Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 15 Estadísticas – Ejercicio 15.3

Pregunta 1. A partir de los datos proporcionados a continuación, indique qué grupo es más variable, ¿A o B?

Marcas	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50	50 – 60	60 – 70	70 – 80
Grupo A	9	17	32	33	40	10	9
Grupo B	10	20	30	25	43	15	7

Solución:

Para comparar la variabilidad o dispersión de dos series, calculamos el coeficiente de varianza de cada serie. Se dice que la serie que tiene mayor CV es más variable que la otra. Se dice que la serie que tiene menor CV es más consistente que la otra.

Coeficiente de variación (CV) = (σ/ x̅) × 100

Donde, σ = desviación estándar, x̅ = media

Para el Grupo A

Marcas Grupo A ( _fi ) Punto medio (X _i ) Y _i = (x _i – A)/h ( _Yi ) ² yo y _yo_{_} f _yo (y _yo ) ²

10 – 20 9 15 ((15 – 45)/10) = -3 (-3) ² = 9 -27 81

20 – 30 17 25 ((25 – 45)/10) = -2 (-2) ² = 4 -34 68

30 – 40 32 35 ((35 – 45)/10) = -1 (-1) ² = 1 -32 32

40 – 50 33 45 ((45 – 45)/10) = 0 0 ² 0 0

50 – 60 40 55 ((55 – 45)/10) = 1 1 ² = 1 40 40

60 – 70 10 sesenta y cinco ((65 – 45)/10) = 2 2 ² = 4 20 40

70 – 80 9 75 ((75 – 45)/10) = 3 3 ² = 9 27 81

Total 150 -6 342

$Mean,\ \overline{x}=A+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^af_iy_i}{N}\times h$

Donde A = 45,

y y _i = (x _i – A)/h

Aquí h = tamaño de la clase = 20 – 10

h = 10

Entonces, x̅ = 45 + ((-6/150) × 10)

= 45 – 0,4

= 44,6

Entonces, varianza σ ² = $\frac{h^2}{N^2}[N\sum f_iy_i^2-(\sum f_iy_i)^2]$

σ ² = (10 ² /150 ² ) [150(342) – (-6) ² ]

= (100/22500) [51,300 – 36]

= (100/22500) × 51264

= 227,84

Por lo tanto, desviación estándar = σ = √227.84

= 15,09

∴ CV para el grupo A = (σ/ x̅) × 100

= (15,09/44,6) × 100

= 33,83

Ahora, para el grupo B.

Marcas Grupo B ( _fi ) Punto medio X _i Y _i = (x _i – A)/h ( _Yi ) ² yo y _yo_{_} f _yo (y _yo ) ²

10 – 20 10 15 ((15 – 45)/10) = -3 (-3) ² = 9 -30 90

20 – 30 20 25 ((25 – 45)/10) = -2 (-2) ² = 4 -40 80

30 – 40 30 35 ((35 – 45)/10) = -1 (-1) ² = 1 -30 30

40 – 50 25 45 ((45 – 45)/10) = 0 0 ² 0 0

50 – 60 43 55 ((55 – 45)/10) = 1 1 ² = 1 43 43

60 – 70 15 sesenta y cinco ((65 – 45)/10) = 2 2 ² = 4 30 60

70 – 80 7 75 ((75 – 45)/10) = 3 3 ² = 9 21 63

Total 150 -6 366

Significar, $\overline{x}=A+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^af_iy_i}{N}\times h$

Donde A = 45,

h = 10

Entonces, x̅ = 45 + ((-6/150) × 10)

= 45 – 0,4

= 44,6

Entonces, Varianza σ ² = $\frac{h^2}{N^2}[N\sum f_iy_i^2-(\sum f_iy_i)^2]$

σ ² = (10 ² /150 ² ) [150(366) – (-6) ² ]

= (100/22500) [54,900 – 36]

= (100/22500) × 54,864

= 243,84

Por lo tanto, desviación estándar = σ = $\sqrt{243.84}$

= 15,61

∴ CV para el grupo B = (σ/ x̅) × 100

= (15,61/44,6) × 100

= 35

Comparando CV del grupo A y del grupo B.

