Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 12 Introducción a la geometría tridimensional – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 12

Pregunta 1: Los tres vértices de un paralelogramo ABCD son A(3, – 1, 2), B (1, 2, – 4) y C (– 1, 1, 2). Encuentra las coordenadas del cuarto vértice.

Solución:

ABCD es un paralelogramo, con vértices A (3, -1, 2), B (1, 2, -4), C (-1, 1, 2) y D (x, y, z).

Usando la propiedad:

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan ,

Punto medio de AC = Punto medio de BD = Punto O

Ahora, usando la fórmula de la sección del punto medio

Coordenadas de O para el segmento de recta que une (x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) y (x ₂ ,y ₂ ,z ₂ ) = $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$

Entonces, Coordenadas de O para el segmento de línea que une AC = $(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{2+2}{2})$

= $(\frac{2}{2}, 0, \frac{4}{2})$

= (1, 0, 2) ……………………….(1)

y, Coordenadas de O para el segmento de línea que une BD = $(\frac{1+x}{2}, \frac{2+y}{2}, \frac{-4+z}{2})$ ………….(2)

Usando la ecuación (1) y la ecuación (2), obtenemos

$\frac{1+x}{2}$ = 1

X = 1

$\frac{2+y}{2}$ = 0

y = -2

$\frac{z-4}{2}$ = 2

z = 8

Por lo tanto, las coordenadas del cuarto vértice son D (1, -2, 8).

Pregunta 2: Encuentra las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A (0, 0, 6), B (0,4, 0) y (6, 0, 0).

Solución:

Los vértices del triángulo son A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) y C (6, 0, 0).

Entonces, sean las medianas AD, BE y CF correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente.

D, E y F son los puntos medios de los lados BC, AC y AB respectivamente.

Coordenadas del punto medio del segmento de recta que une (x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) y (x ₂ ,y ₂ ,z ₂ ) = $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$

Entonces, Coordenadas de D para el segmento de línea que une BC = $(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2})$

Coordenadas de D = (3, 2, 0)

y, Coordenadas de E para el segmento de línea que une AC = $(\frac{6+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2})$

Coordenadas de E = (3, 0, 3)

y, Coordenadas de F para el segmento de línea que une AB = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{6+0}{2})$

Coordenadas de F = (0, 2, 3)

Usando la fórmula de la distancia para dos puntos, P(x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) y Q(x ₂ ,y ₂ ,z ₂ )

PQ = $\mathbf{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}}$

Entonces, AD = $\sqrt{(0-3)^2+(0-2)^2+(6-0)^2}$

DA = $\sqrt{9+4+36} = 7$

y, SER = $\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2+(0-3)^2}$

SER = $\sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}$

y, CF = $\sqrt{(6-0)^2+(0-2)^2+(0-3)^2}$

FC = $\sqrt{36+4+9}$ = 7

Por lo tanto, las longitudes de las medianas son 7, √34 y 7.

Pregunta 3: Si el origen es el baricentro del triángulo PQR con vértices P (2a, 2, 6), Q (– 4, 3b, –10) y R(8, 14, 2c), entonces encuentra los valores de a, b y c.

Solución:

Los vértices del triángulo son P (2a, 2, 6), Q (-4, 3b, -10) y R (8, 14, 2c).

Coordenadas del centroide(0, 0, 0) del triángulo que tiene vértices (x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ), (x ₂ ,y ₂ ,z ₂ ) y (x ₃ ,y ₃ ,z ₃ ) = $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$

(0, 0, 0) = $(\frac{2a-4+8}{3}, \frac{2+3b+14}{3}, \frac{6-10+2c}{3})$

(0, 0, 0) = $(\frac{2a+4}{3}, \frac{3b+16}{3}, \frac{2c-4}{3})$

Entonces, $\frac{2a+4}{3}$ = 0

un = -2

y, $\frac{3b+16}{3}$ = 0

segundo = $\mathbf{\frac{-16}{3}}$

y, $\frac{2c-4}{3}$ = 0

c = 2

Por lo tanto, los valores de a, b y c son a = -2, b = $\mathbf{\frac{-16}{3}}$ y c = 2

Pregunta 4: Encuentra las coordenadas de un punto en el eje y que está a una distancia de 5√2 del punto P (3, –2, 5).

Solución:

Punto en el eje y = A (0, y, 0).

Distancia entre los puntos A (0, y, 0) y P (3, -2, 5) = 5√2.

Ahora, usando la fórmula de la distancia,

Distancia de PQ = $\mathbf{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}}$

Entonces, la distancia entre los puntos A (0, y, 0) y P (3, -2, 5) será

Distancia de AP = √[(3-0) ² + (-2-y) ² + (5-0) ² ]

= √[3 ² + (-2-y) ² + 5 ² ]

= √[(-2-y) ² + 9 + 25]

5√2 = √[(-2-y) ² + 34]

Cuadrando en ambos lados, obtenemos

(-2 -y) ² + 34 = 25 × 2

(-2 -y) ² = 50 – 34

4 + y ² + (2 × -2 × -y) = 16

y ² + 4y + 4 -16 = 0

y ² + 4y – 12 = 0

y ² + 6y – 2y – 12 = 0

y (y + 6) – 2 (y + 6) = 0

(y + 6) (y – 2) = 0

y = -6, y = 2

Por lo tanto, los puntos (0, 2, 0) y (0, -6, 0) son los puntos requeridos en el eje y.

Pregunta 5: Un punto R con coordenada x 4 se encuentra en el segmento de línea que une los puntos P(2, –3, 4) y Q (8, 0, 10). Encuentre las coordenadas del punto R.

[Sugerencia: suponga que R divide a PQ en la razón k : 1. Las coordenadas del punto R están dadas por $(\frac{8k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1})$ ]

Solución:

Sean las coordenadas del punto requerido (4, y, z).

Ahora, sea el punto R (4, y, z) el que divide el segmento de recta que une los puntos P (2, -3, 4) y Q (8, 0, 10) en la razón k: 1.

Coordenadas del punto que divide a PQ en la razón k : 1 = $(\frac{kx_2+x_1}{k+1}, \frac{ky_2+y_1}{k+1}, \frac{kz_2+z_1}{k+1})$

Entonces tenemos

$(\frac{8k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1})$ = (4, y, z)

$\frac{8k+2}{k+1}$ = 4

8k + 2 = 4 (k + 1)

8k + 2 = 4k + 4

8k – 4k = 4 – 2

4k = 2

k = $\frac{2}{4}$

k = $\mathbf{\frac{1}{2}}$

Ahora, sustituyendo el valor que obtenemos,

y = $\frac{-3}{\frac{1}{2}+1} = \frac{-3}{\frac{3}{2}}$ = -2

z = $\frac{10(\frac{1}{2})+4}{\frac{1}{2}+1} = \frac{5+4}{\frac{3}{2}}$ = 6

Por lo tanto, las coordenadas del punto requerido son (4, -2, 6).

Pregunta 6: Si A y B son los puntos (3, 4, 5) y (–1, 3, –7), respectivamente, hallar la ecuación del conjunto de puntos P tal que PA ² + PB ² = k ² , donde k es una constante.

Solución:

Los puntos A (3, 4, 5) y B (-1, 3, -7)

Sea el punto P (x, y, z).

Ahora usando la fórmula de la distancia,

Distancia del punto (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) y (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) = $\mathbf{\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}}$

Entonces, la distancia entre los puntos A (3, 4, 5) y P (x,y,z)) será

Distancia de PA = √[(3-x) ² + (4-y) ² + (5-z) ² ]

Distancia de PB = √[(-1-x) ² + (3-y) ² + (-7-z) ² ]

Como, PA ² + PB ² = k ²

[(3 – x) ² + (4 – y) ² + (5 – z) ² ] + [(-1 – x) ² + (3 – y) ² + (-7 – z) ² ] = k ²

[(9 + x ² – 6x) + (16 + y ² – 8y) + (25 + z ² – 10z)] + [(1 + x ² + 2x) + (9 + y ² – 6y) + (49 + z ² + 14z)] = k ²

9 + x ² – 6x + 16 + y ² – 8y + 25 + z ² – 10z + 1 + x ² + 2x + 9 + y ² – 6y + 49 + z ² + 14z = k ²

2x ² + 2y ² + 2z ² – 4x – 14y + 4z + 109 = k ²

2x ² + 2y ² + 2z ² – 4x – 14y + 4z = k ² – 109

2 (x2 + ^y2⁺ z2 – ^2x – 7y + 2z) = k2 ^– 109

(x2 + ^y2⁺ z2 – ^2x – 7y + 2z) = $\frac{(k^2 - 109)}{2}$

Por lo tanto, la ecuación requerida es (x ² + y ² + z ² – 2x – 7y + 2z) = $\mathbf{\frac{(k^2 - 109)}{2}}$

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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Pregunta 1: Los tres vértices de un paralelogramo ABCD son A(3, – 1, 2), B (1, 2, – 4) y C (– 1, 1, 2). Encuentra las coordenadas del cuarto vértice.

Pregunta 2: Encuentra las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A (0, 0, 6), B (0,4, 0) y (6, 0, 0).

Pregunta 3: Si el origen es el baricentro del triángulo PQR con vértices P (2a, 2, 6), Q (– 4, 3b, –10) y R(8, 14, 2c), entonces encuentra los valores de a, b y c.

Pregunta 4: Encuentra las coordenadas de un punto en el eje y que está a una distancia de 5√2 del punto P (3, –2, 5).

Pregunta 5: Un punto R con coordenada x 4 se encuentra en el segmento de línea que une los puntos P(2, –3, 4) y Q (8, 0, 10). Encuentre las coordenadas del punto R.

Pregunta 6: Si A y B son los puntos (3, 4, 5) y (–1, 3, –7), respectivamente, hallar la ecuación del conjunto de puntos P tal que PA 2 + PB 2 = k 2 , donde k es una constante.

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Pregunta 6: Si A y B son los puntos (3, 4, 5) y (–1, 3, –7), respectivamente, hallar la ecuación del conjunto de puntos P tal que PA ² + PB ² = k ² , donde k es una constante.