Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 15 Estadísticas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 15

Pregunta 1. La media y la varianza de ocho observaciones son 9 y 9,25, respectivamente. Si seis de las observaciones son 6, 7, 10, 12, 12 y 13, encuentre las dos observaciones restantes.

Solución:

Dado,

Disponemos de seis de las observaciones 6, 7, 10, 12, 12 y 13.

Supongamos que las observaciones que faltan son a y b.

Ahora, Media $\overline {x} = \frac{\sum{x}}{n}$ = 9

9 = (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + a + b)/8

Pero, $\overline{x}$

Resolviendo a + b, obtenemos,

a + b = 12

También,

Diferencia $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum{x}^2 - (\overline{x})^2$

equiparar $\sigma^2 = 26\space and \space \overline{x}=9, n = 8$

Tenemos,

9.25 = 1/8(6 ² + 7 ² + 10 ² + 12 ² + 12 ² + 13 ² + a ² + b ² ) – 9 ²

=> 9,25 + 81 = 1/8(36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + a ² + b ² )

=> 90,25 * 8 = 642 + un ² + ^{segundo 2}

=> un ² + ^{segundo 2} = 80

Tenemos, b = 12 – a

Al sustituir el valor,

un ² + (12 – un) ² = 80

=> 2a ² – 24a + 64 = 0

Al dividir por 2, obtenemos

un ² – 12a + 32 = 0

Por lo tanto, a = 4, 8

Ahora, para a = 4, b = 8

Y, para a = 8, b = 4

Pregunta 2. La media y la varianza de 7 observaciones son 8 y 16, respectivamente. Si cinco de las observaciones son 2, 4, 10, 12, 14. Encuentra las dos observaciones restantes.

Solución:

Dado,

Contamos con cinco de las observaciones 2, 4, 10, 12, 14.

Supongamos que las observaciones que faltan son a y b.

Ahora, malo

$\overline {x} = \frac{\sum{x_i}}{n}$

Pero,

$\overline{x} = 8$

8 = (2 + 4 + 10 + 12 + 14 + a + b)/(7)

Resolviendo a + b, obtenemos,

a + b = 14

También,

Varianza = $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum{x}^2 - (\overline{x})^2$

equiparar

$\sigma^2 = 16\space and \space \overline{x}=8, n =7$

Tenemos,

16 = 1/7(2 ² + 4 ² + 10 ² + 12 ² + 14 ² + un ² + ^{segundo 2} ) – 64

=> 16 + 64 = 1/7(4 + 16 + 100 + 144 + 196 + a ² + b ² )

=> 560 = 460 + un ² + ^{segundo 2}

=> un ² +b ² = 100

Tenemos, b = 14 – a

Al sustituir el valor, obtenemos

un ² + (14 – un) ² = 100

=> 2a ² – 28a + 96 = 0

Al dividir por 2, obtenemos

un ² – 14a + 48 = 0

=> (un – 8)(un – 6) = 0

Por lo tanto, a = 6, 8

Ahora, para a = 6, b = 8

Y, para a = 8, b = 6

Pregunta 3. La media y la desviación estándar de seis observaciones son 8 y 4, respectivamente. Si cada observación se multiplica por 3, encuentre la nueva media y la nueva desviación estándar de las observaciones resultantes.

Solución:

Media de seis observaciones = 8

Desviación estándar de seis observaciones = 4

Sean las seis observaciones x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ , x ₆

Por lo tanto,

Media de las observaciones, $\overline{x}$ = (x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ + x ₅ + x ₆ )/6 = 8

Si cada observación se multiplica por 3 y las observaciones resultantes son y _i entonces,

y _yo = 3x _yo

x _i = (1/3) y _i , donde i = 1….6

Entonces, nueva media

$\bar{y}$ = (y1 ₊ y2 ₊ y3 + y4 ₊ y5 ₊ y6 ₎ / ₆

= 3(x1 ₊ x2 ₊ x3 + x4 + _x5 + _x6 ) _/₆

= 3 * 8

= 24

Desviación Estándar $(\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ (4)^2 = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i-\overline{x})^2 \\ \sum_{i=1}^{6}(x_i-\overline{x})^2 = 96$

