Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 13 Límites y derivadas – Ejercicio 13.1

Evalúe los siguientes límites en los ejercicios 1 a 22.

Pregunta 1: $\lim_{x \to 3} x+3$

Solución:

En $\lim_{x \to 3} x+3$ , como x⇢3

Ponga x = 3, obtenemos

$\lim_{x \to 3} x+3$ = 3+3

= 6

Pregunta 2: $\lim_{x \to \pi} (x-\frac{22}{7})$

Solución:

En $\lim_{x \to \pi} (x-\frac{22}{7})$ , como x⇢π

Ponga x = π, obtenemos

$\lim_{x \to \pi} (x-\frac{22}{7}) = (π-\frac{22}{7})$

= $(π-\frac{22}{7})$

Pregunta 3: $\lim_{r \to 1} \pi r^2$

Solución:

En $\lim_{r \to 1} \pi r^2$ , como r⇢1

Ponga r = 1, obtenemos

$\lim_{r \to 1} \pi r^2 = \pi (1)^2$

= π

Pregunta 4: $\lim_{x \to 4} (\frac{4x+3}{x-2})$

Solución:

En $\lim_{x \to 4} (\frac{4x+3}{x-2})$ , como x⇢4

Ponga x = 4, obtenemos

$\lim_{x \to 4} (\frac{4x+3}{x-2}) = \frac{4(4)+3}{4-2}$

= $\frac{19}{2}$

Pregunta 5: $\lim_{x \a -1} (\frac{x^{10}+x^5+1}{x-1})$

Solución:

En $\lim_{x \a -1} (\frac{x^{10}+x^5+1}{x-1})$ , como x⇢-1

Ponga x = -1, obtenemos

$\lim_{x \a -1} (\frac{x^{10}+x^5+1}{x-1}) = \frac{(-1)^{10}+(-1)^5 +1}{-1-1}$

= $\frac{1-1+1}{-2}$

= $\frac{-1}{2}$

Pregunta 6: $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x} = \frac{(0+1)^5-1}{0} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, tomemos x+1=p y x = p-1, para hacerlo equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to a} \frac{x^na^n}{xa} = na^{n-1}}$

Como, x⇢0 ⇒ p⇢1

$\lim_{p \to 1} \frac{(p)^5-1}{p-1} = \lim_{p \to 1} \frac{(p)^5-1^5}{p-1 }$

Aquí, n=5 y a = 1.

$\lim_{p \to 1} \frac{(p)^5-1}{p-1} = 5(1)^{5-1}$

= 5(1) ⁴

= 5

Pregunta 7: $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4}$

Solución:

En $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4}$ , como x⇢2

Ponga x = 2, obtenemos

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4} = \frac{3(2)^2-2-10}{2^2-4} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, factoricemos el numerador y el denominador, obtenemos

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-6x+5x-10}{x^2-4}$

= $\lim_{x \to 2} \frac{(3x+5)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Cancelando (x-2), tenemos

= $\lim_{x \to 2} \frac{(3x+5)}{(x+2)}$

Ponga x = 2, obtenemos

$\lim_{x \to 2} \frac{(3x+5)}{(x+2)} = \frac{(3(2)+5)}{(2+2)}$

= $\frac{11}{4}$

Pregunta 8: $\lim_{x \to 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3}$

Solución:

En $\lim_{x \to 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3}$ , como x⇢3

Ponga x = 3, obtenemos

$\lim_{x \to 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3} = \frac{(3)^4-81}{2(3)^2-5(3)-3} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, factoricemos el numerador y el denominador, obtenemos

$\lim_{x \to 3} \frac{(x^2)^2-9^2}{2x^2-6x+x-3}$

= $\lim_{x \to 3} \frac{(x^2-9)(x^2+9)}{(2x+1)(x-3)}$

= $\lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)(x^2+9)}{(2x+1)(x-3)}$

Cancelando (x-3), tenemos

= $\lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x^2+9)}{(2x+1)}$

Ponga x = 3, obtenemos

= $\lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x^2+9)}{(2x+1)} = \frac{(3+3)(3^2+9)}{(2(3)+1)}$

= $\frac{9\times 18}{7}$

= $\frac{108}{7}$

Pregunta 9: $\lim_{x \to 0} \frac{ax+b}{cx+1}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{ax+b}{cx+1}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{ax+b}{cx+1} = \frac{a(0)+b}{c(0)+1}$

= segundo

Pregunta 10: $\lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}$

Solución:

En $\lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}$ , como z⇢1

Ponga z = 1, obtenemos

$\lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1} = \frac{1^{\frac{1}{3}}-1}{1^{\frac{1}{6}}-1} = \frac{0}{0}$

Tomemos $z^{\frac{1}{6}}$ = p y $z^{\frac{1}{3}}$ = p ² ,

Como, z⇢1 ⇒ p⇢1

= $\lim_{p \to 1} \frac{p^2-1}{p-1}$

Ahora, factoricemos el numerador, obtenemos

= $\lim_{p \to 1} \frac{(p-1)(p+1)}{p-1}$

Cancelando (p-1), tenemos

= $\lim_{p \to 1} (p+1)$

Ponga p = 1, obtenemos

$\lim_{p \to 1} (p+1) = 1+1$

= 2

Pregunta 11: $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a},\hspace{0.1cm}a+b+c\neq0$

Solución:

