Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 4 Principio de inducción matemática – Ejercicio 4.1 | Serie 1

Posted on by Rudeus Greyrat

Demuestre lo siguiente usando el principio de inducción matemática para todo n ∈ N:

Pregunta 1: 1 + 3 + 3 2 + …….. + 3 n-1 = \frac{3^n - 1}{2}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 + 3 + 3 2 + …….. + 3 n-1 = \frac{3^n - 1}{2}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 =\frac{3^1 - 1}{2} = \frac{3-1}{2} = 1

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 + 3 + 3 2 + …….. + 3 k-1 =  \frac{3^k - 1}{2}   ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 + 3 + 3 2 + …….. + 3 k-1 + 3 (k+1)-1

= (1 + 3 + 3 2 + …….. + 3 k-1 ) + 3 k

De la ecuación (1), obtenemos

=  \frac{3^k - 1}{2}  + 3k

= \frac{3^k - 1 + 2(3^k)}{2}

= \frac{3.3^k - 1}{2}

= \frac{3^{k+1} - 1}{2}

Por eso,

P(k+1) = \frac{3^{k+1} - 1}{2}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 2: 1 + 2 3 + 3 3 + ……….. + n 3 = [\frac{n(n+1)}{2} ]^2

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 + 2 3 + 3 3 + ……….. + n 3 = [\frac{n(n+1)}{2} ]^2

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 =  [\frac{1(1+1)}{2} ]^2  = 1

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 + 2 3 + 3 3 + ……….. + k 3 =  [\frac{k(k+1)}{2} ]^2   ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 + 2 3 + 3 3 + ……….. + k 3 + (k+1) 3

= (1 + 2 3 + 3 3 + ……….. + k 3 ) + (k+1) 3

De la ecuación (1), obtenemos

=  [\frac{k(k+1)}{2} ]^2  + (k+1) 3

=  \frac{k^2(k+1)^2}{4}  + (k+1) 3

= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}

Tomando (k+1) 2 , obtenemos 

= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}

= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}

= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{2^2}

= [\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} ]^2

Por eso,

P(k+1) = [\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} ]^2

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 3: 1 +  \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2+3)}  + ……. +  \frac{1}{(1+2+3+....n)}  = \frac{2n}{(n+1)}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1 +  \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2+3)} + ....... + \frac{1}{(1+2+3+....n)}  = \frac{2n}{(n+1)}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1 =  \frac{2(1)}{1+1}  = 1

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1 +  \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2+3)} + ....... + \frac{1}{(1+2+3+....k)}  =  \frac{2k}{(k+1)}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1 +  \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2+3)} + ....... + \frac{1}{(1+2+3+....k)}  + \frac{1}{(1+2+3+....k+(k+1))}

= (1 +  \frac{1}{(1+2)} + \frac{1}{(1+2+3)} + ....... + \frac{1}{(1+2+3+....k)} ) + \frac{1}{(1+2+3+....k+(k+1))}

De la ecuación (1), obtenemos

= \frac{2k}{(k+1)} + \frac{1}{(1+2+3+....k+(k+1))}

Como sabemos que, 

Suma del primer número natural,

1 + 2 + 3 + …… + norte = \frac{n(n+1)}{2}

Entonces, obtenemos

= \frac{2k}{(k+1)} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+1+1)}{2}}

= \frac{2k}{(k+1)} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}

= \frac{2}{(k+1)} (k+\frac{1}{k+2})

= \frac{2}{(k+1)} (\frac{(k(k+2) + 1)}{k+2})

= \frac{2}{(k+1)} (\frac{(k^2+2k+1)}{k+2})

= \frac{2}{(k+1)} (\frac{(k+1)^2}{k+2})

= \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}

Por eso,

P(k+1) = \frac{2(k+1)}{(k+1)+1}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 4: 1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n+1) (n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n+1) (n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1.2.3 =  \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4}  =  \frac{1.2.3.4}{4}  = 1.2.3

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k+1) (k+2) =  \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k+1) (k+2) + (k+1)(k+1+1) (k+1+2)

= (1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k+1) (k+2)) + (k+1)(k+2) (k+3)

De la ecuación (1), obtenemos

=  \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}   + (k+1)(k+2)(k+3)

= (k+1)(k+2) (k+3) ( \frac{k}{4}  + 1)

= (k+1)(k+2) (k+3) (\frac{k + 4}{4})

= \frac{(k+1)((k+1)+1) ((k+1)+2) ((k+1)+3)}{4}

Por eso,

P(k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1) ((k+1)+2) ((k+1)+3)}{4}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 5: 1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +…+ n.3 n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +…+ n.3 n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1,3 = 3 =  \frac{(2(1)-1)3^{1+1}+3}{4} = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4}  = 3

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +…+ k.3 k =  \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +…+ k.3 k + (k+1).3 (k+1)

= (1.3 + 2.3 2 + 3.3 3 +…+ k.3 k ) + (k+1).3 (k+1)

De la ecuación (1), obtenemos

=  \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4}  + (k+1).3 (k+1)

= \frac{(2k-1)3^{k+1}+3 + 4(k+1).3^{k+1}}{4}

= 3k+1 \frac{((2k-1) + 4(k+1)) + 3}{4}

= 3k+1 \frac{(6k+3) + 3}{4}

= 3k+1 \frac{(3(2k+1)) + 3}{4}

= 3 (k+1)+1 \frac{(2(k+1)-1) + 3}{4}

Por eso,

P(k+1) = 3 (k+1)+1 \frac{(2(k+1)-1) + 3}{4}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 6: 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n.(n+1) = [\frac{n(n+1)(n+2)}{3}]

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n.(n+1) = [\frac{n(n+1)(n+2)}{3}]

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1,2 = 2 =  [\frac{1(1+1)(1+2)}{3}] = [\frac{1(2)(3)}{3}]  = 2

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ k.(k+1) =  [\frac{k(k+1)(k+2)}{3}]  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ k.(k+1) + (k+1)(k+1+1)

= (1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ k.(k+1)) + (k+1)(k+2)

De la ecuación (1), obtenemos

=  [\frac{k(k+1)(k+2)}{3}]  + (k+1)(k+2)

= [\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}]

= (k+1)(k+2) [\frac{k+3}{3}]

= [\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}]

= [\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3}]

Por eso,

P(k+1) = [\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3}]

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 7: 1,3 + 3,5 + 5,7 +…+ (2n–1) (2n+1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3}

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1,3 + 3,5 + 5,7 +…+ (2n–1) (2n+1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1,3 = 3 =  \frac{1(4(1)^2+6(1)-1)}{3}  =  \frac{9}{3}  = 3

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1,3 + 3,5 + 5,7 +…+ (2k–1) (2k+1) =  \frac{k(4k^2+6k-1)}{3}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1,3 + 3,5 + 5,7 +…+ (2k–1) (2k+1) + (2(k+1)-1)(2(k+1)+1)

= (1,3 + 3,5 + 5,7 +…+ (2k–1) (2k+1)) + (2k+1)(2k+3)

De la ecuación (1), obtenemos

=  \frac{k(4k^2+6k-1)}{3}  + (4k 2 +8k+3)

= \frac{k(4k^2+6k-1)+3(4k^2+8k+3)}{3}

= \frac{4k^3+6k^2-k+12k^2+24k+9}{3}

= \frac{4k^3+18k^2+23k+9}{3}

= \frac{4k^3+14k^2+9k+4k^2+14k+9}{3}

= \frac{k(4k^2+14k+9)+1(4k^2+14k+9)}{3}

= \frac{(k+1) (4k^2+14k+9)}{3}

= \frac{(k+1) (4(k^2+2k+1)+6(k+1)-1)}{3}

= \frac{(k+1) (4(k+1)^2+6(k+1)-1)}{3}

Por eso,

P(k+1) = \frac{(k+1) (4(k+1)^2+6(k+1)-1)}{3}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 8: 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + …+n.2 n = (n–1) 2 n + 1 + 2

Solución:

Tenemos,

P(n) = 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + …+n.2 n = (n–1) 2 n + 1 + 2

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1,2 = 2 = (1–1) 2(1) + 1 + 2 = 2

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + …+k.2 k = (k–1) 2 k + 1 + 2 ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = 1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + …+k.2 k + (k+1).2 (k+1)

= (1.2 + 2.2 2 + 3.2 3 + …+k.2 k ) + (k+1).2 (k+1)

De la ecuación (1), obtenemos

= (k–1) 2k + 1 + 2 + (k+1).2k +1

= 2 k + 1 ((k–1) + (k+1)) + 2 

= 2k + 1(2k) + 2 

= k.2 k+1+1 + 2 

= ((k+1)-1).2 (k+1)+1 + 2 

Por eso,

P(k+1) = ((k+1)-1).2 (k+1)+1 + 2 

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 9:  \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}  + …… + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}

Solución:

Tenemos,

P(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...... + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}

Para n=1 , obtenemos

P(1) =  \frac{1}{2}  = 1 –  \frac{1}{2^1}  = \frac{1}{2}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...... + \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^k}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...... + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}}

= ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...... + \frac{1}{2^k} ) + \frac{1}{2^{k+1}}

De la ecuación (1), obtenemos

= 1 – \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k+1}}

= 1 – \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2.2^k}

= 1 – \frac{1}{2^k}(1-\frac{1}{2})

= 1 – \frac{1}{2^k}(\frac{1}{2})

= 1 – \frac{1}{2^{k+1}}

Por eso,

P(k+1) = 1 – \frac{1}{2^{k+1}}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 10:  \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11}  + …… + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{(6n+4)}

Solución:

Tenemos,

P(n) = \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + ...... + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{(6n+4)}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = \frac{1}{2.5} = \frac{1}{10} = \frac{1}{(6(1)+4)} = \frac{1}{10}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + ...... + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{k}{(6k+4)}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + ...... + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}

= ( \frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + ...... + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} ) + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}

De la ecuación (1), obtenemos

= \frac{k}{(6k+4)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}

= \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}

= \frac{1}{3k+2} (\frac{k}{2} + \frac{1}{3k+5})

= \frac{1}{3k+2} (\frac{k(3k+5)+1(2)}{2(3k+5)})

= \frac{1}{3k+2} (\frac{3k^2+5k+2}{6k+10})

= \frac{1}{3k+2} (\frac{(3k+2)(k+1)}{6k+10})

= \frac{(k+1)}{6(k+1)+4}

Por eso,

P(k+1) = \frac{(k+1)}{6(k+1)+4}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 11:  \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.4.5}  + …… + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}

Solución:

Tenemos,

P(n) = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.4.5}+ ...... + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}

Para n=1 , obtenemos

P(1) = \frac{1}{1.2.3} = \frac{1}{6} = \frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{4}{4(2)(3)} = \frac{1}{6}

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.4.5}+ ...... + \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.4.5}+ ...... + \frac{1}{k(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+1+1)(k+1+2)}

= ( \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.4.5}+ ...... + \frac{1}{k(k+1)(k+2)} ) + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}

De la ecuación (1), obtenemos

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k(k+3)}{4} + \frac{1}{(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k(k+3)^2 + 4}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k(k^2+6k+9) + 4}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k^3+6k^2+9k + 4}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k^3+2k^2+k + 4k^2 + 8k+ 4}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{k(k^2+2k+1) + 4(k^2 + 2k+ 1)}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{(k+4)(k^2+2k+1)}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+1)(k+2)} (\frac{(k+4)(k+1)^2}{4(k+3)})

= \frac{1}{(k+2)} (\frac{(k+4)(k+1)}{4(k+3)})

= \frac{(k+1)((k+1)+3)}{4((k+1)+1)((k+1)+2))}

Por eso,

P(k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+3)}{4((k+1)+1)((k+1)+2))}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 12: a + ar + ar 2 + …… + ar n-1 = \frac{a(r^n-1)}{r-1}

Solución:

Tenemos,

P(n) = a + ar + ar 2 + …… + ar n-1 = \frac{a(r^n-1)}{r-1}

Para n=1, obtenemos

P(1) = un =  \frac{a(r^1-1)}{r-1} = \frac{a(r-1)}{r-1}  = un

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) = a + ar + ar 2 + …… + ar k-1 =  \frac{a(r^k-1)}{r-1}  ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = a + ar + ar 2 + …… + ar k-1 + ar (k+1)-1

= (a + ar + ar 2 + …… + ar k-1 ) + ar k

De la ecuación (1), obtenemos

=  \frac{a(r^k-1)}{r-1}  + ark

= \frac{a(r^k-1) + ar^k(r-1)}{r-1}

= \frac{a(r^k-1 + r^{k+1}-r^k)}{r-1}

= \frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}

Por eso,

P(k+1) = \frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1}

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

Pregunta 13: (1+  \frac{3}{1} ) (1+  \frac{5}{4} ) (1+  \frac{7}{9} ) ….. (1+  \frac{(2n+1)}{n^2} ) = (n+1) 2

Solución:

Tenemos,

P(n) =  (1+ \frac{3}{1}) (1+ \frac{5}{4}) (1+ \frac{7}{9}) ..... (1+\frac{(2n+1)}{n^2})  = (n+1) 2

Para n=1 , obtenemos

P(1) = 1+  \frac{3}{1}  = 1+3 = 4 = (1+1) 2 = 2 2 = 4

Entonces, P(1) es verdadero

Suponga que P(k) es cierto para algún entero positivo n=k

P(k) =  (1+ \frac{3}{1}) (1+ \frac{5}{4}) (1+ \frac{7}{9}) ..... (1+\frac{(2k+1)}{k^2})  = (k+1) 2 ……………..(1)

Probemos que P(k + 1) también es cierto. Ahora tenemos

P(k+1) = (1+ \frac{3}{1}) (1+ \frac{5}{4}) (1+ \frac{7}{9}) ..... (1+\frac{(2k+1)}{k^2}) (1+\frac{(2(k+1)+1)}{(k+1)^2})

= ((1+ \frac{3}{1}) (1+ \frac{5}{4}) (1+ \frac{7}{9}) ..... (1+\frac{(2k+1)}{k^2})) (1+\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^2})

De la ecuación (1), obtenemos

= (k+1) 2 (1+ \frac{2(k+1)+1}{(k+1)^2} )

= (k+1) 2 (\frac{(k+1)^2 + 2(k+1)+1}{(k+1)^2})

= (k+1) 2 + 2(k+1) + 1

= {(k+1)} 2

Por eso,

P(k+1) = {(k+1)} 2

Por tanto, P(k + 1) es verdadera, siempre que P(k) sea verdadera.

Por tanto, a partir del principio de inducción matemática, el enunciado P(n) es verdadero para todos los números naturales n.

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Artículo escrito por adi1212 y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

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