Pregunta 1. Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma pendiente-intersección y encuentre sus pendientes y las intersecciones en y.
(yo) x + 7y = 0
(ii) 6x + 3y – 5 = 0
(iii) y = 0
Solución:
(yo) x + 7y = 0
Dado que,
La ecuación es x + 7y = 0
Pendiente: la forma de intersección se representa como y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección en y
Por lo tanto, la ecuación anterior se puede representar como,
y = -1/7x + 0
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma de y = mx + c, donde m = -1/7 y c = 0.
(ii) 6x + 3y – 5 = 0
Dado que,
La ecuación es 6x + 3y – 5 = 0
Pendiente: la forma de intersección se representa como y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección en y
Por lo tanto, la ecuación anterior se puede representar como,
3y = -6x + 5
y = -6/3x + 5/3 = -2x + 5/3
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma de y = mx + c, donde m = -2 y c = 5/3.
(iii) y = 0
Dado que,
La ecuación es y = 0
Pendiente: la forma de intersección se representa como y = mx + c, donde m es la pendiente y c es la intersección en y
Por lo tanto, la ecuación anterior se puede representar como,
y = 0 × x + 0
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma de y = mx + c, donde m = 0 y c = 0.
Pregunta 2. Reduzca las siguientes ecuaciones a la forma de intersección y encuentre sus intersecciones en los ejes.
(yo) 3x + 2y – 12 = 0
(ii) 4x – 3y = 6
(iii) 3y + 2 = 0
Solución:
(yo) 3x + 2y – 12 = 0
Dado que,
La ecuación es 3x + 2y – 12 = 0
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma de intersección es x/a + y/b = 1, donde a y b son intersecciones en el eje x y el eje y, respectivamente.
Por lo tanto, 3x + 2y = 12
Dividamos ambos lados por 12 y obtendremos
3x/12 + 2y/12 = 12/12
x/4 + y/6 = 1
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x/a + y/b = 1, donde a = 4, b = 6
Intersección en el eje x = 4
Intersección en el eje y = 6
(ii) 4x – 3y = 6
Dado que,
La ecuación es 4x – 3y = 6
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma de intersección es x/a + y/b = 1, donde a y b son intersecciones en el eje x y el eje y, respectivamente.
Por lo tanto, 4x – 3y = 6
dividamos ambos lados por 6, y obtendremos
4x/6 – 3y/6 = 6/6
2x/3 – y/2 = 1
x/(3/2) + y/(-2) = 1
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x/a + y/b = 1, donde a = 3/2, b = -2
Intersección en el eje x = 3/2
Intersección en el eje y = -2
(iii) 3y + 2 = 0
Dado que,
La ecuación es 3y + 2 = 0
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma de intersección es x/a + y/b = 1, donde a y b son intersecciones en el eje x y el eje y, respectivamente.
Por lo tanto, 3y = -2
Dividamos ambos lados por -2 y obtendremos
3y/-2 = -2/-2
3y/-2 = 1
y/(-2/3) = 1
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x/a + y/b = 1, donde a = 0, b = -2/3
Intersección en el eje x = 0
Intersección en el eje y = -2/3
Pregunta 3. Reduzca las siguientes ecuaciones a su forma normal. Encuentre sus distancias perpendiculares desde el origen y el ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo.
(yo) x – √3y + 8 = 0
(ii) y – 2 = 0
(iii) x – y = 4
Solución:
(yo) x – √3y + 8 = 0
Dado que,
La ecuación es x – √3y + 8 = 0
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma normal está dada por x cos θ + y sin θ = p donde θ es el ángulo entre el eje x perpendicular y positivo y p es la distancia perpendicular desde el origen, respectivamente.
Por lo tanto, x – √3y + 8 = 0
x – √3y = -8
Dividamos ambos lados por √(1 2 + (√3) 2 ) = √(1 + 3) = √4 = 2, y obtendremos,
x/2 – √3y/2 = -8/2
(-1/2)x + √3/2y = 4
Ahora la ecuación anterior tiene la forma de x cos 120 o + y sen 120 o = 4
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x cos θ + y sin θ = p, donde θ = 120° y p = 4.
Distancia perpendicular de la línea desde el origen = 4
Ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo = 120°
(ii) y – 2 = 0
Dado que,
La ecuación es y – 2 = 0
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma normal viene dada por x cos θ + y sin θ = p donde θ es el ángulo entre el eje x positivo y el perpendicular y p es la distancia perpendicular desde el origen, respectivamente.