En $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a}$ , como x⇢1

Ponga x = 1, obtenemos

$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a} = \frac{a(1)^2+b(1)+c}{c(1)^2+b(1)+a}$

= $\frac{a+b+c}{c+b+a}$

= 1 (Como se da a+b+c≠0)

Pregunta 12: $\lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x+2}$

Solución:

En $\lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x+2}$ , como x⇢-2

En primer lugar, simplifiquemos la ecuación

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x+2} = \frac{\frac{2+x}{2x}}{x+2}$

Cancelando (x+2), obtenemos

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{2x}$

Ponga x = -2, obtenemos

$\lim_{x \to -2} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2(-2)}$

= $\frac{-1}{4}$

Pregunta 13: $\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{bx}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{bx}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{bx} = \frac{sin\hspace{0.1cm}a(0)}{b(0)} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, multipliquemos y dividamos la ecuación por a, para que sea equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}x}{x} = 1}$

Por lo tanto, tenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{bx} \times \frac{a}{a}$

= $\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{ax} \times \frac{a}{b}$

= $\frac{a}{b} \lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{ax}$

Como x⇢0, entonces ax⇢0

= $\frac{a}{b} \lim_{ax \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{ax}$

Usando el teorema, obtenemos

= $\frac{a}{b} . 1$

= $\frac{a}{b}$

Pregunta 14: $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{sin \hspace{0.1cm}bx},\hspace{0.1cm}a,b\neq0$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{sin \hspace{0.1cm}bx}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{sin \hspace{0.1cm}bx} = \frac{sin \hspace{0.1cm}a(0)}{sin \hspace{0.1cm}b(0)} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, multipliquemos y dividamos el numerador por ax y el denominador por bx para que sea equivalente al teorema.

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}x}{x} = 1}$

Por lo tanto, tenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin \hspace{0.1cm}(ax) \times ax}{ax}}{\frac{sin \hspace{0.1cm}(bx) \times bx}{bx}}$

= $\frac{a}{b}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{ax}}{\frac{sin \hspace{0.1cm}bx}{bx}}$

= $\frac{a}{b} \frac{\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{ax}}{\lim_{x \to 0}\frac{sin \hspace{0.1cm}bx}{bx}}$

Usando el teorema, obtenemos

= $\frac{a}{b} . 1 .1$

= $\frac{a}{b}$

Pregunta 15: $\lim_{x \to \pi} \frac{sin(\pi-x)}{\pi(\pi-x)}$

Solución:

En $\lim_{x \to \pi} \frac{sin(\pi-x)}{\pi(\pi-x)}$ , como x⇢π

Ponga x = π, obtenemos

$\lim_{x \to \pi} \frac{sin(\pi-x)}{\pi(\pi-x)} = \frac{sin(\pi-\pi)}{\pi(\pi-\pi)} = \frac{0}{0}$

Como, este límite se vuelve indefinido.

Ahora, tomemos π-x=p

Como, x⇢π ⇒ p⇢0

$\mathbf{\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}x}{x} = 1}$

= $\lim_{p \to 0} \frac{sin p}{p\pi}$

= $\frac{1}{\pi} \lim_{p \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm} p}{p}$

Usando el teorema, obtenemos

= $1. \frac{1}{\pi}$

= $\frac{1}{\pi}$

Pregunta 16: $\lim_{x \to 0} \frac{cos\hspace{0.1cm}x}{(\pi-x)}$

Solución:

En $\lim_{x \to 0} \frac{cos\hspace{0.1cm}x}{(\pi-x)}$ , como x⇢0

Ponga x = 0, obtenemos

$\lim_{x \to 0} \frac{cos\hspace{0.1cm}x}{(\pi-x)} = \frac{cos\hspace{0.1cm}0}{(\pi-0)}$

= $\frac{1}{\pi}$

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 13 Límites y derivadas – Ejercicio 13.1 | Serie 1

Evalúe los siguientes límites en los ejercicios 1 a 22.

Pregunta 1: $\lim_{x \to 3} x+3$

Pregunta 2: $\lim_{x \to \pi} (x-\frac{22}{7})$

Pregunta 3: $\lim_{r \to 1} \pi r^2$

Pregunta 4: $\lim_{x \to 4} (\frac{4x+3}{x-2})$

Pregunta 5: $\lim_{x \a -1} (\frac{x^{10}+x^5+1}{x-1})$

Pregunta 6: $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}$

Pregunta 7: $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2-x-10}{x^2-4}$

Pregunta 8: $\lim_{x \to 3} \frac{x^4-81}{2x^2-5x-3}$

Pregunta 9: $\lim_{x \to 0} \frac{ax+b}{cx+1}$

Pregunta 10: $\lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}$

Pregunta 11: $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2+bx+c}{cx^2+bx+a},\hspace{0.1cm}a+b+c\neq0$

Pregunta 12: $\lim_{x \to -2} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}}{x+2}$

Pregunta 13: $\lim_{x \to 0} \frac{sin\hspace{0.1cm}ax}{bx}$

Pregunta 14: $\lim_{x \to 0} \frac{sin \hspace{0.1cm}ax}{sin \hspace{0.1cm}bx},\hspace{0.1cm}a,b\neq0$

Pregunta 15: $\lim_{x \to \pi} \frac{sin(\pi-x)}{\pi(\pi-x)}$

Pregunta 16: $\lim_{x \to 0} \frac{cos\hspace{0.1cm}x}{(\pi-x)}$

Deja una respuesta Cancelar la respuesta