¿Qué es un Triángulo?

En Matemáticas, hay una gran cantidad de formas y tamaños, y se sabe que los Triángulos son una de las formas más importantes. Los triángulos en la vida real se pueden ver en muchas cosas, por ejemplo, las señales de tráfico, la vista frontal y posterior de las pirámides, el Triángulo de las Bermudas, etc. cerchas

Definición

Los triángulos son polígonos cerrados de tres lados formados por la intersección de tres rectas. Se encuentra mucho en la vida cotidiana. Es una de las formas básicas de la geometría. Tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices. Hay tres tipos de triángulos que encontramos a diario: el triángulo equilátero, el triángulo isósceles y el triángulo escaleno. La siguiente figura muestra un triángulo ABC con vértices y ángulos A, B y C. Los lados de este triángulo son AB, AC y BC. 

Propiedades de los Triángulos:

• la suma de todos los angulos de un triangulo es 180°
• La suma de dos lados cualesquiera de un Triángulo siempre será mayor que el tercero.
• La diferencia de dos lados cualesquiera siempre será menor que el tercer lado. (esto se puede deducir fácilmente por la propiedad anterior).
• El lado que está presente opuesto al ángulo mayor es el más largo en los tres lados.
• El lado que está presente opuesto al ángulo más pequeño es el más corto en los tres lados. (similar a la propiedad anterior).
• Según la propiedad del ángulo exterior del triángulo, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos.

tipos de triangulo

Los triángulos se clasifican en dos categorías: uno se basa en su lado y el otro se basa en su ángulo. Según sus lados, el triángulo se divide en triángulo equilátero, isósceles y escaleno. Sobre la base de su ángulo, los triángulos se dividen en agudo, obtuso y rectángulo y triángulo.

Basado en el lado del triángulo

• Triángulo equilátero

Los triángulos que tienen todos los lados y todos los ángulos iguales se conocen como triángulos equiláteros. Dado que todos los ángulos son iguales, cada ángulo es igual a 60 ° y el otro nombre de triángulo equilátero es triángulo equiángulo.

• Triángulo isósceles

Los triángulos que tienen dos lados iguales y el tercero no es igual a los otros dos. Los ángulos opuestos a los lados iguales del triángulo también son iguales.

• Triángulo escaleno

Un triángulo escaleno es el que no tiene ninguno de sus lados iguales entre sí y además, ninguno de los ángulos son iguales entre sí, pero las propiedades generales del triángulo se aplican también al triángulo escaleno. Por lo tanto, la suma de todos los ángulos interiores siempre es igual a 180°

Basado en el ángulo del Triángulo

• Triángulo agudo en ángulo

Un Triángulo Agudo es aquel en el que todos los ángulos interiores del Triángulo son menores a 90°. Por ejemplo, un triángulo equilátero es un triángulo agudo (todos los ángulos miden menos de 90°).

Un triángulo acutángulo

• Triángulo rectángulo

Un Triángulo Rectángulo es aquel en el que uno de los ángulos es siempre igual a 90°. El teorema de Pitágoras se deriva para los triángulos rectángulos, que establece que el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de la base y la perpendicular.

Un triángulo rectángulo

•  Triángulo obtuso en ángulo

Un triángulo obtusángulo tiene uno de los lados mayor de 90°, en este caso, como uno de los tres ángulos es mayor de 90°, el resto de los dos ángulos es menor de 90°.

Un triángulo obtusángulo

mediana de un triangulo

La mediana divide un lado en dos partes iguales. En el contexto de los triángulos, una línea mediana desde un vértice hasta el lado opuesto divide el lado en dos partes. Todo triángulo tiene tres medianas que parten de cada vértice. La siguiente figura representa una mediana desde el vértice A hasta el lado BC. Note que la mediana no necesita ser perpendicular, pero definitivamente necesita bisecar el lado opuesto. 

Propiedades de la mediana de un triángulo:

1. Las tres medianas de cualquier triángulo siempre se encuentran en un solo punto, sin importar la forma del triángulo. El punto en el que las tres medianas se encuentran en un triángulo se llama baricentro. 

2. La mediana del triángulo divide los triángulos en dos partes más pequeñas que tienen áreas iguales. 

3. Digamos que la longitud de los lados del triángulo es «a», «b» y «c» y la longitud de las medianas es l ₁ , l ₂ y l ₃ . 

un ² + ^{segundo 2} + do ² = l ² ₁ + l ² ₂ + l ² ₃

Suma de ángulos de triángulo 

Los polígonos de cuatro lados se llaman cuadriláteros y la suma de sus ángulos es 360°. Sabemos que la suma de los ángulos de los triángulos es 180°. Estas propiedades son los hechos y aplicados para todo tipo de cuadriláteros y Triángulos. Esto se llama la propiedad de la suma de ángulos . La sección presenta la prueba de esta propiedad. 

Considere el triángulo ABC dado, en cualquier triángulo la suma de todos sus ángulos es 180°. En el triángulo dado, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Prueba: 

En la siguiente figura, dibuje una línea a través de A que sea paralela a BC. Ahora, estos ángulos son ángulos alternos que son iguales. Así, a partir de la figura que se puede ver, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Problemas de muestra

Pregunta 1: Un triángulo ABC tiene ∠A = 60°, ∠B = 60°. Encuentra el ángulo ∠C. 

Solución: 

Sabemos que la suma de los ángulos del triángulo es 180°. 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 60 + 60 + ∠C = 180°

⇒ 120° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 60°

Pregunta 2: Encuentra el ángulo que falta en la figura dada. 

Solución: 

Sean x e y los dos ángulos que faltan. Ahora podemos ver en la figura que los lados opuestos de los ángulos que faltan tienen la misma longitud. Eso significa que los ángulos deben ser iguales. 

Entonces, x = y.

De la propiedad de la suma de los ángulos del triángulo. 

x + y + 100° = 180°

⇒ 2x + 100° = 180°

⇒ 2x = 80°

⇒ x = 40°

Pregunta 3: Encuentra el valor de ∠ACD de la figura dada.

Solución: 

Sabemos que ∠ACB y ∠BCD son ángulos suplementarios. 

De la propiedad de la suma de los ángulos del triángulo, 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 45° + 30° + ∠C = 180°

⇒ 75° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 105°

∠BCD = 180° – 105°

⇒ ∠BCD = 75°

Pregunta 4: En el triángulo dado PQR, encuentre el valor de ∠PSQ. 

Solución: 

Considerando el triángulo QSR. 

∠SRQ = ∠SQR 

⇒ ∠SQR = 40°  

Debido a la propiedad de la suma de ángulos del triángulo. 

∠SQR + ∠SRQ + ∠QSR = 180°

⇒ 40° + 40° + ∠QSR = 180°

⇒ 80° + ∠QSR = 180°

⇒ ∠QSR = 100°

Sabemos, 

∠QSR + ∠QSP = 180°

⇒ ∠QSP + 100° = 180°

⇒ ∠QSP = 80°

Pregunta 5: Un triángulo ABC tiene ángulos en la proporción de 1:2:3. Halla los valores de todos los ángulos. 

Solución: 

Los ángulos interiores están en la razón 1:2:3. Por lo tanto, también se escriben como, 

x: 2x: 3x

Usando la propiedad de la suma de los ángulos del triángulo. 

x + 2x + 3x = 180°

⇒ 6x = 180°

⇒ x = 30°

Por lo tanto, los ángulos en son, 

30°, 60° y 90°.