Pregunta 1. Encuentra el coeficiente de x 5 en (x+3) 8
Solución:
El (r+1) ésimo término de (x+3) 8 está dado por T r+1 = 8 C r (x) 8-r (3) r (eq1).
Por lo tanto, para x 5 necesitamos obtener 8-r =5 (Porque necesitamos encontrar x 5 . Por lo tanto, la potencia ox debe ser igual a 5)
Entonces obtenemos r=3.
Ahora, pon r=3 en eq1. Obtenemos,
Coeficiente de x 5 = 8 C 3 (x) 5 (3) 3 = 8!*3 3 /(4!*4!) = 1512
El coeficiente de x 5 es 1512.
Pregunta 2. Encuentra el coeficiente de a 5 b 7 en (a-2b) 12 .
Solución:
El (r+1) ésimo término de (a-2b) 12 está dado por T r+1 = 12 C r (a) 12-r (-2b) r × (eq1)
En la pregunta se da que el exponente de b es 7. Por lo tanto, r debe ser igual a 7.
Poniendo r=7 en eq1, obtenemos
Coeficiente de a 5 b 7 = 12 C 7 (-2) 7 = -101376
Pregunta 3. Escribe el término general en la expansión de (x 2 −y) 6 .
Solución:
El término general de la ecuación (a+b) n se da como T r+1 = n C r (a) nr (b) r .
En esta pregunta a= x 2 yb=-y. Después de poner el valor de a, b y n, obtenemos el término general como
V r+1 = 6 C r (x 2 ) (12-r) (-y) 6 = (-1) r 6 C r (x) (12-2r) (y) r .
Pregunta 4. Escribe el término general en la expansión de (x 2 -yx) 12 .
Solución:
El término general de la ecuación (a+b) n se da como T r+1 = n C r (a) nr (b) r .
En esta pregunta a= x 2 yb=-yx. Después de poner el valor de a, b y n, obtenemos el término general como
T r+1 = 12 C r (x 2 ) (12-r) (-yx) r = (-1) r 12 C r (x) (24-2r) (y) r (x) r = (- 1) r 12 C r (x) (24-r) (y) r
Pregunta 5. Encuentra el 4 to término en la expansión de (x-2y) 12
Solución:
El término general en la expansión de (a+b) n se escribe como T r+1 = n C r (a) nr (b) r
En la pregunta se nos da que a = x, b = -2y y n=12.
Para obtener el cuarto término , necesitamos poner r = 3 (Porque r+1=4, por lo tanto, r=3).
Por lo tanto, T 4 = 12 C 3 (x) 12-3 (-2y) 3 = −1760x 9 y 3
Pregunta 6. Encuentra el término 13 en la expansión de (9x-1/3√x) 18
Solución:
El término general en la expansión de (a+b) n se escribe como T r+1 = n C r (a) nr (b) r
En esta pregunta a = 9x, b= -1/3√x y n=18.
Para obtener el término 13 , necesitamos poner r=12 (Porque r+1=13, por lo tanto, r=12).
Por lo tanto, T 13 = 18 C 12 (9x) 18-12 (-1/3√x) 12 = 18564
Pregunta 7. Encuentra los términos medios en la expansión de (3−x 3 /6) 7 .
Solución:
En la expansión de (a+b) n , si n es impar, entonces hay dos términos medios, a saber, ((n+1)/2) th y ((n+1)/2+1) th term.
Por lo tanto, los términos medios en la expansión de (3−x 3/6 ) 7 son el 4 ° término y el 5 ° término.
T 4 = T 3+1 = 7 C 3 (3) 7-3 (−x 3 /6) 3 = (-1) 3 7!3 4 x 9 /4!.3!6 3 =-105x 9 / 8
T 5 = T 4+1 = 7 C 4 (3) 7-4 (−x 3 /6) 4 = (-1) 4 7!3 3 x 12 /4!3!6 4 = 35x 12 /48
Así, los términos medios son -105x 9/8 y 35x 12/48 .
