Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Principio de inducción matemática – Ejercicio 4.1 | conjunto 2

Pregunta 14:  (1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})   = (n+1)

Solución:

Tenemos,

P(n) =  (1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ norte})   = (n+1)

Para n=1 , obtenemos

P(1) = (1+  \frac{1}{1}  ) = 2 = (1+1) = 2

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  (1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})   = (k+1) ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1)(1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})   (1+ \frac{1}{k+1})

= ( (1+ \frac{1}{1}) (1+ \frac{1}{2}) (1+ \frac{1}{3}) ..... (1+ \frac{1}{ k})  (1+ \frac{1}{k+1})

De la ecuación (1), obtenemos

= (k+1) (1+  \frac{1}{k+1}  )

= (k+1) (\frac{(k+1)+1}{k+1})

= {(k+1)+1}

Por eso,

P(k+1) = {(k+1)+1}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 15: 1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2n-1) 2\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2n-1) 2\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 2 = 1 =  \frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3} = \frac{3}{3}   = 1

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2k-1) 2\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}   ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2k-1) 2 + (2(k+1)-1) 2

= (1 2 + 3 2 + 5 2 + …… + (2k-1) 2 ) + (2k+1) 2

De la ecuación (1), obtenemos

\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}   + (2k+1) 2

= (2k+1) (\frac{k(2k-1 + 3(2k+1))}{3})

= (2k+1) (\frac{2k^2-k + 6k+3}{3})

= (2k+1) (\frac{2k^2+5k+3}{3})

= (2k+1) (\frac{(2k+3)(k+1)}{3})

(\frac{(k+1)(2k+3)(2k+1)}{3})

(\frac{(k+1) (2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3})

Por eso,

P(k+1) = (\frac{(k+1) (2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3})

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 16: \frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}

Solución:

Tenemos,

P(n) = \frac{1}{1,4} + \frac{1}{4,7} + \frac{1}{7,10} + ..... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{(3n+1)}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = \frac{1}{1.4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{(3(1)+1)} = \frac{1}{4}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  \frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{(3k+1)}   ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1)\frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}

= ( \frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ..... + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}  \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}

De la ecuación (1), obtenemos

\frac{k}{(3k+1)} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}

\frac{1}{3k+1} (k + \frac{1}{(3k+4)})

\frac{1}{3k+1} (\frac{k(3k+4) +1}{(3k+4)})

\frac{1}{3k+1} (\frac{3k^2+4k+1)}{(3k+4)})

\frac{1}{3k+1} (\frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+4)})

\frac{(k+1)}{(3(k+1)+1)}

Por eso,

P(k+1) = \frac{(k+1)}{(3(k+1)+1)}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 17: \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}

Solución:

Tenemos,

P(n) = \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = \frac{1}{3.5} = \frac{1}{15} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{15}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}   ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1)\frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}

= ( \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + ..... + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}  \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}

De la ecuación (1), obtenemos

\frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}

\frac{1}{(2k+3)} (\frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5})

\frac{1}{(2k+3)} (\frac{k(2k+5)+3)}{3(2k+5)})

\frac{1}{(2k+3)} (\frac{2k^2+5k+3}{3(2k+5)})

\frac{1}{(2k+3)} (\frac{(2k+3)(k+1)}{3(2k+5)})

\frac{k+1}{3(2k+5)}

\frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}

Por eso,

P(k+1) = \frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 18: 1 + 2 + 3 + ….. + n <  \frac{1}{8}   (2n+1) 2

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 + 2 + 3 + ….. + n <  \frac{1}{8}   (2n+1) 2

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 <  \frac{1}{8}   (2(1)+1) 2

1 < \frac{9}{8}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 + 2 + 3 + ….. + k <  \frac{1}{8}   (2k+1) 2 ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 + 2 + 3 + ….. + k + (k+1)

= (1 + 2 + 3 + ….. + k) + k+1 <  \frac{1}{8}   (2k+1) 2 + (k+1)

\frac{1}{8}   ((2k+1) 2 + 8(k+1))

\frac{1}{8}   ((4k 2 +4k+1) + 8k+8))

\frac{1}{8}   (4k 2 +12k+9)

\frac{1}{8}   (2k+3) 2

P(k+1) <  \frac{1}{8}   (2(k+1)+1) 2

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 19: n (n + 1) (n + 5) es múltiplo de 3.

Solución:

Tenemos,

P (n) = n (n + 1) (n + 5), que es múltiplo de 3

Para n=1 , obtenemos

p(1) = 1 (1 + 1) (1 + 5) = 12, que es múltiplo de 3

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = k (k + 1) (k + 5) es múltiplo de 3

P(k) = k (k + 1) (k + 5) = 3m, donde m ∈ N ………… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = (k + 1) {(k + 1) + 1} {(k + 1) + 5}

= (k + 1) (k + 2) {(k + 5) + 1}

Multiplicando los términos

= (k + 1) (k + 2) (k + 5) + (k + 1) (k + 2)

= {k (k + 1) (k + 5) + 2 (k + 1) (k + 5)} + (k + 1) (k + 2)

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 3m + (k + 1) {2 (k + 5) + (k + 2)}

= 3m + (k + 1) {2k + 10 + k + 2}

= 3m + (k + 1) (3k + 12)

= 3m + 3 (k + 1) (k + 4)

= 3 {m + (k + 1) (k + 4)}

= 3 × q (donde q = {m + (k + 1) (k + 4)} es un número natural)

(k + 1) {(k + 1) + 1} {(k + 1) + 5} es múltiplo de 3

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 20: 10 2n – 1 + 1 es divisible por 11.

Solución:

Tenemos,

P (n): 10 2n – 1 + 1 es divisible por 11

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 10 2.1 – 1 + 1 = 11, que es divisible por 11

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

10 2k – 1 + 1 es divisible por 11

10 2k – 1 + 1 = 11m, donde m ∈ N …………… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k + 1) = 10 2(k + 1) – 1 + 1

= 10 2k + 2 – 1 + 1

= 10 2k + 1 + 1

= 10 2 (10 2k-1 + 1 – 1) + 1

= 10 2 (10 2k-1 + 1) – 10 2 + 1

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 10 2 . 11m – 100 + 1

= 100 × 11m – 99

Sacando los términos comunes

= 11 (100m – 9)

= 11r, donde r = (100m – 9) es un número natural

10 2 (k + 1) – 1 + 1 es divisible por 11

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 21: x 2n – y 2n es divisible por x + y.

Solución:

Tenemos,

P (n) = x 2n – y 2n es divisible por x + y

Para n=1 , obtenemos

P (1) = x 2 × 1 – y 2 × 1 = x 2 – y 2 = (x + y) (x – y), que es divisible por (x + y)

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

x 2k – y 2k es divisible por x + y

x 2k – y 2k = m (x + y), donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

x2 (k + 1) – y2 (k + 1)

= x 2k . x 2 – y 2k . 2 años

Sumando y restando y 2k obtenemos

= x 2 (x 2k – y 2k + y 2k ) – y 2k . 2 años

Usando la ecuación (1), obtenemos

= x 2 {m (x + y) + y 2k } – y 2k . 2 años

= metro (x + y) x 2 + y 2k . x 2 – y 2k . 2 años

Sacando los términos comunes

= metro (x + y) x2 + y2k ( x2 – y2 )

= m (x + y) x 2 + y 2k (x + y) (x – y)

Entonces obtenemos

= (x + y) {mx 2 + y 2k (x – y)}, que es un factor de (x + y)

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 22: 3 2n+2 – 8n – 9 es divisible por 8.

Solución:

Tenemos,

P (n) = 3 2n + 2 – 8n – 9 es divisible por 8

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 3 2 × 1 + 2 – 8 × 1 – 9 = 64, que es divisible por 8

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

3 2k + 2 – 8k – 9 es divisible por 8

3 2k + 2 – 8k – 9 = 8m, donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

3 2(k + 1) + 2 – 8 (k + 1) – 9

= 3 2k + 2 . 3 2 – 8k – 8 – 9

Sumando y restando 8k y 9 obtenemos

= 3 2 (3 2k + 2 – 8k – 9 + 8k + 9) – 8k – 17

= 3 2 (3 2k + 2 – 8k – 9) + 3 2 (8k + 9) – 8k – 17

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 9. 8m + 9 (8k + 9) – 8k – 17

= 9. 8m + 72k + 81 – 8k – 17

= 9. 8m + 64k + 64

Eliminando los términos comunes

= 8 (9m + 8k + 8)

= 8r, donde r = (9m + 8k + 8) es un número natural

Entonces 3 2(k + 1) + 2 – 8 (k + 1) – 9 es divisible por 8

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 23: 41 n – 14 n es múltiplo de 27.

Solución:

Tenemos,

P (n) = 41 n – 14 n es múltiplo de 27

Para n=1 , obtenemos

P (1) = 41 1 – 14 1 = 27, que es un múltiplo de 27

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

41 k – 14 k es múltiplo de 27

41k – 14k = 27m , donde m ∈ N …… (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

41 mil + 1 – 14 mil + 1

= 41 k . 41 – 14 k . 14

Sumando y restando 14 k obtenemos

= 41 ( 41k14k + 14k ) – 14k . 14

= 41 (41 k – 14 k ) + 41. 14 k – 14 k . 14

Usando la ecuación (1), obtenemos

= 41. 27m + 14k ( 41 – 14)

= 41,27m + 27,14k

Eliminando los términos comunes

= 27 (41m – 14k)

= 27r, donde r = (41m – 14 k ) es un número natural

Entonces 41 k + 1 – 14 k + 1 es un múltiplo de 27

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Pregunta 24: (2n + 7) < (n + 3) 2 .

Solución:

Tenemos,

P(n) = (2n +7) < (n + 3) 2

Para n=1 , obtenemos

2.1 + 7 = 9 < (1 + 3) 2 = 16

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

(2k + 7) < (k + 3) 2 … (1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

{2 (k + 1) + 7} = (2k + 7) + 2

= {2 (k + 1) + 7}

Usando la ecuación (1), obtenemos

(2k + 7) + 2 < (k + 3) 2 + 2

2 (k + 1) + 7 < k 2 + 6k + 9 + 2

2 (k + 1) + 7 < k 2 + 6k + 11

Aquí,

k2 + 6k + 11 < k2 + 8k + 16

2 (k + 1) + 7 < (k + 4) 2

2 (k + 1) + 7 < {(k + 1) + 3} 2

P (k + 1) es verdadero siempre que P (k) sea verdadero.

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales ien

Publicación traducida automáticamente

Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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