CV del Grupo B > CV del Grupo A

Entonces, el Grupo B es más variable.

Pregunta 2. A partir de los precios de las acciones X e Y a continuación, averigüe cuál tiene un valor más estable:

X	35	54	52	53	56	58	52	50	51	49
Y	108	107	105	105	106	107	104	103	104	101

Solución:

A partir de los datos dados,

Hagamos la tabla de los datos dados y agreguemos otras columnas después de los cálculos.

X ( _xi ) Y (y _yo ) xi ²_{_} y _yo²

35 108 1225 11664

54 107 2916 11449

52 105 2704 11025

53 105 2809 11025

56 106 8136 11236

58 107 3364 11449

52 104 2704 10816

50 103 2500 10609

51 104 2601 10816

49 101 26360 110290

totales = 510 1050 26360 110290

Tenemos que calcular la media para x,

Media x̅ = $\sum \frac{x_i}{n}$

Donde, n = número de términos

= 510/10

= 51

Entonces, Varianza para x = $\frac{1}{n^2}[N\sum x_i^2-(\sum x_i)^2]$

= (1/10 ² )[(10 × 26360) – 510 ² ]

= (1/100) (263600 – 260100)

= 3500/100

= 35

WKT Desviación estándar = $\sqrt{Variance}$

= √35

= 5,91

Entonces, coeficiente de variación = (σ/ x̅) × 100

= (5,91/51) × 100

= 11,58

Ahora, tenemos que calcular la media para y,

Significar $\overline{y}=\sum \frac{y_i}{n}$

Donde, n = número de términos

= 1050/10

= 105

Entonces, Varianza para y = $\frac{1}{n^2}[N\sum y_i^2-(\sum y_i)^2]$

= (1/10 ² )[(10 × 110290) – 1050 ² ]

= (1/100) (1102900 – 1102500)

= 400/100

= 4

WKT Desviación estándar = $\sqrt{Variance}$

= √4

= 2

Entonces, coeficiente de variación = (σ/ x̅) × 100

= (2/105) × 100

= 1.904

Comparando CV de X e Y.

CV de X > CV de Y

Entonces, Y es más estable que X.

Pregunta 3. Un análisis de los salarios mensuales pagados a los trabajadores de dos empresas A y B, pertenecientes a la misma industria, arroja los siguientes resultados:

	Empresa A	Empresa B
Nº de asalariados	586	648
Media de salarios mensuales	$5253	$5253
Varianza de la distribución de los salarios	100	121

(i) ¿Qué empresa A o B paga una mayor cantidad como salarios mensuales?

(ii) ¿Qué empresa, A o B, muestra una mayor variabilidad en los salarios individuales?

Solución:

(i) De la tabla dada,

Salario mensual medio de la empresa A = Rs 5253

y Número de asalariados = 586

Después,

Monto total pagado = 586 × 5253

= 3078258 rupias

Salario mensual medio de la empresa B = Rs 5253

Número de asalariados = 648

Después,

Monto total pagado = 648 × 5253

= 34,03,944 rupias

Entonces, la empresa B paga una cantidad mayor como salarios mensuales.

(ii) Varianza de la empresa A = 100

Sabemos que, desviación estándar (σ)= √100

=10

Varianza de la empresa B = 121

Después,

Desviación estándar (σ)=√(121 )

=11

Por lo tanto, la desviación estándar es mayor en el caso de la empresa B, lo que significa que en la empresa B hay una mayor variabilidad en los salarios individuales.

Pregunta 4. El siguiente es el registro de goles marcados por el equipo A en una sesión de fútbol:

Nº de goles marcados	0	1	2	3	4
Nº de partidos	1	9	7	5	3

Para el equipo B, el número medio de goles marcados por partido fue de 2 con una desviación estándar de 1,25 goles. ¿Encuentra qué equipo puede considerarse más consistente?

Solución:

A partir de los datos dados,

Hagamos la tabla de los datos dados y agreguemos otras columnas después de los cálculos.

