Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 11 Sección cónica – Ejercicio 11.3

En cada uno de los Ejercicios 1 al 9, encuentre las coordenadas de los focos, los vértices, la longitud del eje mayor, el eje menor, la excentricidad y la longitud del lado recto de la elipse.

Pregunta 1. $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16}$ = 1

Solución:

Como el denominador de x ² /36 es mayor que el denominador de y ² /16,

el eje mayor está a lo largo del eje x.

Al comparar la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 36 y b ² = 16

⇒ a = ±6 y b = ±4

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a ² > b ² )

c = √(a ² – b ² ) -(cuando a ² > b ² )

c = √(36 – 16)

c = √20 = 2√5

⇒ (2√5, 0) y (-2√5, 0)

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a ² > b ² )

⇒ (6, 0) y (-6, 0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje mayor = 12

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a ² > b ² )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje menor = 8

Excentricidad

Excentricidad = c/a (cuando a ² > b ² )

= 2√5/6

= √5/3

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b ² /a (cuando a ² > b ² )

= 2×16/6

= 16/3

Pregunta 2. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25}$ = 1

Solución:

Como el denominador de y ^2/25 es mayor que el denominador de x ^2/4 ,

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 4 y b ² = 25

⇒ a = ±2 y b = ±5

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a ² < b ² )

c = √(b ² – a ² ) -(cuando a ² < b ² )

c = √(25 – 4)

c = √21

⇒ (0, √21) y (0, -√21)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a ² < b ² )

⇒ (0, 5) y (0, -5)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 5

⇒ Longitud del eje mayor = 10

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

=2 × 2

⇒ Longitud del eje menor =4

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a ² < b ² )

= √21/5

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a ² /b (cuando a ² < b ² )

= 2×4/5

= 8/5

Pregunta 3. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}$ = 1

Solución:

Como el denominador de x ² /16 es mayor que el denominador de y ² /9,

el eje mayor está a lo largo del eje x.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 16 y b ² = 9

⇒ a = ±4 y b = ±3

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a ² > b ² )

c = √(a ² – b ² ) -(cuando a ² > b ² )

c = √(16 – 9)

c = √7

⇒ (√7, 0) y (-√7, 0).

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a ² > b ² )

⇒ (4,0) y (-4,0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje mayor = 8

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a ² > b ² )

= 2 × 3

⇒ Longitud del eje menor = 6

Excentricidad:

Excentricidad = c/a (cuando a ² >b ² )

= √7/4

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b ² /a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 9/4

= 9/2

Pregunta 4. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100}$ = 1

Solución:

Como el denominador de y ^2/100 es mayor que el denominador de x ^2/25 ,

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 25 y b ² = 100

⇒ a = ±5 y b = ±10

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a ² < b ² )

c = √(b ² – a ² ) -(cuando a ² < b ² )

c = √(100 – 25)

c = √75

c = 5√3

⇒ (0, 5√3) y (0, -5√3)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a ² < b ² )

⇒ (0, 10) y (0, -10)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 10

⇒ Longitud del eje mayor = 20

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

= 2 × 5

⇒ Longitud del eje menor = 10

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a ² < b ² )

= 5√3/10

= √3/2

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a ² /b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 25/10

= 5

Pregunta 5. $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36}$ = 1

Solución:

Como el denominador de x ² /49 es mayor que el denominador de y ² /36,

el eje mayor está a lo largo del eje x.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 49 y b ² = 36

⇒ a = ±7 y b = ±6

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a ² > b ² )

c = √(a ² – b ² ) -(cuando a ² > b ² )

c = √(49 – 36)

c = √13

⇒ (√13, 0) y (-√13, 0).

Vértices:

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a ² > b ² )

⇒ (7, 0) y (-7, 0)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 7

⇒ Longitud del eje mayor = 14

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2b (cuando a ² > b ² )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje menor = 12

Excentricidad:

Excentricidad = c/a (cuando a ² > b ² )

= √13/7

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2b ² /a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 36/7

= 72/7

Pregunta 6. $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{400}$ = 1

Solución:

Como el denominador de y ² /400 es mayor que el denominador de x ² /100,

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 100 y b ² = 400

⇒ a = ±10 y b = ±20

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a ² < b ² )

c = √(b ² – a ² ) -(cuando a ² < b ² )

c = √(400 – 100)

c = √300

c = 10√3

⇒ (0, 10√3) y (0, -10√3)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a ² < b ² )

⇒ (0, 20) y (0, -20)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 20

⇒ Longitud del eje mayor = 40

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

= 2 × 10

⇒ Longitud del eje menor = 20

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a ² < b ² )

= 10√3/20

= √3/2

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a ² /b (cuando a ² < b ² )

= 2×100/20

= 10

Pregunta 7. 36x ² + 4y ² = 144

Solución:

36×2 ⁺ 4y2 ⁼ 144

Dividiendo LHS y RHS por 144,

$\frac{36x^2}{144} + \frac{4y^2}{144} = \frac{144}{144}$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36}$ = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de y ^2/36 es mayor que el denominador de x ^2/4 ,

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 4 y b ² = 36

⇒ a = ±2 y b = ±6

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a ² < b ² )

c = √(b ² – a ² ) -(cuando a ² < b ² )

c = √(36 – 4)

c = √32

c = 4√2

⇒ (0, 4√2) y (0, -4√2)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a ² < b ² )

⇒ (0, 6) y (0, -6)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a ² <b ² )

= 2 × 6

⇒ Longitud del eje mayor = 12

Longitud del eje menor

Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

= 2 × 2

⇒ Longitud del eje menor = 4

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a ² < b ² )

= 4√2/6

= 2√2/3

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a ² /b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 4/6

= 4/3

Pregunta 8. 16x ² + y ² = 16

Solución:

16x ² + y ² = 16

Dividiendo LHS y RHS por 16,

$\frac{16x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = \frac{16}{16}$

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{16}$ = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de y ^2/16 es mayor que el denominador de x ^2/1 ,

el eje mayor está a lo largo del eje y.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 1 y b ² = 16

⇒ a = ±1 y b = ±4

Los focos:

Focos = (0, c) y (0, -c) cuando (a ² < b ² )

c = √(b ² – a ² ) -(cuando a ² < b ² )

c = √(16 – 1)

c = √15

⇒ (0, √15) y (0, -√15)

Vértices:

Vértices = (0, b) y (0, -b) cuando (a ² < b ² )

⇒ (0, 4) y (0, -4)

Longitud del eje mayor:

Longitud del eje mayor = 2b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 4

⇒ Longitud del eje mayor = 8

Longitud del eje menor:

Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

=2 × 1

⇒ Longitud del eje menor = 2

Excentricidad:

Excentricidad = c/b (cuando a ² < b ² )

= √15/4

Longitud del latus rectum:

Longitud del latus rectum = 2a ² /b (cuando a ² < b ² )

= 2 × 1/4

= 1/2

Pregunta 9. 4x ² + 9y ² = 36

Solución:

4x ² + 9y ² = 36

Dividiendo LHS y RHS por 36,

$\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = \frac{36}{36}$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}$ = 1 (Ecuación obtenida)

Como el denominador de x ² /9 es mayor que el denominador de y ² /4,

el eje mayor está a lo largo del eje x.

Comparando la ecuación dada con $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, obtenemos

a ² = 9 y b ² = 4

⇒ a = ±3 y b = ±2

Los focos:

Focos = (c, 0) y (-c, 0) cuando (a ² > b ² )

c = √(a ² – b ² ) -(cuando a ² > b ² )

c = √(9 – 4)

c = √5

⇒ (√5, 0) y (-√5, 0).

vértices

Vértices = (a, 0) y (-a, 0) cuando (a ² > b ² )

⇒ (3, 0) y (-3, 0).

Longitud del eje mayor

Longitud del eje mayor = 2a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 3

⇒ Longitud del eje mayor = 6

Longitud del eje menor

Longitud del eje menor = 2b (cuando a ² > b ² )

= 2 × 2

⇒ Longitud del eje menor = 4

Excentricidad

Excentricidad = c/a (cuando a ² > b ² )

= √5/3

Longitud del latus rectum

Longitud del latus rectum = 2b ² /a (cuando a ² > b ² )

= 2 × 4/3

= 8/3

En cada uno de los siguientes ejercicios 10 a 20, encuentre la ecuación para la elipse que satisfaga las condiciones dadas:

Pregunta 10. Vértices (± 5, 0), focos (± 4, 0).

