Sumando y restando 8k y 9 obtenemos

= 3 ² (3 ^{2k + 2} – 8k – 9 + 8k + 9) – 8k – 17

= 3 ² (3 ^{2k + 2} – 8k – 9) + 3 ² (8k + 9) – 8k – 17

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 9. 8m + 9 (8k + 9) – 8k – 17

= 9. 8m + 72k + 81 – 8k – 17

= 9. 8m + 64k + 64

Eliminando los términos comunes

= 8 (9m + 8k + 8)

= 8r, donde r = (9m + 8k + 8) es un número natural

Entonces 3 ^{2(k + 1) + 2} – 8 (k + 1) – 9 es divisible por 8

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 23: 41 ⁿ – 14 ⁿ es múltiplo de 27.

Solución:

Tenemos,

P (n) = 41 ⁿ – 14 ⁿ es múltiplo de 27

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 41 ¹ – 14 ¹ = 27, que es un múltiplo de 27

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

41 ^k – 14 ^k es múltiplo de 27

41k – ^{14k =}^27m , donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

41 ^mil + 1 – 14 ^mil + 1

= 41 ^k . 41 – 14 ^k . 14

Sumando y restando 14 ^k obtenemos

= 41 ( ^41k – ^14k + ^14k ) – ^14k . 14

= 41 (41 ^k – 14 ^k ) + 41. 14 ^k – 14 ^k . 14

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 41. 27m + 14k ⁽ 41 – 14)

= 41,27m + ^27,14k

Eliminando los términos comunes

= 27 (41m – 14k)

= 27r, donde r = (41m – 14 ^k ) es un número natural

Entonces 41 ^{k + 1} – 14 ^{k + 1} es un múltiplo de 27

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 24: (2n + 7) < (n + 3) ² .

Solución:

Tenemos,

P(n) = (2n +7) < (n + 3) ²

Para n=1 , obtenemos

2.1 + 7 = 9 < (1 + 3) ² = 16

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

(2k + 7) < (k + 3) ² … (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

{2 (k + 1) + 7} = (2k + 7) + 2

= {2 (k + 1) + 7}

Usando la ecuación (1), obtenemos

(2k + 7) + 2 < (k + 3) ² + 2

2 (k + 1) + 7 < k ² + 6k + 9 + 2

2 (k + 1) + 7 < k ² + 6k + 11

Aquí,

k2 + 6k + 11 < ^k2⁺ 8k + 16

2 (k + 1) + 7 < (k + 4) ²

2 (k + 1) + 7 < {(k + 1) + 3} ²

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

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Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Principio de inducción matemática – Ejercicio 4.1 | conjunto 2

Pregunta 14: $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})$ = (n+1)

Pregunta 15: 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2n-1) ² = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Pregunta 16: $\frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}$

Pregunta 17: $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

Pregunta 18: 1 + 2 + 3 + ….. + n < $\frac{1}{8}$ (2n+1) ²

Pregunta 19: n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3.

Pregunta 20: 10 ^{2n – 1} + 1 es divisible por 11.

Pregunta 21: x ²ⁿ – y ²ⁿ es divisible por x + y.

Pregunta 22: 3 ²ⁿ⁺² – 8n – 9 es divisible por 8.

Pregunta 23: 41 ⁿ – 14 ⁿ es múltiplo de 27.

Pregunta 24: (2n + 7) < (n + 3) ² .

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Pregunta 14: = (n+1)

Pregunta 15: 1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2n-1) 2 =

Pregunta 16:

Pregunta 17:

Pregunta 18: 1 + 2 + 3 + ….. + n < (2n+1) 2

Pregunta 19: n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3.

Pregunta 20: 10 2n – 1 + 1 es divisible por 11.

Pregunta 21: x 2n – y 2n es divisible por x + y.

Pregunta 22: 3 2n+2 – 8n – 9 es divisible por 8.

Pregunta 23: 41 n – 14 n es múltiplo de 27.

Pregunta 24: (2n + 7) < (n + 3) 2 .

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Pregunta 14: $(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})$ = (n+1)

Pregunta 15: 1 ² + 3 ² + 5 ² + …… + (2n-1) ² = $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

Pregunta 16: $\frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}$

Pregunta 17: $\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

Pregunta 18: 1 + 2 + 3 + ….. + n < $\frac{1}{8}$ (2n+1) ²

Pregunta 20: 10 ^{2n – 1} + 1 es divisible por 11.

Pregunta 21: x ²ⁿ – y ²ⁿ es divisible por x + y.

Pregunta 22: 3 ²ⁿ⁺² – 8n – 9 es divisible por 8.

Pregunta 23: 41 ⁿ – 14 ⁿ es múltiplo de 27.

Pregunta 24: (2n + 7) < (n + 3) ² .