Número de goles x _i Número de partidos f _i arreglar _yo x _yo xi ²_{_} _fi x _yo² _

0 1 0 0 0

1 9 9 1 9

2 7 14 4 28

3 5 15 9 45

Total 25 50 130

Primero tenemos que calcular la media para el equipo A,

Media = $\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}=\frac{50}{25}=2$

Después,

Varianza = $\frac{1}{N^2}[N\sum f_ix_i^2-(\sum f_ix_i)^2]\\ =\frac{1}{25^2}[25\times130-2500]=\frac{750}{625}=1.2$

Sabemos que, desviación estándar σ = $\sqrt{Variance}=\sqrt{1.2}=1.09$

Por lo tanto coeficiente de variación del equipo A,

$C.V._A =\frac{\sigma}{\overline{x}}\times100=\frac{1.09}{2}\times100=54.5$

Para el equipo B

Dado, x̅ = 2

Desviación estándar σ = 1,25

Entonces, coeficiente de variación del Equipo B,

$\Rightarrow C.V._B=\frac{1.25}{2}\times100=6.25$

Dado que el CV de la empresa B es mayor

∴ El equipo A es más consistente.

Pregunta 5. La suma y la suma de los cuadrados correspondientes a la longitud x (en cm) y el peso y (en g) de 50 productos vegetales se dan a continuación:

$\displaystyle \sum_{i=1}^{50} x_i=212,\ \ \sum_{i=1}^{50}x_i^2=902.8,\ \ \sum_{i=1}^{50}y_i=261,\ \ \sum_{i=1}^{50}y_i^2=1457.6$

¿Qué varía más, la longitud o el peso?

Solución:

Primero tenemos que calcular la media para la longitud x,

Media = $\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{212}{50}=4.24$

Después,

Varianza = $\frac{1}{N^2}[N\sum f_ix_i^2-(\sum f_ix_i)^2]\\ =\left(\frac{1}{50^2}\right)[(50\times902.8)-212^2]\\ =\left(\frac{1}{2500}\right)(45140-44944)\\ =\frac{196}{2500}\\ =0.0784$

Sabemos que, desviación estándar σ = $\sqrt{Variance}\\ =\sqrt{0.0784}\\ =0.28$

Por lo tanto coeficiente de variación del equipo A,

$C.V._x=\frac{\sigma}{\overline{x}}\times100=\frac{0.28}{4.24}\times100=6.603$

Ahora tenemos que calcular la media del peso y

$\overline{y}=\sum\frac{y}{n}\\ =\frac{261}{50}\\ =5.22$

Después,

Varianza = $\left(\frac{1}{N^2}\right)[(N\sum f_iy_i^2)-(\sum f_iy_i)^2]\\ =\left(\frac{1}{50^2}\right)[(50\times1457.6)-261^2]\\ =\left(\frac{1}{2500}\right)(72880-68121)\\ =\frac{4759}{2500}\\ =1.9036$

Cuando se sabe que, desviación estándar σ = $\sqrt{Variance}\\ =\sqrt{1.9036}\\ =1.37$

Entonces, coeficiente de varianza del Equipo B,

$C.V._y=\frac{\sigma}{\overline{x}}\times100=\frac{1.37}{5.22}\times100=26.24$

Dado que el CV del peso de la empresa y es mayor

∴ El peso es más variable.

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por yashkumar0457 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1. A partir de los datos proporcionados a continuación, indique qué grupo es más variable, ¿A o B?

Pregunta 2. A partir de los precios de las acciones X e Y a continuación, averigüe cuál tiene un valor más estable:

Pregunta 3. Un análisis de los salarios mensuales pagados a los trabajadores de dos empresas A y B, pertenecientes a la misma industria, arroja los siguientes resultados:

Pregunta 4. El siguiente es el registro de goles marcados por el equipo A en una sesión de fútbol:

Pregunta 5. La suma y la suma de los cuadrados correspondientes a la longitud x (en cm) y el peso y (en g) de 50 productos vegetales se dan a continuación:

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