Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 15 Estadísticas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 15

Pregunta 1. La media y la varianza de ocho observaciones son 9 y 9,25, respectivamente. Si seis de las observaciones son 6, 7, 10, 12, 12 y 13, encuentre las dos observaciones restantes.

Solución:

Dado,

Disponemos de seis de las observaciones 6, 7, 10, 12, 12 y 13.

Supongamos que las observaciones que faltan son a y b.

Ahora, Media  \overline {x} = \frac{\sum{x}}{n}  = 9 

9 = (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + a + b)/8

Pero, \overline{x}

Resolviendo a + b, obtenemos, 

a + b = 12

También, 

Diferencia \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum{x}^2 - (\overline{x})^2

equiparar  \sigma^2 = 26\space and \space \overline{x}=9, n = 8

Tenemos, 

9.25 = 1/8(6 2 + 7 2 + 10 2 + 12 2 + 12 2 + 13 2 + a 2 + b 2 ) – 9 2

=> 9,25 + 81 = 1/8(36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + a 2 + b 2 )

=> 90,25 * 8 = 642 + un 2 + segundo 2

=> un 2 + segundo 2 = 80

Tenemos, b = 12 – a 

Al sustituir el valor, 

un 2 + (12 – un) 2 = 80

=> 2a 2 – 24a + 64 = 0

Al dividir por 2, obtenemos 

un 2 – 12a + 32 = 0

Por lo tanto, a = 4, 8 

Ahora, para a = 4, b = 8

Y, para a = 8, b = 4

Pregunta 2. La media y la varianza de 7 observaciones son 8 y 16, respectivamente. Si cinco de las observaciones son 2, 4, 10, 12, 14. Encuentra las dos observaciones restantes.

Solución:

Dado,

Contamos con cinco de las observaciones 2, 4, 10, 12, 14.

Supongamos que las observaciones que faltan son a y b.

Ahora, malo

\overline {x} = \frac{\sum{x_i}}{n}

Pero,

\overline{x} = 8

8 = (2 + 4 + 10 + 12 + 14 + a + b)/(7)

Resolviendo a + b, obtenemos,

a + b = 14

También,

Varianza = \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum{x}^2 - (\overline{x})^2

equiparar

\sigma^2 = 16\space and \space \overline{x}=8, n =7

Tenemos, 

16 = 1/7(2 2 + 4 2 + 10 2 + 12 2 + 14 2 + un 2 + segundo 2 ) – 64

=> 16 + 64 = 1/7(4 + 16 + 100 + 144 + 196 + a 2 + b 2 )

=> 560 = 460 + un 2 + segundo 2

=> un 2 +b 2 = 100

Tenemos, b = 14 – a

Al sustituir el valor, obtenemos

un 2 + (14 – un) 2 = 100

=> 2a 2 – 28a + 96 = 0

Al dividir por 2, obtenemos

un 2 – 14a + 48 = 0

=> (un – 8)(un – 6) = 0

Por lo tanto, a = 6, 8

Ahora, para a = 6, b = 8

Y, para a = 8, b = 6

Pregunta 3. La media y la desviación estándar de seis observaciones son 8 y 4, respectivamente. Si cada observación se multiplica por 3, encuentre la nueva media y la nueva desviación estándar de las observaciones resultantes.

Solución:

Media de seis observaciones = 8

Desviación estándar de seis observaciones = 4

Sean las seis observaciones x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x

Por lo tanto, 

Media de las observaciones,  \overline{x}  = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 )/6 = 8

Si cada observación se multiplica por 3 y las observaciones resultantes son y i entonces,

y yo = 3x yo

x i = (1/3) y i , donde i = 1….6

Entonces, nueva media 

\bar{y}  = (y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 ) / 6

= 3(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) / 6

= 3 * 8

= 24

Desviación Estándar (\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ (4)^2 = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_i-\overline{x})^2 \\ \sum_{i=1}^{6}(x_i-\overline{x})^2 = 96

\overline{y} = 3\overline{x} \\ \overline{x} = \frac{1}{3}\overline {y}

Sustituyendo valores, obtenemos, 

\sum_{i=1}^{6}(y_i - \overline{y})^2 = 864

Por lo tanto, 

Varianza de la nueva observación = 1/6 x 864

= 144

Desviación Estándar = √144

= 12

Pregunta 4. Dado que x̅ es la media y σ 2 es la varianza de n observaciones x 1 , x 2 , …,x n . Demuestre que la media y la varianza de las observaciones ax 1 , ax 2 , ax 3 , …., ax n son ax̅ y a 2 σ 2 , respectivamente, (a ≠ 0).