$\overline{y} = 3\overline{x} \\ \overline{x} = \frac{1}{3}\overline {y}$

Sustituyendo valores, obtenemos,

$\sum_{i=1}^{6}(y_i - \overline{y})^2 = 864$

Por lo tanto,

Varianza de la nueva observación = 1/6 x 864

= 144

Desviación Estándar = √144

= 12

Pregunta 4. Dado que x̅ es la media y σ ² es la varianza de n observaciones x ₁ , x ₂ , …,x _n . Demuestre que la media y la varianza de las observaciones ax ¹ , ax ² , ax ³ , …., ax ⁿ son ax̅ y a ² σ ² , respectivamente, (a ≠ 0).

Solución:

Supongamos que las observaciones son x ₁ , …x _n

Media de n observaciones = $\overline{x}$

Varianza de n observaciones = $\sigma^2$

Sabemos,

$Variance(\sigma^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_1(x_i - \overline{x})^2$

y $y_i = ax_i \\ x_i = \frac{1}{a}y_i \\ \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i \\ \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ax_i \\ \overline{y} = a\overline{x}$

Ahora,

Media de las observaciones, ax ¹ , ax ² , …..ax ⁿ = $\overline{x}$

Sustituyendo valores, obtenemos,

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{a}y_1 - \frac{1}{a}\overline{y})^2 \\ a^2\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_1-\overline{y})^2$

Varianza = $a^2\sigma^2$

Pregunta 5. Se encuentra que la media y la desviación estándar de 20 observaciones son 10 y 2, respectivamente. Al volver a verificar, se encontró que una observación 8 era incorrecta. Calcule la media y la desviación estándar correctas en cada uno de los siguientes casos: (i) Si se omite el elemento incorrecto. (ii) Si se reemplaza por 12

Solución:

(i) Por omisión de elemento incorrecto

norte = 20

Media incorrecta = 20

SD incorrecta = 2

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{20}X_1 \\ 10 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}X_1 \\ \sum_{i=1}^{20}X_1 = 200$

Ahora,

Suma incorrecta de observaciones = 200

Suma correcta de observaciones = 200 – 8 = 192

Por lo tanto,

Media correcta = Suma correcta/19

= 192/19

= 10,1

Desviación Estándar $(\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 2 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2}$

4 = 1/20 Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ – 100

Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ = 2080

Por lo tanto,

Correcto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ = Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ – (8) ²

= 2080 – 64

= 2016

Cálculo de la desviación estándar correcta,

SD correcta = $\sqrt{\frac{Correct \sum X_1^2}{n}-(Correct Mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{2016}{19}-(10.1)^2}$

= √(1061,1 – 102,1)

= 2,02

(ii) Si se reemplaza por 12,

Suma incorrecta de observaciones, n = 200

Suma correcta de observaciones n = 200 – 8 + 12

n = 204

Media correcta = Suma correcta / 20

= 204/20

= 10,2

Desviación Estándar $(\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 2 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2}$

4 = 1/20 Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ – 100

Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ = 2080

Por lo tanto, Correcto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ = Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ – (8) ² + (12) ²

= 2080 – 64 + 144

= 2160

Cálculo de la desviación estándar correcta,

$Correct SD = \sqrt{\frac{Correct \sum X_1^2}{n}-(Correct Mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{2160}{20}-(10.2)^2}$

= √(108 – 104,04)

= 1,98

Pregunta 6. La media y la desviación estándar de las notas obtenidas por 50 alumnos de una clase en tres materias, Matemáticas, Física y Química, se dan a continuación:

¿Cuál de las tres materias muestra la mayor variabilidad en las calificaciones y cuál muestra la menor?

Tema	Matemáticas	Física	Química
Significar	42	32	40,9
Desviación Estándar	12	15	20

Solución:

valores dados,

Media de Matemáticas = 42

Desviación estándar de Matemáticas = 12

Media de Física = 32

Desviación estándar de la física = 15

Media de Química = 40.9

Desviación estándar de la química = 20

Ahora,

Coeficiente de variación (CV) = $\frac{Standard Deviation}{Mean} * 100$

CV para Matemáticas = 12/42 x 100 = 28,57

CV para Física = 15/32 x 100 = 46,87

CV para Química = 20/40,9 x 100 = 48,89

La Mayor Variabilidad de la asignatura es de Química.

Pregunta 7. Se encontró que la media y la desviación estándar de un grupo de 100 observaciones eran 20 y 3, respectivamente. Más tarde se encontró que tres observaciones eran incorrectas, las cuales se registraron como 21, 21 y 18. Halle la media y la desviación estándar si se omiten las observaciones incorrectas.

Solución:

Dado:

n = 100

Media incorrecta, (x̅) = 20

Desviación estándar incorrecta (σ) = 3

Por lo tanto, $20 = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i$

Al resolver obtenemos

$\sum_{i=1}^{100}X_1 = 20 * 100 \\ \sum_{i=1}^{100}X_1 = 2000$

Suma incorrecta de observaciones = 2000

Ahora, Suma correcta de observaciones = 2000 – 21- 21 – 18

= 1940

Media correcta = Suma correcta / 97

= 1940/97

= 20

También,

Desviación Estándar $(\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 3 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2} \\ 3 = \sqrt{\frac{1}{100}* Incorrect \sum X_1^2-(20)^2}$

Incorrecto $\sum X_1^2$ = 100(9 + 400)

Incorrecto $\sum X_1^2$ = 40900

Correcto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ = Incorrecto $\sum_{i=1}^{n}X_1^2$ – (21) ² – (21) ² – (18) ²

= 40900 – 441 – 441 – 324

= 40900 – 1206

= 39694

Por lo tanto,

SD correcta = $\sqrt{\frac{Correct\sum X_1^2}{n}-(Correct mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{39694}{97}-(20)^2} \\$

= √(409.216 – 400)

= 3.036

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Pregunta 1. La media y la varianza de ocho observaciones son 9 y 9,25, respectivamente. Si seis de las observaciones son 6, 7, 10, 12, 12 y 13, encuentre las dos observaciones restantes.

Pregunta 2. La media y la varianza de 7 observaciones son 8 y 16, respectivamente. Si cinco de las observaciones son 2, 4, 10, 12, 14. Encuentra las dos observaciones restantes.

Pregunta 3. La media y la desviación estándar de seis observaciones son 8 y 4, respectivamente. Si cada observación se multiplica por 3, encuentre la nueva media y la nueva desviación estándar de las observaciones resultantes.

Pregunta 4. Dado que x̅ es la media y σ 2 es la varianza de n observaciones x 1 , x 2 , …,x n . Demuestre que la media y la varianza de las observaciones ax 1 , ax 2 , ax 3 , …., ax n son ax̅ y a 2 σ 2 , respectivamente, (a ≠ 0).

Pregunta 6. La media y la desviación estándar de las notas obtenidas por 50 alumnos de una clase en tres materias, Matemáticas, Física y Química, se dan a continuación:

¿Cuál de las tres materias muestra la mayor variabilidad en las calificaciones y cuál muestra la menor?

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Pregunta 4. Dado que x̅ es la media y σ ² es la varianza de n observaciones x ₁ , x ₂ , …,x _n . Demuestre que la media y la varianza de las observaciones ax ¹ , ax ² , ax ³ , …., ax ⁿ son ax̅ y a ² σ ² , respectivamente, (a ≠ 0).