Por lo tanto, 0 × x + 1 × y = 2
Dividamos ambos lados por √(0 2 + 1 2 ) = √1 = 1, y obtendremos,
0 (x) + 1 (y) = 2
Ahora la ecuación anterior tiene la forma de x cos 90 o + y sen 90 o = 2
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x cos θ + y sin θ = p, donde θ = 90° y p = 2.
La distancia perpendicular de la línea desde el origen es 2 y
El ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo es de 90°
(iii) x – y = 4
Dado que,
La ecuación es x – y + 4 = 0
Como sabemos, la ecuación de la línea en forma normal viene dada por x cos θ + y sin θ = p donde θ es el ángulo entre el eje x positivo y el perpendicular y p es la distancia perpendicular desde el origen, respectivamente.
Por lo tanto, x – y = 4
Dividamos ambos lados por √(1 2 + 1 2 ) = √(1+1) = √2, y obtendremos,
x/√2 – y/√2 = 4/√2
(1/√2)x + (-1/√2)y = 2√2
Ahora la ecuación anterior tiene la forma de x cos 315 o + y sen 315 o = 2√2
Por lo tanto, la ecuación anterior tiene la forma x cos θ + y sin θ = p, donde θ = 315° y p = 2√2.
La distancia perpendicular de la línea desde el origen es 2√2 y
El ángulo entre la perpendicular y el eje x positivo es de 315°
Pregunta 4. Encuentra la distancia del punto (–1, 1) desde la línea 12(x + 6) = 5(y – 2).
Solución:
Dado que,
La ecuación de la recta es 12(x + 6) = 5(y – 2).
12x + 72 = 5y – 10
12x – 5y + 82 = 0 ——–(yo)
Ahora, después de comparar la ecuación (i) con la ecuación general de la línea Ax + By + C = 0, obtenemos A = 12, B = –5 y C = 82
La distancia perpendicular d de una recta Ax + By + C = 0 desde un punto (x1, y1) viene dada por,
d = |Ax1 + By1 + C| / √A 2 + B 2
Dados los puntos (x1, y1) son (-1, 1)
La distancia del punto (-1, 1) desde el punto dado es
d = |12 x (-1) + (-5) + 82| / √12 2 + (-5) 2 = 65 / 13 unidades
= 5 unidades.
Por lo tanto, la distancia es de 5 unidades.
Pregunta 5. Encuentra los puntos en el eje x, cuyas distancias desde la línea x/3 + y/4 = 1 son 4 unidades.
Solución:
Dado que,
La ecuación de la recta es x/3 + y/4 = 1
4x + 3y = 12
4x + 3y – 12 = 0 ——(yo)
Ahora, después de comparar la ecuación (i) con la ecuación general de la línea Ax + By + C = 0, obtenemos A = 4, B = 3 y C = -12
Supongamos que (a, 0) es el punto en el eje x, cuya distancia a la línea dada es de 4 unidades.
Por tanto, la distancia perpendicular d de una recta Ax + By + C = 0 desde un punto (x1, y1) viene dada por,
d = |Ax1 + By1 + C| / √A 2 + B 2
4 = |4a + 3 × 0 – 12| / √4 2 + 3 2
4 = |4a – 12| / 5
|4a – 12| = 4 × 5
± (4a – 12) = 20
4a – 12 = 20 o – (4a – 12) = 20
4a = 20 + 12 o 4a = -20 + 12
a = 32/4 o a = -8/4
a = 8 o a = -2
Por lo tanto, los puntos requeridos en el eje x son (-2, 0) y (8, 0)
Pregunta 6. Encuentra la distancia entre rectas paralelas
(i) 15x + 8y – 34 = 0 y 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l(x + y) + p = 0 y l (x + y) – r = 0
Solución:
(i) 15x + 8y – 34 = 0 y 15x + 8y + 31 = 0
Dado que,
Las rectas paralelas son 15x + 8y – 34 = 0 y 15x + 8y + 31 = 0.
Usando la fórmula, la distancia d entre las líneas paralelas Ax + By + C 1 = 0 y Ax + By + C 2 = 0 está dada por,
re = |do 1 – do 2 | / √A 2 + B 2
De la ecuación dada obtenemos, A = 15, B = 8, C 1 = -34, C 2 = 31
Ahora aplique la fórmula y calcule la distancia entre líneas paralelas,
d = |-34 – 31| / √15 2 + 8 2 = |-65| / √225 + 64
= 65 / 17
Por lo tanto, la distancia entre líneas paralelas es 65/17.