Solución:

Como los vértices están en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que a = ±5, c = ±4

Como, de la relación

c ² = a ² – b ² (cuando a ² > b ² )

^{segundo 2} = un ² – c ²

b ² = 25 – 16

b ² = 9

Entonces, a ² = 25 y b ² = 9

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}$ = 1

Pregunta 11. Vértices (0, ± 13), focos (0, ± 5).

Solución:

Como los vértices están en el eje y, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a ² < b ² )

Dado que b = ±13, c = ±5

Como, de la relación

c ² = b ² – a ² (cuando a ² < b ² )

un ² = ^{segundo 2} – c ²

un ² = 169 – 25

un ² = 144

Entonces, a ² = 144 y b ² = 169

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{169}$ = 1

Pregunta 12. Vértices (± 6, 0), focos (± 4, 0).

Solución:

Como los vértices están en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que a = ±6, c = ±4

Como, de la relación

c ² = a ² – b ² (cuando a ² > b ² )

^{segundo 2} = un ² – c ²

b ² = 36 – 16

b ² = 20

Entonces, a ² = 36 y b ² = 20

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20}$ = 1

Pregunta 13. Extremos de eje mayor (± 3, 0), extremos de eje menor (0, ± 2).

Solución:

Dado que el eje mayor está en el eje x y el eje menor en el eje y, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que a = ±3, b = ±2

Entonces, a ² = 9 y b ² = 4

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}$ = 1

Pregunta 14. Extremos de eje mayor (0, ±√5), extremos de eje menor (± 1, 0).

Solución:

Dado que el eje mayor está en el eje y y el eje menor en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a ² < b ² )

Dado que a = ±1, b = ±√5

Entonces, a ² = 1 y b ² = 5

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{5}$ = 1

Pregunta 15. Longitud del eje mayor 26, focos (± 5, 0).

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que c = ±5 y Longitud del eje mayor = 26

Como, Longitud del eje mayor = 2a (cuando a ² > b ² )

2a = 26

un = 13

Como, de la relación

c ² = a ² – b ² (cuando a ² > b ² )

^{segundo 2} = un ² – c ²

b2 ⁼ 169 – 25

b2 ⁼ 144

Entonces, a ² = 169 y b ² = 144

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144}$ = 1

Pregunta 16. Longitud del eje menor 16, focos (0, ± 6).

Solución:

Como los focos están en el eje y, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde b es el semieje mayor. (donde a ² < b ² )

Dado que c = ±6 y Longitud del eje menor = 16

Como, Longitud del eje menor = 2a (cuando a ² < b ² )

2a = 16

un = 8

Como, de la relación

c ² = b ² – a ² (cuando a ² < b ² )

segundo ² = do ² + un ²

b2 ⁼ 36 + 64

b ² = 100

Entonces, a ² = 64 y b ² = 100

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100}$ = 1

Pregunta 17. Focos (± 3, 0), a = 4.

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que a = 4 y c = ±3

Como, de la relación

c ² = a ² – b ² (cuando a ² > b ² )

^{segundo 2} = un ² – c ²

b ² = 16 – 9

b ² = 7

Entonces, a ² = 16 y b ² = 7

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7}$ = 1

Pregunta 18. b = 3, c = 4, centro en el origen; focos en el eje x.

Solución:

Como los focos están en el eje x, la ecuación será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1, donde a es el semieje mayor. (donde a ² > b ² )

Dado que b = 3 y c = 4

Como, de la relación

c ² = a ² – b ² (cuando a ² > b ² )

un ² = ^{segundo 2} + c ²

un ² = 9 + 16

un ² = 25

Entonces, a ² = 25 y b ² = 9

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}$ = 1

Pregunta 19. Centro en (0,0), eje mayor en el eje y y pasa por los puntos (3, 2) y (1, 6).

Solución:

La ecuación estándar de la elipse con centro (0, 0) será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1

Como los puntos (3, 2) y (1, 6) están en la elipse, podemos tener

$\frac{3^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2}$ = 1

$\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ = 1 -(1)

$\frac{1^2}{a^2} + \frac{6^2}{b^2}$ = 1

$\frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2}$ = 1 -(2)

Eq(2) restada de (multiplicando eq(1) por 9) y obtenemos

9×( $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ ) – ( $\frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2}$ ) = 9 – 1

$\frac{81}{a^2} + \frac{36}{b^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{36}{b^2}$ = 8

80/a ² = 8

un ² = 80/8

un ² = 10

Ahora, sustituyendo a ² = 10 en eq(1)

$\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ = 1

9/10 + 4/b ² = 1

4/b ² = 1 – 9/10

4/b ² = 1/10

segundo ² = 10 × 4 = 40

Entonces, a ² = 10 y b ² = 40

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{40}$ = 1

Pregunta 20. Eje mayor sobre el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2).

Solución:

La ecuación estándar de la elipse con centro (0, 0) será de la forma

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ = 1

Como los puntos (4,3) y (6,2) están en la elipse, podemos tener

$\frac{4^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2}$ = 1

$\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2}$ = 1 -(1)

y, $\frac{6^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2}$ = 1

$\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ = 1 -(2)

(multiplicando eq(2) por 9) restado de (multiplicando eq(1) por 4) y obtenemos

9×( $\frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ ) – 4×( $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2}$ ) = 9 – 4

$\frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2} - \frac{64}{a^2} - \frac{36}{b^2}$ = 5

260/a ² = 5

un ² = 260/5

un ² = 52

Ahora, sustituyendo a ² = 52 en eq(1)

$\frac{16}{2} + \frac{9}{b^2}$ = 1

9/b ² = 1 – 16/52

9/b ² = 36/52

9/b ² = 36/52

b2 = ⁹ × 36/52 = 13

Entonces, a ² = 52 y b ² = 13

Por lo tanto, la ecuación requerida de elipse,

$\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13}$ = 1

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En cada uno de los Ejercicios 1 al 9, encuentre las coordenadas de los focos, los vértices, la longitud del eje mayor, el eje menor, la excentricidad y la longitud del lado recto de la elipse.

Pregunta 1. = 1

Pregunta 2. = 1

Pregunta 3. = 1

Pregunta 4. = 1

Pregunta 5. = 1

Pregunta 6. = 1

Pregunta 7. 36x 2 + 4y 2 = 144

Pregunta 8. 16x 2 + y 2 = 16

Pregunta 9. 4x 2 + 9y 2 = 36

En cada uno de los siguientes ejercicios 10 a 20, encuentre la ecuación para la elipse que satisfaga las condiciones dadas:

Pregunta 10. Vértices (± 5, 0), focos (± 4, 0).

Pregunta 11. Vértices (0, ± 13), focos (0, ± 5).

Pregunta 12. Vértices (± 6, 0), focos (± 4, 0).

Pregunta 13. Extremos de eje mayor (± 3, 0), extremos de eje menor (0, ± 2).

Pregunta 14. Extremos de eje mayor (0, ±√5), extremos de eje menor (± 1, 0).

Pregunta 15. Longitud del eje mayor 26, focos (± 5, 0).

Pregunta 16. Longitud del eje menor 16, focos (0, ± 6).

Pregunta 17. Focos (± 3, 0), a = 4.

Pregunta 18. b = 3, c = 4, centro en el origen; focos en el eje x.

Pregunta 19. Centro en (0,0), eje mayor en el eje y y pasa por los puntos (3, 2) y (1, 6).

Pregunta 20. Eje mayor sobre el eje x y pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2).

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Pregunta 1. $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16}$ = 1

Pregunta 2. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25}$ = 1

Pregunta 3. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}$ = 1

Pregunta 4. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100}$ = 1

Pregunta 5. $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36}$ = 1

Pregunta 6. $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{400}$ = 1

Pregunta 7. 36x ² + 4y ² = 144

Pregunta 8. 16x ² + y ² = 16

Pregunta 9. 4x ² + 9y ² = 36