Solución:

Supongamos que las observaciones son x 1 , …x n

Media de n observaciones = \overline{x}

Varianza de n observaciones = \sigma^2

Sabemos, 

Variance(\sigma^2) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_1(x_i - \overline{x})^2

yy_i = ax_i \\ x_i = \frac{1}{a}y_i \\ \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i \\ \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ax_i \\ \overline{y} = a\overline{x}

Ahora, 

Media de las observaciones, ax 1 , ax 2 , …..ax n\overline{x}

Sustituyendo valores, obtenemos,

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{a}y_1 - \frac{1}{a}\overline{y})^2 \\ a^2\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_1-\overline{y})^2

Varianza = a^2\sigma^2

Pregunta 5. Se encuentra que la media y la desviación estándar de 20 observaciones son 10 y 2, respectivamente. Al volver a verificar, se encontró que una observación 8 era incorrecta. Calcule la media y la desviación estándar correctas en cada uno de los siguientes casos: (i) Si se omite el elemento incorrecto. (ii) Si se reemplaza por 12

Solución:

(i) Por omisión de elemento incorrecto 

norte = 20

Media incorrecta = 20

SD incorrecta = 2

\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{20}X_1 \\ 10 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}X_1 \\ \sum_{i=1}^{20}X_1 = 200

Ahora, 

Suma incorrecta de observaciones = 200 

Suma correcta de observaciones = 200 – 8 = 192

Por lo tanto, 

Media correcta = Suma correcta/19

= 192/19

= 10,1

Desviación Estándar (\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 2 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2}

 4 = 1/20 Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 – 100 

Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 = 2080 

Por lo tanto, 

Correcto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 = Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 – (8) 2 

 = 2080 – 64 

= 2016

Cálculo de la desviación estándar correcta, 

SD correcta = \sqrt{\frac{Correct \sum X_1^2}{n}-(Correct Mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{2016}{19}-(10.1)^2}

= √(1061,1 – 102,1)

= 2,02

(ii) Si se reemplaza por 12, 

Suma incorrecta de observaciones, n = 200

Suma correcta de observaciones n = 200 – 8 + 12

n = 204

Media correcta = Suma correcta / 20

= 204/20

= 10,2

Desviación Estándar (\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 2 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2}

4 = 1/20 Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 – 100 

Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 = 2080

Por lo tanto, Correcto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 = Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2  – (8) 2 + (12)  

= 2080 – 64 + 144 

= 2160

Cálculo de la desviación estándar correcta,

Correct SD = \sqrt{\frac{Correct \sum X_1^2}{n}-(Correct Mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{2160}{20}-(10.2)^2}

= √(108 – 104,04) 

= 1,98

Pregunta 6. La media y la desviación estándar de las notas obtenidas por 50 alumnos de una clase en tres materias, Matemáticas, Física y Química, se dan a continuación: 

¿Cuál de las tres materias muestra la mayor variabilidad en las calificaciones y cuál muestra la menor?

Tema Matemáticas Física  Química
Significar 42 32 40,9
Desviación Estándar 12 15 20

Solución:

valores dados,

Media de Matemáticas = 42

Desviación estándar de Matemáticas = 12

Media de Física = 32

Desviación estándar de la física = 15

Media de Química = 40.9

Desviación estándar de la química = 20

Ahora,

Coeficiente de variación (CV) = \frac{Standard Deviation}{Mean} * 100

CV para Matemáticas = 12/42 x 100 = 28,57

CV para Física = 15/32 x 100 = 46,87

CV para Química = 20/40,9 x 100 = 48,89

La Mayor Variabilidad de la asignatura es de Química. 

Pregunta 7. Se encontró que la media y la desviación estándar de un grupo de 100 observaciones eran 20 y 3, respectivamente. Más tarde se encontró que tres observaciones eran incorrectas, las cuales se registraron como 21, 21 y 18. Halle la media y la desviación estándar si se omiten las observaciones incorrectas.

Solución:

Dado:

n = 100

Media incorrecta, (x̅) = 20

Desviación estándar incorrecta (σ) = 3

Por lo tanto, 20 = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i

Al resolver obtenemos

\sum_{i=1}^{100}X_1 = 20 * 100 \\ \sum_{i=1}^{100}X_1 = 2000

Suma incorrecta de observaciones = 2000

Ahora, Suma correcta de observaciones = 2000 – 21- 21 – 18

= 1940

Media correcta = Suma correcta / 97

= 1940/97

= 20

También,

Desviación Estándar (\sigma) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1 - \frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X)^2 } \\ 3 = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_1^2 - (\overline{X})^2} \\ 3 = \sqrt{\frac{1}{100}* Incorrect \sum X_1^2-(20)^2}

Incorrecto  \sum X_1^2 = 100(9 + 400) 

Incorrecto  \sum X_1^2 = 40900

Correcto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 = Incorrecto  \sum_{i=1}^{n}X_1^2 – (21) 2 – (21) 2 – (18)

= 40900 – 441 – 441 – 324 

= 40900 – 1206 

= 39694

Por lo tanto, 

SD correcta = \sqrt{\frac{Correct\sum X_1^2}{n}-(Correct mean)^2} \\ = \sqrt{\frac{39694}{97}-(20)^2} \\

= √(409.216 – 400) 

= 3.036

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por codersgram9 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *