Las líneas que se encuentran en el mismo plano y no se cortan se conocen como líneas paralelas . Las rectas paralelas tienen la misma distancia entre ellas. Cuando se dibuja una línea perpendicular en algún punto de una línea, también se cruza con otra línea perpendicularmente cuando se extiende.
Ejemplo:
La distancia entre los puntos A y C es la misma que la distancia entre los puntos B y D.
Figura 1
Teorema: Dos o más rectas paralelas a la misma recta serán paralelas entre sí.
Prueba:
Supongamos que una línea ‘a’ es paralela a la línea ‘b’ y la distancia entre la línea a y b es constante, es decir, ‘x’ y otro conjunto de líneas paralelas es la línea ‘b’ y la línea ‘c’ con un distancia constante de ‘y’. Tenemos que probar que dos o más líneas que son paralelas entre sí son paralelas entre sí, entonces en este caso, necesitamos probar que si la línea ‘a’ es paralela a la línea ‘b’ y si la línea ‘b’ es paralela a la línea ‘c’ entonces necesitamos demostrar que la línea ‘a’ es paralela a la línea ‘c’.
Como sabemos que la distancia constante entre la línea paralela ‘a’ y ‘b’ es x y la distancia entre la línea ‘b’ y ‘c’ es y. Entonces, como se muestra en la figura, podemos ver que la distancia entre la línea ‘a’ y ‘c’ es x + y = z. Y como sabemos que x e y son constantes, la suma de 2 constantes también es una constante. Y hemos probado que las rectas ‘a’ y ‘c’ son paralelas entre sí.
Figura 2
¿Qué es una línea transversal?
Cualquier línea que se encuentra en el mismo plano de dos o más líneas y las corta en puntos distintos se conoce como línea transversal. Según el postulado de las paralelas de Euclides, si las dos rectas son paralelas, los ángulos interiores consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180 grados, los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternos son iguales.
Ejemplo:
Aquí la línea T es una línea transversal.
Fig. 3
Ángulos formados por la intersección de la recta transversal con rectas paralelas
higo 4
Ángulos correspondientes
Cuando dos o más rectas son cortadas por una transversal, los ángulos que tienen la misma posición relativa se llaman ángulos correspondientes.
Ejemplo:
En la figura 4 anterior
∠1 y ∠5
∠2 y ∠6
∠3 y ∠7
∠4 y ∠8 son ángulos correspondientes.
Ángulos interiores y exteriores consecutivos
Cuando una recta corta a otras paralelas, los ángulos que están del mismo lado de la recta transversal y dentro de las dos paralelas se llaman ángulos interiores consecutivos.
Ejemplo:
En la figura 4 anterior
∠2 y ∠5
∠3 y ∠8 son ángulos interiores consecutivos.
Los ángulos que están del mismo lado de la recta transversal y fuera de las dos paralelas se llaman ángulos exteriores consecutivos.
Ejemplo:- En la figura 4 anterior
∠1 y ∠6
∠4 y ∠7 son ángulos exteriores consecutivos.
Ángulos suplementarios
Los ángulos que suman 180° se llaman ángulos suplementarios. El par de ángulos interiores consecutivos y ángulos exteriores consecutivos formados por 2 rectas paralelas se denominan ángulos suplementarios.
Alternar angulos interiores
Cuando una recta corta a rectas paralelas, los ángulos que se encuentran a ambos lados de la recta transversal y dentro de las dos rectas paralelas se denominan ángulos alternos interiores.
Ejemplo:
En la figura 4 anterior
∠2 y ∠8
∠3 y ∠5 son ángulos interiores alternos.
Ángulos exteriores alternos
Cuando una línea corta líneas paralelas, los ángulos que se encuentran a ambos lados de la línea transversal y fuera de las dos líneas paralelas se llaman ángulos alternos exteriores.
Ejemplo:
En la figura 4 anterior
∠1 y ∠7
∠4 y ∠6 son ángulos exteriores alternos.
Ángulos congruentes
Los ángulos que tienen la misma medida se llaman ángulos congruentes. Los ángulos correspondientes y alternos también son ángulos congruentes.
Propiedad de la suma de ángulos de un triángulo
Teorema 1: La propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo establece que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
Prueba:
La suma de todos los ángulos de un triángulo es igual a 180°, este teorema se puede demostrar con la figura que se muestra a continuación. Cuando dibujamos una línea paralela a cualquier lado dado de un triángulo, hagamos una línea AB paralela al lado RQ del triángulo. En la figura dada podemos ver que el lado RP y sie QP actúan como una transversal. Entonces podemos ver que el ángulo ∠APR = ∠PRQ y ∠BPQ = ∠PQR por la propiedad de los ángulos interiores alternos que hemos estudiado anteriormente. Por lo tanto podemos demostrar que
∠APR + ∠RPQ + ∠BPQ = 180° y por lo tanto ∠PRQ + ∠RPQ + ∠PQR = 180°
higo 5
Ejemplo: encontrar medidas de ángulos utilizando la propiedad de suma de ángulos de un triángulo si ∠PQR = 30°, ∠QRP = 70°.
higo 6
Solución:
Como sabemos que ∠PQR + ∠QRP + ∠RPQ = 180°. Por tanto, 30° + 70° + ∠RPQ = 180°.
=> 100° + ∠RPQ = 180°
=> ∠RPQ = 180° – 100°
=> ∠RPQ = 80°
Teorema 2: Si se prolonga cualquier lado de un triángulo, entonces el ángulo exterior así formado es la suma de los dos ángulos interiores opuestos del triángulo.
Prueba:
Como hemos probado la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo es 180° (∠ACB + ∠ABC+ ∠BAC = 180°) y también podemos ver en la figura 7 que ∠ACB + ∠ACD = 180° debido a la línea recta. Por las dos ecuaciones anteriores, podemos concluir que
=> ∠ACD = 180° – ∠ACB
=> ∠ACD = 180° – (180° – ∠ABC – ∠CAB)
=> ∠ACD = ∠ABC+ ∠CAB
Por lo tanto, se demostró que si cualquier lado de un triángulo se prolonga, entonces el ángulo exterior así formado es la suma de los dos ángulos interiores opuestos del triángulo.
Ejemplo: Un triángulo tiene ∠BAC = 60° y ∠ABC = 60° ¿Encuentra la medida del ángulo ∠ACB como se muestra en la siguiente figura?
figura 7
Solución:
La solución a este problema se puede abordar de dos maneras:
Método 1:
Por la propiedad de la suma de ángulos de un triángulo sabemos ∠ACB + ∠ABC+ ∠BAC = 180°
Por tanto, ∠ACB = 180° – ∠ABC – ∠BAC
=> ∠ACB = 180° – 70° – 60°
=> ∠ACB = 50°
Método 2:
Por la propiedad de la suma de los ángulos exteriores de un triángulo, sabemos que ∠ACD = ∠BAC+ ∠ABC
=> ∠ACD = 70° + 60°
=> ∠ACD = 130°
y, ∠ACB = 180° – ∠ACD
=> ∠ACB = 180° – 130°
=> ∠ACB = 50°
higo 8
Ejemplo: Se da que una recta transversal corta a un par de rectas paralelas y las ∠1 : ∠2 = 4 : 5 como se muestra en la figura 9. Halla la medida de las ∠3?
higo 9
Solución:
Como sabemos que los pares dados de una línea son paralelos, podemos ver que ∠1 y ∠2 son ángulos interiores consecutivos y ya hemos estudiado que los ángulos interiores consecutivos son suplementarios. Por lo tanto, supongamos que la medida de ∠1 es ‘4x’, por lo que ∠2 sería ‘5x’ ya que sabemos que ∠1: ∠2 = 4: 5.
∠1 + ∠2 = 180°
=> 4x + 5x = 180°
=> 9x = 180°
=> x = 20°
Por lo tanto, ∠1 = 4x = 4 * 20° = 80° y ∠2 = 5x = 5 * 20° = 100°.
Como podemos ver claramente en la figura que ∠3 y ∠2 son ángulos interiores alternos entonces ∠3 = ∠2
∠3 = 100°.
Ejemplo: Como se muestra en la figura 10 ángulo APQ=120° y ángulo QRB=110°. ¿Encuentra la medida del ángulo PQR dado que la recta AP es paralela a la recta RB?
higo 10
Solución:
Como sabemos que la línea AP es paralela a la línea AP, sabemos que la línea perpendicular a una seguramente será perpendicular a la otra. Así que hagamos una línea perpendicular a ambas líneas paralelas como se muestra en la imagen. Ahora, como podemos ver claramente que ∠APM + ∠MPQ = 120° y como PM es perpendicular a la línea AP entonces ∠APM = 90° por lo tanto el ángulo ∠MPQ = 120° – 90° = 30°. De manera similar, podemos ver que ∠ORB = 90° ya que OR es perpendicular a la línea RB, por lo tanto, ∠QRO = 110° – 90° = 20°. La línea OR es paralela a la línea QN y MP, por lo tanto, ∠PQN = ∠MPQ, ya que ambos son ángulos interiores alternos y, de manera similar, ∠NQR = ∠ORQ. Por lo tanto ∠PQR = ∠PQN + ∠NQR
=> ∠PQR = 30° + 20°
=> ∠PQR = 50°
higo 11