Pregunta 8. Encuentra los términos medios en la expansión de (x/3+9y) 10
Solución:
En la expansión de (a+b) n , si n es par, entonces el término medio es (n/2+1) el término.
Por lo tanto, el término medio es el 6 ° término.
T 6 = T 5+1 = 10 C 5 (x/3) 5 (9y) 5 = (10!x 5 9 5 y 5 )/(5!5!3 5 ) = 61236x 5 y 5
Así, el término medio es 61236x 5 y 5
Pregunta 9. En el desarrollo de (1+a) m+n , demuestre que los coeficientes de a m y an son iguales.
Solución:
Supongamos que aparece una m en el (r+1) ésimo término, obtenemos
T r+1 = m+n C r (1) m+nr (a) r = m+n C r un r
Comparando los índices de a en a m y en T r+1 , obtenemos r=m
Por tanto, el coeficiente de a m es m+n C m = (m+n)!/m!n! …(1)
Supongamos que un n ocurre en el (k+1) th , obtenemos
T k+1 = m+n C k (1) m+nk (a) k = m+n C k un k
Comparando los índices de a en a n y T k+1 , obtenemos kn
Por lo tanto, el coeficiente de a n es m+n C n = (m+n)!/m!n! ….(2)
Así , de (1) y (2), se puede obtener que los coeficientes de a my an son iguales.
Pregunta 10. Los coeficientes de los (r-1) th , r th y (r+1) th términos en la expansión de (x+1) n están en la proporción de 1:3:5. Encuentre n y r.
Solución:
(r-1) el término en el desarrollo de (x+1) n es T r-1 = n C r-2 (x) n-(r-2) (1) r-2 = n C r-2 (x) nr+2
r- ésimo término en el desarrollo de (x+1) n es T r = n C r-1 (x) n-(r-1) (1) r-1 = n C r-1 (x) n-r +1
(r+1) el término en el desarrollo de (x+1) n es T r+1 = n C r (x) nr (1) r = n C r (x) nr
Por lo tanto los coeficientes de (r-1) th , r th y (r+1) th en la expansión de (x+1) n son n C r-2 , n C r-1 y n C r respectivamente.
Como estos coeficientes están en la razón de 1:3:5, obtenemos
n C r-2 / n C r -1 = 1/3 y n C r-1 / n C r = 3/5
Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos n-4r+5=0 y 3n-8r+3=0.
Después de resolver estas dos ecuaciones, obtenemos n=7 y r=3
Así n=7 yr=3.
Pregunta 11. Demuestre que el coeficiente de x^n en la expansión de (1+x) 2n es el doble del coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n-1 .
Solución:
En la expansión de (1+x) 2n , T n+1 = 2n C n (1) 2n-n (x) n = 2n C n x n
Por lo tanto, el coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n es 2n C n
2n C n = (2n)!/(n!) 2 ….(1)
De manera similar, el coeficiente de x n en la expansión de (1+x) 2n-1 es 2n-1 C n
2n-1 C n = (2n)!/2.(n!) 2 …(2)
De (1) y (2), 2. 2n-1 C n = 2n C n
Por tanto, se prueba que el coeficiente de x n en el desarrollo de (1+x) 2n es el doble del coeficiente de x n en el desarrollo de (1+x) 2n-1
Pregunta 12. Encuentra un valor positivo de m para el cual el coeficiente de x 2 en la expansión de (1+x) m sea 6.
Solución:
Término general T r+1 = m C r (1) mr (x) r = m C r (x) r
Comparando los índices de x en x 2 y T r+1 , obtenemos r=2
Por lo tanto, m C 2 = 6
= 6
m!/(m-2)!=12
m(m-1) = 12=> m2 -m -12 = 0
(m-4)(m+3) = 0
m no puede ser negativo. Por lo tanto, m=4