(ii) l(x + y) + p = 0 y l (x + y) – r = 0
Dado que,
Las rectas paralelas son l (x + y) + p = 0 y l (x + y) – r = 0.
lx + ly + p = 0 y lx + ly – r = 0
Usando la fórmula,
Usando la fórmula, la distancia d entre las líneas paralelas Ax + By + C 1 = 0 y Ax + By + C 2 = 0 está dada por,
re = |do 1 – do 2 | / √A 2 + B 2
De la ecuación dada obtenemos, A = l, B = l, C 1 = p, C 2 = -r
Ahora aplique la fórmula y calcule la distancia entre líneas paralelas,
d = |p – (-r)| / √l 2 + l 2 = |p+ r| / √2 l = |p+r|/l√2
Por lo tanto, la distancia entre líneas paralelas es |p+r|/l√2
Pregunta 7. Encuentra la ecuación de la recta paralela a la recta 3x − 4y + 2 = 0 y que pasa por el punto (–2, 3).
Solución:
Dado que,
La recta es 3x – 4y + 2 = 0
Por lo tanto, y = 3x/4 + 2/4 = 3x/4 + ½
La ecuación anterior tiene la forma de y = mx + c, donde m es la pendiente de la línea dada.
Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es 3/4
Como sabemos, las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Por lo tanto, pendiente de otra línea = m = 3/4
La ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por (x 1 , y 1 ) viene dada por, y – y 1 = m (x – x 1 )
Ahora ponga el valor de la pendiente 3/4 y los puntos (-2, 3) en la fórmula anterior, y obtenemos,
y – 3 = ¾ (x – (-2))
4y – 3 × 4 = 3x + 3 × 2
3x – 4y = 18
Por lo tanto, la ecuación es 3x – 4y = 18
Pregunta 8. Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a la línea x – 7y + 5 = 0 y que tiene la intersección x 3.
Solución:
Dado que,
La ecuación de la recta es x – 7y + 5 = 0
Por lo tanto, y = 1/7x + 5/7
La ecuación anterior tiene la forma de y = mx + c, donde m es la pendiente de la línea dada.
Por lo tanto, la pendiente de la recta dada es 1/7
La pendiente de la recta perpendicular a la recta de pendiente m es -1/m,
Por lo tanto, la pendiente de la línea perpendicular a la línea que tiene una pendiente de 1/7 es -1/(1/7) = -7.
La ecuación de la línea con pendiente -7 y intersección x 3 está dada por y = m(x – d)
y = -7 (x – 3)
y = -7x + 21
7x + y = 21
Por lo tanto, la ecuación es 7x + y = 21
Pregunta 9. Encuentra los ángulos entre las rectas √3x + y = 1 y x + √3y = 1.
Solución:
Dado que,
Las rectas son √3x + y = 1 y x + √3y = 1
Por lo tanto, y = -√3x + 1 ———(i) &
y = -1/√3x + 1/√3 ——–(ii)
La pendiente de la línea (i) es -√3, mientras que la pendiente de la línea (ii) es -1/√3
Supongamos que θ es el ángulo entre dos líneas,
Como sabemos que,
tanθ = |m1 – m2| / |1 + metro 1 metro 2 |
Ponga los valores de la fórmula m 1 y m 2 , y obtendremos,
= |-√3 – (-1/√3)| / |1 + (-√3)(-1/√3)| = 1 / √3
θ = 30°
Por lo tanto, el ángulo entre las líneas dadas es 30° o 180°- 30° = 150°
Pregunta 10. La línea que pasa por los puntos (h, 3) y (4, 1) se cruza con la línea 7x − 9y −19 = 0. En ángulo recto. Encuentre el valor de h.
Solución:
Supongamos que la pendiente de la recta que pasa por (h, 3) y (4, 1) sea m 1 ,
Por lo tanto, m1 = (1-3)/(4-h) = -2/(4-h)
Hagamos la pendiente de la recta 7x – 9y – 19 = 0 sea m 2
7x – 9y – 19 = 0
Por lo tanto, y = 7/9x – 19/9
metro2 = 7/9
Dado que las rectas dadas son perpendiculares
metro 1 × metro 2 = -1
-2/(4 h) × 7/9 = -1
-14/(36-9h) = -1
-14 = -1 × (36 – 9 horas)
36 – 9h = 14
9h = 36 – 14
h = 22/9
Por lo tanto, el valor de h es 22/9.
Publicación traducida automáticamente
Artículo escrito por ronilpatil y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA