Pregunta 1: Escribe la negación de las siguientes afirmaciones:
(i) p: Para todo número real positivo x, el número x – 1 también es positivo.
Solución:
~p: Existe al menos un número real positivo x, tal que x – 1 no es positivo.
(ii) q: Todos los gatos arañan.
Solución:
~q: Existen gatos que no arañan.
(iii) r: para todo número real x, x > 1 o x < 1.
Solución:
~r: Existe un número real x, tal que ni x > 1 ni x < 1.
(iv) s: Existe un número x tal que 0 < x < 1.
Solución:
~s: No existe un número x, tal que 0 < x < 1.
Pregunta 2: Indique el recíproco y el contrapositivo de cada una de las siguientes afirmaciones:
(i) p: Un entero positivo es primo solo si no tiene más divisores que 1 y él mismo.
Solución:
El enunciado p puede entenderse de la siguiente manera.
Si un número entero positivo es primo, entonces no tiene más divisores que 1 y él mismo.
El reverso del enunciado es el siguiente.
Si un entero positivo no tiene más divisor que 1 y él mismo, entonces es primo.
La contrapositiva del enunciado es la siguiente.
Si un entero positivo tiene un divisor distinto de 1 y él mismo, entonces no es primo.
(ii) q: Voy a la playa siempre que sea un día soleado.
Solución:
La declaración dada se puede entender de la siguiente manera.
Si es un día soleado, entonces voy a la playa.
El reverso del enunciado es el siguiente.
Si voy a una playa, entonces es un día soleado.
La contrapositiva del enunciado es la siguiente.
Si no voy a la playa, entonces no es un día soleado.
(iii) r: Si hace calor afuera, entonces tienes sed.
Solución:
El recíproco del enunciado r es el siguiente.
Si tienes sed, entonces hace calor afuera.
La contrapositiva del enunciado r es la siguiente.
Si no siente sed, entonces no hace calor afuera.
Pregunta 3: Escriba cada uno de los enunciados en la forma ‘si p, entonces q’.
(i) p: Es necesario tener una contraseña para iniciar sesión en el servidor.
Solución:
p: Si tiene una contraseña, puede iniciar sesión en el servidor.
(ii) q: Hay atascos de tráfico cada vez que llueve.
Solución:
q: Si llueve, entonces hay un embotellamiento.
(iii) r: Puede acceder al sitio web solo si paga una tarifa de suscripción.
Solución:
r: Si paga la tarifa de suscripción, puede acceder al sitio web.
Pregunta 4: Reescribe cada una de las siguientes afirmaciones en la forma ‘p si y solo si q’.
(i) p: Si ves televisión, entonces tu mente está libre y si tu mente está libre, entonces ves televisión.
Solución:
p: Ves televisión si y sólo si tu mente está libre.
(ii) q: Para que obtengas una calificación A, es necesario y suficiente que hagas todos los deberes con regularidad.
Solución:
q: Obtienes una calificación A si y solo si haces todas las tareas regularmente.
(iii) r: si un cuadrilátero es equiángulo, entonces es un rectángulo y si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces es equiángulo.
Solución:
r: Un cuadrilátero es equiángulo si y sólo si es un rectángulo.
Pregunta 5: A continuación se presentan dos afirmaciones
p: 25 es múltiplo de 5.
q: 25 es múltiplo de 8.
Escriba las declaraciones compuestas que conectan estas dos declaraciones con ‘Y’ y ‘O’. En ambos casos comprobar la validez del enunciado compuesto.
Solución:
La declaración compuesta con ‘Y’ es ’25 es un múltiplo de 5 y 8′.
Esta afirmación no es válida porque 25 no es múltiplo de 8.
La declaración compuesta con ‘O’ es ’25 es un múltiplo de 5 u 8′.
Esta afirmación es válida, porque aunque 25 no es múltiplo de 8, es múltiplo de 5.
Pregunta 6: Verifique la validez de las declaraciones dadas a continuación por el método dado en su contra.
(i) p: La suma de un número irracional y un número racional es irracional (por el método de contradicción).
Solución:
La declaración dada es,
p: La suma de un número irracional y un número racional es irracional.
Supongamos que el enunciado dado, p, es falso. Es decir, suponemos que la suma de un número irracional y
un número racional es racional.
Por lo tanto, √a + b/c = d/e es irracional donde a, b, c, d y e son números enteros.
d/e – b/c es un número racional y √a es un número irracional.
Esto es una contradicción. Entonces, nuestra suposición es incorrecta.
Por lo tanto, la suma de un número irracional y un número racional es racional.
Por lo tanto, la afirmación dada es válida.
(ii) q: Si n es un número real con n > 3, entonces n 2 > 9 (por el método de contradicción).
Solución:
La declaración dada es,
q: Si n es un número real con n > 3, entonces n 2 > 9.
Supongamos que n es un número real con n > 3, pero n 2 > 9 es falso, es decir, n 2 < 9.
Entonces, n > 3 donde n es un número real.
Cuadrando ambos lados,
norte 2 > (3) 2
⇒ n 2 > 9, lo cual es una contradicción con nuestra suposición de que n 2 < 9.
Por lo tanto, la afirmación dada es válida.
Pregunta 7: Escriba la siguiente declaración de cinco maneras diferentes, transmitiendo el mismo significado.
p: Si un triángulo es equiángulo, entonces es un triángulo obtusángulo .
Solución:
La declaración dada se puede escribir de las siguientes cinco maneras diferentes:
(i) Un triángulo es equiángulo implica que es obtusángulo.
(ii) Un triángulo es equiángulo solo si tiene un ángulo obtuso.
(iii) Para que un triángulo sea equiángulo, es necesario que el triángulo sea obtusángulo.
(iv) Para que un triángulo sea obtusángulo, es suficiente que el triángulo sea equiángulo.
(v) Si un triángulo no es obtusángulo, entonces el triángulo no puede ser equiángulo.
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Artículo escrito por vaibhavkumar303 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA