En cada uno de los siguientes ejercicios 1 a 6, encuentre las coordenadas del foco, el eje de la parábola, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum.
Pregunta 1: y 2 = 12x
Solución:
Ecuación dada: y 2 = 12x
Dado que el coeficiente de x es positivo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia la derecha.
Al comparar esta ecuación con y 2 = 4ax, obtenemos,
4a = 12
un = 3
Por lo tanto, las coordenadas del foco = (a, 0) = (3, 0)
Dado que la ecuación dada implica y 2 ,
El eje de la parábola es el eje x.
Así, la ecuación de la directriz, x = -a, por lo tanto
X = -3
La longitud del latus rectum = 4a = 4 × 3 = 12
Pregunta 2: x 2 = 6y
Solución:
Ecuación dada: x 2 = 6y
Dado que el coeficiente de y es positivo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia arriba.
Al comparar esta ecuación con x 2 = 4ay, obtenemos,
4a = 6
un = 6/4
= 3/2
Por tanto, las coordenadas del foco = (0, a) = (0, 3/2)
Dado que, la ecuación dada implica x 2 ,
El eje de la parábola es el eje y.
Así, la ecuación de la directriz, y =-a, por lo tanto,
y = -3/2
La longitud del latus rectum = 4a = 4(3/2) = 6
Pregunta 3: y 2 = – 8x
Solución:
Ecuación dada: y 2 = -8x
Como el coeficiente de x es negativo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia la izquierda.
Al comparar esta ecuación con y 2 = -4ax, obtenemos,
-4a = -8
a = -8/-4 = 2
Por tanto, las coordenadas del foco = (-a,0) = (-2, 0)
Dado que la ecuación dada implica y 2 ,
El eje de la parábola es el eje x.
Así, la ecuación de la directriz, x = a, por lo tanto,
x = 2
La longitud del latus rectum = 4a = 4 (2) = 8
Pregunta 4: x 2 = – 16y
Solución:
Ecuación dada: x 2 = -16y
Dado que el coeficiente de y es negativo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia abajo.
Al comparar esta ecuación con x 2 = -4ay, obtenemos,
-4a = -16
a = -16/-4
= 4
Por tanto, las coordenadas del foco = (0,-a) = (0,-4)
Dado que, la ecuación dada implica x 2 ,
El eje de la parábola es el eje y.
Así, la ecuación de la directriz, y =a, entonces,
y = 4
La longitud del latus rectum = 4a = 4(4) = 16
Pregunta 5: y 2 = 10x
Solución:
Ecuación dada: y 2 = 10x
Dado que el coeficiente de x es positivo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia la derecha.
Al comparar esta ecuación con y 2 = 4ax, obtenemos,
4a = 10
a = 10/4 = 5/2
Por lo tanto, coordenadas del foco = (a, 0) = (5/2, 0)
Dado que la ecuación dada implica y 2 ,
El eje de la parábola es el eje x.
Así, la ecuación de la directriz, x = -a, entonces,
x = – 5/2
La longitud del latus rectum = 4a = 4(5/2) = 10
Pregunta 6: x 2 = – 9y
Solución:
Ecuación dada: x 2 = -9y
Dado que el coeficiente de y es negativo.
Por lo tanto, la parábola se abrirá hacia abajo.
Al comparar esta ecuación con x 2 = -4ay, obtenemos,
-4a = -9
a = -9/-4 = 9/4
Por tanto, coordenadas del foco = (0,-a) = (0, -9/4)
Dado que, la ecuación dada implica x 2 ,
El eje de la parábola es el eje y.
Así, la ecuación de la directriz, y = a, entonces,
y = 9/4
La longitud del latus rectum = 4a = 4(9/4) = 9
En cada uno de los Ejercicios 7 al 12, encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas:
Pregunta 7: Enfoque (6,0); directriz x = – 6
Solución:
Dado: Foco (6,0) y directriz x = -6
Como el foco está en el eje x
El eje x es el eje de la parábola.
Como la directriz, x = -6, por lo tanto, está a la izquierda del eje y,
La ecuación de la parábola es y 2 = 4ax
Aquí, a = 6
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = 24x.
Pregunta 8: Foco (0, –3); directriz y = 3
Solución:
Dado: Foco (0, -3) y directriz y = 3
Como el foco está en el eje y,
El eje y es el eje de la parábola.
Como la directriz dada, y = 3, por lo tanto, está por encima del eje x,
La ecuación de la parábola es x 2 = -4ay
Aquí, a = 3
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es x 2 = -12y.
Pregunta 9: Vértice (0, 0); foco (3, 0)
Solución:
Dado: Vértice (0, 0) y foco (3, 0)
Como el vértice de la parábola es (0, 0)
El foco se encuentra en el eje x positivo.
La parábola es de la forma y 2 = 4ax.
Como el foco es (3, 0), a = 3
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = 4 × 3 × x,
y 2 = 12x
Pregunta 10: Vértice (0, 0); foco (–2, 0)
Solución:
Dado: Vértice (0, 0) y foco (-2, 0)
Como el vértice de la parábola es (0, 0)
El foco se encuentra en el eje x positivo.
La parábola es de la forma y 2 =-4ax.
Como el foco es (-2, 0), a = 2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = -4 × 2 × x,
y2 = -8x
Pregunta 11: Vértice (0, 0) que pasa por (2, 3) y el eje está a lo largo del eje x.
Solución:
Dado: el vértice es (0, 0) y el eje está a lo largo del eje x
También dado que la parábola pasa por el punto (2, 3), que se encuentra en el primer cuadrante.
Dado que la ecuación de la parábola es y 2 = 4ax mientras que el punto (2, 3) debe satisfacer la ecuación y 2 = 4ax.
Por lo tanto,
3 2 = 4a(2)
3 2 = 8a
9 = 8a
un = 9/8
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es
y2 = 4 (9/8)x
= 9x/2
2y 2 = 9x
Por tanto, la ecuación de la parábola es 2y 2 = 9x
Pregunta 12: Vértice (0, 0), que pasa por (5, 2) y simétrico con respecto al eje y.
Solución:
Dado: el vértice es (0, 0) y la simetría es con respecto al eje y.
También dado que la parábola pasa por el punto (5, 2), que se encuentra en el primer cuadrante.
Ya que, la ecuación de la parábola es x 2 = 4ay mientras que el punto (5, 2) debe satisfacer la ecuación x 2 = 4ay.
Por lo tanto,
5 2 = 4a(2)
25 = 8a
a = 25/8
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es
x2 = 4 (25/8)y
x2 = 25y/ 2
2x 2 = 25y
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 2x 2 = 25y
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por Mandeep_Sheoran y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA