Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 5 Números complejos y ecuaciones cuadráticas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 5

Pregunta 1. Evaluar $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3$

Solución:

$\displaystyle\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3\\ =\left[i^{4\times4+2}+\frac{1}{i^{4\times6+1}}\right]^3\\ =\left[(i^4)^{4}.i^2+\frac{1}{(i^4)^6.i}\right]^3\\ =\left[i^2+\frac{1}{i}\right]^3\ \ \ \ \ \ [i^4=1]\\ =\left[-1+\frac{1}{i}\times\frac{i}{i}\right]^3\ \ \ \ \ \ [i^2=-1]\\ =\left[-1+\frac{i}{i^2}\right]^3$

= [-1 – yo] ³

= (-1) ³ [1 + yo] ³

= -[1 ³ + yo ³ + 3 × 1 × yo (1 + yo)]

= -[1 + i ³ + 3i + 3i ² ]

= -[1 – yo + 3i – 3]

= -[2 + 2i]

= 2 – 2i

Pregunta 2. Para cualesquiera dos números complejos z ₁ y z ₂ , demuestre que, Re (z ₁ z ₂ ) = Re z ₁ Re z ₂ – Im z ₁ Im z ₂

Solución:

Supongamos que z ₁ = x ₁ + iy ₁ y z ₂ = x ₂ + iy ₂ como dos números complejos

Producto de estos números complejos, z ₁ z ₂

z ₁ z ₂ = (x ₁ + iy ₁ )(x ₂ + iy ₂ )

= x ₁ (x ₂ + iy ₂ ) + iy ₁ (x ₂ + iy ₂ )

= x ₁ x ₂ + ix ₁_y 2 ₊ iy 1 x _{2 + yo}² y ₁_y 2

= x ₁ x ₂ + ix ₁ y ₂ + iy ₁ x ₂ – y ₁ y ₂ [i ² = -1]

= (x ₁ x ₂ – y ₁ y ₂ ) + i(x ₁ y ₂ + y ₁ x ₂ )

Ahora,

Re(z ₁ z ₂ ) = x ₁ x ₂ – y ₁ y ₂

⇒ Re(z ₁ z ₂ ) = Rez ₁ Rez ₂ – Imz ₁ Imz ₂

Por lo tanto, probado.

Pregunta 3. Reducir a la forma estándar $\displaystyle\left(\frac{1}{1-4i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4i}{5+i}\right)$

Solución:

$\displaystyle\left(\frac{1}{1-4i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4i}{5+i}\right)=\left[\frac{(1+i)-2(1-4i)}{(1-4i)(1+i)}\right]\left[\frac{3-4i}{5+i}\right]\\ = \left[\frac{1+i-2+8i}{1+i-4i-4i^2}\right] \left[\frac{3-4i}{5+i}\right]= \left[\frac{-1+9i}{5-3i}\right] \left[\frac{3-4i}{5+i}\right]\\ = \left[\frac{-3+4i+27i-36i^2}{25+5i-15i-3i^2}\right]=\frac{33+31i}{28-10i}=\frac{33+31i}{2(14-5i)}\\ = \frac{(33+31i)}{2(14-5i)}\times\frac{14+5i}{14+5i}$

Sobre multiplicar numerador y denominador por (14+5i)

$\\ =\frac{462+165i+434i+155i^2}{2[(14)^2-(5i)^2]}=\frac{307+599i}{2(196-25i^2)}\\ =\frac{307+599i}{2(221)}=\frac{307+599i}{442}=\frac{307}{442}+\frac{599i}{442}$

Por lo tanto, esta es la forma estándar requerida.

Pregunta 4. Si x – iy = $\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$ prueba que (x ² + y ² ) ² $=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$

Solución:

Dado:

x-iy = $\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$

$=\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}\times\frac{c+id}{c+id}}$

Al multiplicar numerador y denominador por (c+id)

$\\ =\sqrt{\frac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^2+d^2}}$

Asi que,

(x – iy) ² = $=\frac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^2+d^2}$

x ² – y ² – 2ixy $=\frac{(ac+bd)+i(ad-bc)}{c^2+d^2}$

Al comparar las partes real e imaginaria, obtenemos

x2 ^– y2 = ^, $\frac{ac+bd}{c^2+d^2}$ -2xy = $\frac{ad-bc}{c^2+d^2}$ (1)

(x ² + y ² ) ² = (x ² – y ² ) ² + 4x ² y ²

= $\left( \frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)^2+\left(\frac{ad-bc}{c^2+d^2} \right)^2\ \ \ \ \ [Using (1)\\ =\frac{a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2adbc}{(c^2+d^2)^2}\\ =\frac{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}{(c^2+d^2)^2}\\ = \frac{a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)}{(c^2+d^2)^2}\\ =\frac{(c^2+d^2)(a^2+b^2)}{(c^2+d^2)^2}\\ = \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$

Por lo tanto probado

Pregunta 5. Convierta lo siguiente en la forma polar:

(i) $\frac{1+7i}{(2-i)^2}$

(ii) $\frac{1+3i}{1-2i}$

Solución:

(i) Aquí, z = $\frac{1+7i}{(2-i)^2}$

= $\frac{1+7i}{(2-i)^2}=\frac{1+7i}{4+i^2-4i}=\frac{1+7i}{4-1-4i}\\ = \frac{1+7i}{(2-i)^2}\times\frac{3+4i}{3+4i}=\frac{3+4i+21i+28i^2}{3^2+4^2}$

Multiplicando por su conjugado en el numerador y denominador

$\\ =\frac{3+4i+21i-28}{3^2+4^2}=\frac{-25+25i}{25}$

= -1+yo

Sea r cos θ = -1 y r sen θ = 1

Al elevar al cuadrado y sumar, obtenemos

r ² (cos ² θ + sen ² θ) = 1 + 1 = 2

r ² = 2 [cos ² θ + sen ² θ = 1]

r = √2

Asi que,

√2 cosθ = -1 y √2 senθ = 1

⇒ cosθ = $\frac{-1}{\sqrt2}$ y senθ = $\frac{1}{\sqrt2}$

Por lo tanto,

θ = $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ [Como θ se encuentra en el II cuadrante]

Expresando como, z = r cos θ + ir sen θ

= $\sqrt2cos\frac{3\pi}{4}+i\sqrt2sin\frac{3\pi}{4}=\sqrt2\left(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4}\right)$

Por lo tanto, esta es la forma polar requerida.

(ii) Sea, z = $\frac{1+3i}{1-2i}\\ =\frac{1+3i}{1-2i}\times\frac{1+2i}{1+2i}\\ =\frac{1+2i+3i-6}{1+4}\\ =\frac{-5+5i}{5}$

= -1 + yo

Ahora, sea r cosθ = -1 y r sin θ = 1

Al elevar al cuadrado y sumar, obtenemos

r ² (cos ² θ + sen ² θ) = 1 + 1

r(cos ² θ + sen ² θ) = 2

r ² = 2 [cos2θ + sen2θ = 1]

= r = √2 [Convencionalmente, r > 0]

Por lo tanto,

√2 cosθ = -1 y √2 senθ = 1

cosθ = $\frac{-1}{\sqrt2}$ y senθ = $\frac{1}{\sqrt2}$

Por lo tanto,

θ = $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ [Como θ se encuentra en el II cuadrante]

Expresando como, z = r cosθ + ir sinθ

z = $\sqrt2cos\frac{3\pi}{4}+i\sqrt2\frac{3\pi}{4}=\sqrt2\left(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4}\right)$

Por lo tanto, esta es la forma polar requerida.

Resuelva cada una de las ecuaciones de los ejercicios 6 a 9.

Pregunta 6. 3x ² – 4x + 20/3 = 0

Solución:

Dada la ecuación cuadrática, 3x ² – 4x + 20/3 = 0

Se puede reescribir como: 9x ² – 12x + 20 = 0

Al compararlo con ax ² + bx + c = 0, obtenemos

a = 9, b = –12 y c = 20

Entonces, el discriminante de la ecuación dada será

D = segundo ² – 4 ca = (–12) ² – 4 × 9 × 20 = 144 – 720 = –576

Por lo tanto, las soluciones requeridas son

X = $\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-12)\pm\sqrt{-576}}{2\times9}=\frac{12\pm\sqrt{576}i}{18}\\ =\frac{12\pm24i}{18}=\frac{6(2\pm4i)}{18}=\frac{2\pm4i}{3}=\frac{2}{3}\pm\frac{4}{3}i$

Pregunta 7. x ² – 2x + 3/2 = 0

Solución:

Dado:

Ecuación cuadrática, x ² – 2x + $\frac{3}{2}$ = 0

Después de reescribir 2x ² – 4x + 3 = 0

Al compararlo con ax ² + bx + c = 0,

Obtenemos

a = 2, b = –4 y c = 3

Entonces, el discriminante de la ecuación dada será

re = segundo ² – 4 ac = (–4) ² – 4 × 2 × 3 = 16 – 24 = –8

Por lo tanto, las soluciones requeridas son

x = $\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-8}}{2\times2}=\frac{4\pm2\sqrt2i}{4}\ \ \ \ [\sqrt{-1}=i]\\ =\frac{2\pm\sqrt2i}{2}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}i$

Pregunta 8. 27x ² – 10x + 1 = 0

Solución:

Dado:

Ecuación cuadrática, 27 x ² – 10 x + 1 = 0

Al compararlo con ax ² + bx + c = 0,

Obtenemos

a = 27, b = –10 y c = 1

Entonces, el discriminante de la ecuación dada será

re = segundo ² – 4 ac = (–10) ² – 4 × 27 × 1 = 100 – 108 = –8

Por lo tanto, las soluciones requeridas son

$=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-10)\pm\sqrt{-8}}{2\times27}=\frac{10\pm2\sqrt2i}{54}\\ =\frac{5\pm\sqrt2i}{27}=\frac{5}{27}\pm\frac{\sqrt2}{27}i$

Pregunta 9. 21x ² – 28x + 10 = 0

Solución:

Dado:

Ecuación cuadrática, 21 x ² – 28 x + 10 = 0

Al compararlo con ax ² + bx + c = 0,

Tenemos

a = 21, b = –28 y c = 10

Entonces, el discriminante de la ecuación dada será

D = segundo ² – 4 ca = (–28) ² – 4 × 21 × 10 = 784 – 840 = –56

Por lo tanto, las soluciones requeridas son

$=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-28)\pm\sqrt{-56}}{2\times21}=\frac{28\pm\sqrt{56}i}{42}\\ =\frac{28\pm2\sqrt{14}i}{42}=\frac{28}{42}\pm\frac{2\sqrt{14}}{42}i=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{14}}{21}i$

Pregunta 10. Si z ₁ = 2 – i , z ₂ = 1 + i , encuentra $\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|$

Solución:

Dado, z ₁ = 2 – i , z ₂ = 1 + i

$\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|=\left|\frac{(2-i)+(1+i)+1}{(2-i)-(1+i)+1}\right|\\ =\left|\frac{4}{2-2i}\right|=\left|\frac{4}{2(1-i)}\right|\\ =\left|\frac{2}{1-i}\times\frac{1+i}{1+i}\right|=\left|\frac{2(1+i)}{1^2-i^2}\right|\\ =\left|\frac{2(1+i)}{1+1}\right|\ \ \ \ \ [i^2=-1]\\ =\left|\frac{2(1+i)}{2}\right|\\ =|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

Por lo tanto, el valor de $\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|$ es √2

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Artículo escrito por yashchuahan y traducido por Barcelona Geeks. The original can be accessed here. Licence: CCBY-SA

Clase 11 Soluciones NCERT – Capítulo 5 Números complejos y ecuaciones cuadráticas – Ejercicio misceláneo en el Capítulo 5 | Serie 1

Pregunta 1. Evaluar $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3$

Pregunta 2. Para cualesquiera dos números complejos z ₁ y z ₂ , demuestre que, Re (z ₁ z ₂ ) = Re z ₁ Re z ₂ – Im z ₁ Im z ₂

Pregunta 3. Reducir a la forma estándar $\displaystyle\left(\frac{1}{1-4i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4i}{5+i}\right)$

Pregunta 4. Si x – iy = $\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$ prueba que (x ² + y ² ) ² $=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$

Pregunta 5. Convierta lo siguiente en la forma polar:

Resuelva cada una de las ecuaciones de los ejercicios 6 a 9.

Pregunta 6. 3x ² – 4x + 20/3 = 0

Pregunta 7. x ² – 2x + 3/2 = 0

Pregunta 8. 27x ² – 10x + 1 = 0

Pregunta 9. 21x ² – 28x + 10 = 0

Pregunta 10. Si z ₁ = 2 – i , z ₂ = 1 + i , encuentra $\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|$

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Pregunta 1. Evaluar

Pregunta 2. Para cualesquiera dos números complejos z 1 y z 2 , demuestre que, Re (z 1 z 2 ) = Re z 1 Re z 2 – Im z 1 Im z 2

Pregunta 3. Reducir a la forma estándar

Pregunta 4. Si x – iy = prueba que (x 2 + y 2 ) 2

Pregunta 5. Convierta lo siguiente en la forma polar:

Resuelva cada una de las ecuaciones de los ejercicios 6 a 9.

Pregunta 6. 3x 2 – 4x + 20/3 = 0

Pregunta 7. x 2 – 2x + 3/2 = 0

Pregunta 8. 27x 2 – 10x + 1 = 0

Pregunta 9. 21x 2 – 28x + 10 = 0

Pregunta 10. Si z 1 = 2 – i , z 2 = 1 + i , encuentra

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Pregunta 1. Evaluar $\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^3$

Pregunta 2. Para cualesquiera dos números complejos z ₁ y z ₂ , demuestre que, Re (z ₁ z ₂ ) = Re z ₁ Re z ₂ – Im z ₁ Im z ₂

Pregunta 3. Reducir a la forma estándar $\displaystyle\left(\frac{1}{1-4i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4i}{5+i}\right)$

Pregunta 4. Si x – iy = $\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$ prueba que (x ² + y ² ) ² $=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$

Pregunta 6. 3x ² – 4x + 20/3 = 0

Pregunta 7. x ² – 2x + 3/2 = 0

Pregunta 8. 27x ² – 10x + 1 = 0

Pregunta 9. 21x ² – 28x + 10 = 0

Pregunta 10. Si z ₁ = 2 – i , z ₂ = 1 + i , encuentra $\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|$