Soluciones NCERT Clase 11 – Capítulo 1 Conjuntos – Ejercicio 1.3

Pregunta 1. Haga afirmaciones correctas completando los símbolos ⊂ o ⊄ en los espacios en blanco:

(yo) {2, 3, 4}. . . {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {a, b, c}. . . {b, c, d}

(iii) {x : x es un estudiante de la Clase XI de su escuela}. . .{x ​​: x estudiante de tu escuela}

(iv) {x : x es un círculo en el plano} . . .{x ​​: x es un círculo en el mismo plano con radio 1 unidad}

(v) {x : x es un triángulo en un plano} . . . {x : x es un rectángulo en el plano}

(vi) {x : x es un triángulo equilátero en un plano} . . . {x : x es un triángulo en el mismo plano}

(vii) {x : x es un número natural par} . . . {x : x es un número entero}

Solución:

(yo) {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4,5} 

(ii) {a, b, c} ⊄ {b, c, d}

(iii) {x : x es estudiante de la Clase XI de tu escuela} ⊂ {x : x estudiante de tu escuela}

(iv) {x : x es un círculo en el plano} ⊄ {x : x es un círculo en el mismo plano con radio 1 unidad}

(v) {x : x es un triángulo en el plano} ⊄ {x : x es un rectángulo en el plano}

(vi) {x : x es un triángulo equilátero en un plano} ⊂ {x : x es un triángulo en el mismo plano}

(vii) {x : x es un número natural par} ⊂ {x : x es un número entero}

Pregunta 2. Examina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(i) {a, b} ⊄ {b, c, a}

(ii) {a, e} ⊂ {x : x es una vocal en el alfabeto inglés}

(iii) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}

(iv) {a} ⊂ {a, b, c}

(v) {a} ∈ {a, b, c}

(vi) {x : x es un número natural par menor que 6} ⊂ {x : x es un número natural que divide a 36} 

Solución:

(i) Falso. Cada elemento de {a, b} es un elemento de {b, c, a}.  

(ii) Cierto. Como a, e son dos vocales del alfabeto inglés.  

(iii) Falso. 2 es subconjunto de {1, 2, 3} pero no subconjunto de {1, 3, 5}

(iv) Cierto. Cada elemento de {a} es también un elemento de {a, b. C} .  

(v) Falso. Los elementos de {a, b, c} son a, b, c. Por lo tanto, {a} ⊂ {a, b, c}  

(vi) Cierto

      {x : x es un número natural par menor que 6} = {2, 4}

      {x: x es un número natural que divide a 36} = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

      {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Pregunta 3. Sea A = {1, 2, {3, 4}, 5}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son incorrectas y por qué?

(i) {3, 4} ⊂ A (ii) {3, 4} ∈ A (iii) {{3, 4}} ⊂ A (iv) 1 ∈ A (v) 1 ⊂ A (vi) {1, 2, 5} ⊂ A

(vii) {1, 2, 5} ∈ A (viii) {1, 2, 3} ⊂ A (ix) ∅ ∈ A (x) ∅ ⊂ A (xi) {∅} ⊂ A

Solución:

Dado A= {1, 2, {3, 4}, 5} 

(i) {3, 4} ⊂ A es incorrecto. Aquí 3 ∈ {3, 4}, donde 3 ∉ A.  

(ii) {3, 4} ∈ A es correcta. {3, 4} es un elemento de A.  

(iii) {{3, 4}} ⊂ A es correcta. {3, 4} ∈ {{3, 4}} y {3, 4} ∈ A.  

(iv) 1 ∈ A es correcta. 1 es un elemento de A.  

(v) 1 ⊂ A es incorrecto. Un elemento de un conjunto nunca puede ser un subconjunto de sí mismo.  

(vi) {1, 2, 5} ⊂ A es correcta. Cada elemento de {1, 2, 5} también es un elemento de A. 

(vii) {1, 2, 5} ∈ A es incorrecto. { 1, 2, 5 } no es un elemento de A.  

(viii) {1, 2, 3} ⊂ A es incorrecto. 3 ∈ {1, 2, 3}; donde, 3 ∉ A.  

(ix) ∅ ∈ A es incorrecto. ∅ no es un elemento de A.  

(x) ∅ ⊂ A es correcta. ∅ es un subconjunto de todo conjunto.  

(xi) {∅} ⊂ A es incorrecta. {∅} no está presente en A. 

Pregunta 4. Escribe todos los subconjuntos de los siguientes conjuntos

(i) {a} (ii) {a, b} (iii) {1, 2, 3} (iv) ∅

Solución:

(i) Los subconjuntos de {a} son ∅ y {a}.  

(ii) Los subconjuntos de {a, b} son {a}, {b} y {a, b}.  

(iii) Los subconjuntos de {1, 2, 3} son ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} y {1, 2 , 3}.  

(iv) Solo el subconjunto de ∅ es ∅. 

Pregunta 5. ¿Cuántos elementos tiene P(A), si A = ∅? 

Solución:

Para un conjunto A con n(A) = m, entonces se puede demostrar que

Número de elementos de P(A) = n[P(A)] = 2 ^m

Si A = ∅, obtenemos n (A) = 0 

Entonces, n[P(A)] = 2° = 1  

Por lo tanto, P(A) tiene un elemento. 

Pregunta 6. Escribe lo siguiente como intervalos:

(i) {x : x ∈ R, – 4 < x ≤ 6} (ii) {x : x ∈ R, – 12 < x < –10}

(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7} (iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}

Solución:

(i) {x : x ∈ R, – 4 < x ≤ 6} = (-4, 6]

(ii) {x : x ∈ R, – 12 < x < –10} = (-12, -10)

(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7} = [0, 7)

(iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4} = [3, 4]

Pregunta 7. Escriba los siguientes intervalos en forma de constructor de conjuntos:

(i) (– 3, 0) (ii) [6, 12] (iii) (6, 12] (iv) [–23, 5)

Solución:

(i) (– 3, 0) = {x : x ∈ R, -3 < x < 0}

(ii) [6, 12] = {x : x ∈ R, 6 ≤ x ≤ 12}

(iii) (6, 12] = {x : x ∈ R, 6 < x ≤ 12}

(iv) [–23, 5) = {x : x ∈ R, -23 ≤ x < 5}

Pregunta 8. ¿Qué conjunto(s) universal(es) propondría para cada uno de los siguientes:

(i) El conjunto de triángulos rectángulos

(ii) El conjunto de triángulos isósceles.

Solución:

(i) El conjunto universal para el conjunto de triángulos rectángulos es el conjunto de triángulos o el conjunto de polígonos.

(ii) El conjunto universal para el conjunto de triángulos isósceles es el conjunto de triángulos o el conjunto de polígonos o el conjunto de figuras bidimensionales.

Pregunta 9. Dados los conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} y C = {0, 2, 4, 6, 8}, ¿cuál de los siguientes puede considerarse como conjunto universal? (s) para los tres conjuntos A, B y C

(yo) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(ii) ∅

(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

Solución:

(i) A ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

    segundo ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Pero, C ⊄ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Por tanto, el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} no puede ser el conjunto universal para los conjuntos A, B y C.

(ii) A ⊄ ∅, B ⊄ ∅, C ⊄ ∅

     Por tanto, ∅ no puede ser el conjunto universal para los conjuntos A, B y C.

(iii) A ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

      segundo ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

      C ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

      Por tanto, el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal para los conjuntos A, B y C.

(iv) A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

      segundo ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

      Pero, C ⊄ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

      Por tanto, el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} no puede ser el conjunto universal para los conjuntos A, B y C.