Pregunta 1: Demuestra que el enunciado
p: ‘Si x es un número real tal que x 3 + 4x = 0, entonces x es 0′ es verdadero por
(i) método directo
Solución:
p: ‘Si x es un número real tal que x 3 + 4x = 0, entonces x es 0′.
Sea q: x es un número real tal que x 3 + 4x = 0
r: x es 0.
(i) Para mostrar que el enunciado p es verdadero, suponemos que q, es verdadero y luego mostramos que r es verdadero.
Por lo tanto, sea verdadera la afirmación q.
x3 + 4x = 0
x(x2 + 4 ) = 0
x = 0 o x 2 + 4 = 0
Sin embargo, como x es real, es 0.
Por lo tanto, el enunciado r es verdadero.
Por lo tanto, la afirmación dada es verdadera.
(ii) método de contradicción
Solución:
Para mostrar que el enunciado p es verdadero por contradicción, asumimos que p no es verdadero.
Sea x un número real tal que x 3 + 4x = 0 y sea x distinto de 0.
Por lo tanto, x 3 + 4x = 0
x (x 2 + 4) = 0
x = 0 o x 2 + 4 = 0
x = 0 o x 2 = –4
Sin embargo, x es real. Por tanto, x = 0, lo cual es una contradicción ya que hemos supuesto que x no es 0.
(iii) método de contrapositivo
Solución:
Para probar que el enunciado p es verdadero por el método contrapositivo, asumimos que r es falso y probamos que q debe ser falso.
Aquí, r es falso implica que se requiere considerar la negación del enunciado r. Esto obtiene la siguiente declaración.
~ r: x no es 0
Se puede ver que (x 2 + 4) siempre será positivo
x = 0 implica que el producto de cualquier número real positivo con x no es cero.
Consideremos el producto de x con (x 2 + 4)
⸫ x(x2 + 4 ) = 0
x3 + 4x = 0
Esto demuestra que la afirmación q no es verdadera.
Así, se ha probado que
~r
⇒ ~q
Por lo tanto, el enunciado dado p es verdadero.
Pregunta 2: Muestre que la afirmación ‘Para cualquier número real a y b, a 2 = b 2 implica que a = b’ no es verdadera dando un contraejemplo.
Solución:
La declaración dada se puede escribir en forma de ‘si-entonces’ de la siguiente manera.
Si a y b son números reales tales que a 2 = b 2 , entonces a = b.
Sean p: ayb son números reales tales que a 2 = b 2 .
q: a = b
La declaración dada tiene que ser probada como falsa. Para ello, hay que demostrar que si p, entonces ~ q.
Para mostrar esto, se requieren dos números reales, a y b, con a 2 = b 2 tales que a ≠ b.
Sean a = 1 y b = –1
a 2 = (1) 2 y b 2 = (–1) 2 = 1
un 2 = segundo 2
Sin embargo, a = b
Por lo tanto, se puede concluir que la afirmación dada es falsa.
Pregunta 3: Demuestre que la siguiente afirmación es verdadera por el método de contrapositivo. p: Si x es un número entero y x 2 es par, entonces x también es par.
Solución:
p: Si x es un número entero y x 2 es par, entonces x también es par.
Sea q: x es un número entero y x 2 es par.
r: x es par.
Para probar que p es verdadera por el método contrapositivo, asumimos que r es falsa y probamos que q también es falsa.
Sea x no es par.
Para probar que q es falso, se tiene que probar que x no es un número entero o que x 2 no es par.
x no es par implica que x 2 tampoco es par.
Por lo tanto, el enunciado q es falso.
Por lo tanto, el enunciado dado p es verdadero.
Pregunta 4: Al dar un contraejemplo , demuestre que las siguientes afirmaciones no son verdaderas.
(i) p: Si todos los ángulos de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es un triángulo obtusángulo .
Solución:
El enunciado dado tiene la forma ‘si q entonces r’.
q: Todos los ángulos de un triángulo son iguales.
r: El triángulo es un triángulo obtusángulo.
La afirmación dada p tiene que ser probada como falsa. Para ello, se debe demostrar que si q, entonces ~ r.
Para mostrar esto, se requieren ángulos de un triángulo tal que ninguno de ellos sea un ángulo obtuso.
Se sabe que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°. Por lo tanto, si los tres ángulos
son iguales, entonces cada uno de ellos mide 60°, que no es un ángulo obtuso.
En un triángulo equilátero, la medida de todos los ángulos es igual. Sin embargo, el triángulo no es un triángulo obtusángulo.
Por lo tanto, se puede concluir que la declaración dada p es falsa.
( ii) q: La ecuación x 2 – 1 = 0 no tiene una raíz entre 0 y 2.
Solución:
La declaración dada es la siguiente.
q: La ecuación x 2 – 1 = 0 no tiene una raíz entre 0 y 2.
Hay que probar que esta afirmación es falsa. Para mostrar esto, se requiere un contraejemplo.
Considere x 2 – 1 = 0
× 2 = 1
x = ±1
Una raíz de la ecuación x 2 – 1 = 0, es decir, la raíz x = 1, se encuentra entre 0 y 2.
Por lo tanto, la afirmación dada es falsa.
Pregunta 5: ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? En cada caso, da una razón válida para decirlo.
(i) p: Cada radio de un círculo es una cuerda del círculo.
Solución:
El enunciado dado p es falso.
De acuerdo con la definición de cuerda, debe cortar el círculo en dos puntos distintos.
(ii) q: El centro de un círculo biseca cada cuerda del círculo.
Solución:
La afirmación dada q es falsa.
Si la cuerda no es el diámetro del círculo, entonces el centro no bisectará esa cuerda.
En otras palabras, el centro de un círculo solo biseca el diámetro, que es la cuerda del
círculo.
(iii) r: El círculo es un caso particular de elipse.
Solución:
La ecuación de una elipse es,
X2 / a2 + Y2 / b2 = 1
Si ponemos a = b = 1, entonces obtenemos
x 2 + y 2 = 1, que es una ecuación de un círculo
Por tanto, el círculo es un caso particular de eclipse.
Por lo tanto, el enunciado r es verdadero.
(iv) s: si x e y son números enteros tales que x > y, entonces – x < – y.
Solución:
x > y
⇒ – x < – y (Por una regla de desigualdad)
Por lo tanto, el enunciado dado s es verdadero.
(v) t: √11 es un número racional.
Solución:
11 es un número primo y sabemos que la raíz cuadrada de cualquier número primo es un número irracional.
Por lo tanto,
√11 es un número irracional.
Por lo tanto, la declaración dada t es falsa.
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Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA