Encuentre la derivada de las siguientes funciones (se debe entender que a, b, c, d, p, q, r y s son constantes fijas distintas de cero y m y n son números enteros):
Pregunta 16:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Pregunta 17:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Pregunta 18:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Pregunta 19: sen n x
Solución:
f(x) = sen n x
Cuando n = 1,
f(x) = sen x
Cuando n = 2,
f(x) = sen 2 x = sen x sen x
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
f'(x) = (sen x) (cos x) + (sen x) (cos x) = 2 sen x cos x
Cuando n = 3,
f(x) = sen 3 x = sen 2 x sen x
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
El patrón wrt n se ve aquí, de la siguiente manera
Revisemos esta afirmación.
Para P(n) = n sen n-1 x cos x
Para P(1),
P(1) = 1 sen 1-1 x cos x = cos x. Cual es verdad.
n = k
norte = k+1
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
= (sen k x) + (sen x)
= (sen k x) (cos x) + (sen x) (k sen k-1 x cos x)
= (sen k x) (cos x)[k+1]
Por lo tanto probado para P(k+1).
Entonces, es cierto.
Pregunta 20:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 21:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Tomemos g(x) = sin (x+a)
g(x+h) = sen((x+h)+a)
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen A – sen B = 2 cos sen
Multiplicamos y dividimos por 2, tenemos
Por eso,
Usando la identidad trigonométrica,
cos A cos B + sen A sen B = cos (AB)
Pregunta 22: x 4 (5sen x – 3cos x)
Solución:
f(x) = x 4 (5sen x – 3cos x)
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + vu’
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
f'(x) = (x 4 ) [(5 cos x) – (3 (- sen x))] + (5 sen x – 3 cos x)(4x 3 )
f'(x) = (x 4 ) [(5 cos x) + (3 sen x)] + (5 sen x – 3 cos x)(4x 3 )
f'(x) = (x 3 ) [5x cos x + 3x sen x + 20 sen x – 12 cos x]
Pregunta 23: (x 2 +1) cos x
Solución:
f(x) = (x 2 +1) porque x
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + vu’
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
f'(x) = (x 2 +1) (- sen x) + (cos x)[(2x 2-1 )+0]
f'(x) = -x 2 sen x- sen x + 2x cos x
Pregunta 24:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + vu’
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 25: (x + cos x)(x – tan x)
Solución:
f(x) = (x + cos x)(x – tan x)
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + vu’
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Tomemos g(x) = tan x
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)
g'(x) = segundo 2 x
Por eso,
f'(x) = (x + cos x) + (x – tan x)[1 + (- sen x)]
f'(x) = (x + cos x) [1 – (seg 2 x)] + (x – tan x)[1 – sen x]
f'(x) = (x + cos x) [tan 2 x] + (x – tan x)[1 – sen x]
f'(x) = tan 2 x (x + cos x) + (x – tan x)[1 – sen x]
Pregunta 26:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 27:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Pregunta 28:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Tomemos g(x) = tan x
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)
g'(x) = segundo 2 x
Por eso,
Pregunta 29: (x + seg x) (x-tan x)
Solución:
f(x) = (x + seg x) (x-tan x)
Derivando ambos lados,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’ + vu’
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Tomemos g(x) = tan x
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
sen a cos b – cos a sen b = sen (ab)
g'(x) = segundo 2 x
Ahora, tomemos h(x) = sec x =
h(x+h) =
Del primer principio,
Usando la identidad trigonométrica,
cos a – cos b = -2 sen sen
Multiplicamos y dividimos por 2, tenemos
Por eso,
Pregunta 30:
Solución:
Derivando ambos lados,
Usando la regla del cociente, tenemos
Como, la derivada de x n es nx n-1 y la derivada de constante es 0.
Tomemos, g(x) = sen x
Cuando n = 1,
g(x) = sen x
Cuando n = 2,
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
g'(x) = (sen x) (cos x) + (sen x) (cos x) = 2 sen x cos x
Cuando n = 3,
g(x) = sen 3 x = sen 2 x sen x
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
El patrón wrt n se ve aquí, de la siguiente manera
Revisemos esta afirmación.
Para
Para P(1),
. Cual es verdad.
n = k
norte = k+1
Usando la regla del producto, tenemos
(uv)’ = uv’+vu’
Por lo tanto probado para P(k+1).
Entonces, es cierto.
Entonces, la ecuación dada será
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Artículo escrito por _shinchancode y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA